1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 28及答案与解析一、单项选择题1 设 f() ，则 0 是函数 f()的( )。（A）连续点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）可去间断点2 已知 Q ，P 为三阶非零矩阵，且满足 PQ0，则( )。（A）t6 时，P 的秩必为 1（B） t6 时，P 的秩必为 2（C） t6时， P 的秩必为 1（D）t6 时，P 的秩必为 23 直线 l： 绕 z 轴： 旋转所得曲面的方程为( )。（A） 2y 2 z2 02（B） 2y 2z 2 02（C） 2y 2 z2 02（D） 2y 2 z2 024 设 Ik sind(k 1，2
2、，3)，则有( )。（A）I 1I 3 I2（B） I2I 1I 3（C） I2I 3I 1（D）I 1I 2 I35 设 ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的是( )。（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 46 设随机变量 X，y 相互独立，且 XN( ， 2)，Y 在a ，b区间上服从均匀分布，则 D(X2Y)( )。（A） 2 (ba) 2（B） 2 (ba) 2（C） 2 (ba) 2（D） 2 (ba) 27 世界上讲述方程最早的著作是( )。（A）中国的九章算术（B）阿拉伯花拉子米的代数学（C）卡尔
3、丹的大法（D）牛顿的普遍算术8 下列划分正确的是( ) 。（A）有理数包括整数、分数和零（B）角分为直角、象限角、对顶角和同位角（C）数列分为等比数列、等差数列、无限数列和递减数列（D）平行四边形分为对角线互相垂直的平行四边形和对角线不互相垂直的平行四边形二、简答题9 设直线 L 在平面 上，而平面 与曲面 2y 2z 相切于点(1， 2，5) ，则求 a，b 的值。10 求齐次线性方程组 的通解及基础解系。11 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： ，其中 0m n。12 如何理解“ 改善教与学的方式，使学生主动地学习” 这句话?13 简述数学概念学习的基本内容和形式。三、解答题14 设有
4、n 元实二次型( 1， 2， n)( 1a 12)2( 1a 23)2( n-1a n-1n)2( na n1)2，其中 ai(i1，2，n)为实数，试问：当 a1，a 2，a n 满足何种条件时，二次型 f(1， 2， n)为正定二次型。四、论述题15 结合实例说明中学生是怎样学习数学概念、数学命题的。五、案例分析题15 案例：阅读下列两位教师的教学过程。 教师甲的教学过程： 师：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条 10km 长的线路如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次 10m 长的电线杆子，大约有 20
5、0 多根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理? 生 1：直接一个个电线杆去寻找。 生 2：先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点。 师：生 2 的方法是不是对呢?我们一起来考虑一下。如图，维修工人首先从中点 C 查，用随身带的话机向两个端点测试时，发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段，再到 BC 段中点 D，这次发现 BD 段正常，可见故障在 CD 段，再到 CD 中点 E 来查。每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近。 师：我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件)。 在一条线段上找某个特定点，可以通过取
6、中点的方法逐步缩小特定点所在的范围(即二分法思想)。 教师乙的教学过程： 师：大家都看过李咏主持的幸运 52吧，今天咱也试一回(出示游戏：看商品、猜价格)。 生：积极参与游戏，课堂气氛活跃。 师：竞猜中，“高了”“低了”的含义是什么? 如何确定价格的最可能的范围? 生：主持人“ 高了、低了 ”的回答是判断价格所在区间的依据。 师：如何才能更快的猜中商品的预定价格? 生：回答各异。 老师由此引导学生说出“ 二分法” 的思想，并向同学们引出二分法的概念。 问题：16 分析两种情境引入的特点。17 结合案例，说明为什么要学习用二分法求方程的近似解。六、教学设计题18 请以“直线与平面平行的判定” 为
7、课题，完成下列教学设计。(1)设计本节课的教学目标；(2)设计本节课的教学重、难点；(3)写出新课引入和新知探究、巩固应用等及设计意图。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 28答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 1，存在极限值，且在该点无定义，所以为可去间断点。2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 P，Q 均为三阶非零矩阵且 PQD ，所以 r(Q)r(P)3，且PO，如果 t6 时，r(Q) 2，P 的秩必为 1；当 t6 时，r(Q)1，r(P)2。3 【正确答案】 C【试题解析】 直线 l： 转化为参数方程是 ，所以 dz，旋转曲面为 2y
8、 2 024t 2 02 。4 【正确答案】 D【试题解析】 I k 3k sind(k1，2，3) 看作以 k 为自变量的函数，由于 Iksink0，k(0，)，即可知 Ik ek sind(k1，2，3)关于 k 在(0，) 上为单调增函数，又由于 1，2，3(0，)，则 I1I 2I 3，故选 D。5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1， 3， 4 0，可知1， 3， 4 线性相关，故选择 C。6 【正确答案】 A【试题解析】 Y 在a，b区间上服从均匀分布，所以 D(Y) 。又 X，Y 相互独立，所以 Cov(X，Y)0。D(X 2Y)D(X) D(2Y)2Cov(X，Y) D(X
9、)4D(Y) 2 (ba) 2。7 【正确答案】 A【试题解析】 方程一词出现在中国早期的数学专著九章算术中，其“卷第八”即名“方程”。这是世界上讲述方程最早的著作。8 【正确答案】 D【试题解析】 分类原则一般包括：一致性原则、互斥性原则、相称性原则等。一致性原则指分类的标准前后是一致的，只能按同一标准进行，不能出现几个不同的标准。互斥性原则是指分类或的各个子项之间是不相容的。相称性原则指的是划分后的各子项的外延的总和应与母项的外延相同。A 项违反一致性原则和互斥性原则。零包含在整数中；B、C 项违反一致性原则。二、简答题9 【正确答案】 设函数 F(，y，z) 2y 2z，F 2，F y2
10、y，F z1，所以2y 2z 在点(1，2，5)处的切平面仃的法向量为 m(2，4，1)。过直线 L的平面束方程为(yb)k(ayz3) 0，整理得，(k1)(ak 1)ykz3k b0，其法向量为 n(k1，ak 1，k)。根据题意有，m n，即，得 k1，a5。将点(1， 2，5)代入平面(k1)(ak1)y kz3kb0，得 b2。即得 a 5，b2。10 【正确答案】 对齐次线性方程组的系数矩阵进行初等行变换：原方程组等价于取 43 得 (4，9，4，3) T 为原方程组的基础解系，故通解为 k ，kR。11 【正确答案】 设 f()ln，f() ，因为函数 f()在m ，n上满足拉格
11、朗日中值定理，则在(m，n) 上存在一点 ，使得 。 由 0mn 得，结论得证。12 【正确答案】 丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动。高中数学课程在教育理念、学科内容、课程资源的开发利用等方面都对教师提出了挑战。在教学中，教师应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学的特点，积极探索适合高中学生数学学习的教学方式。
12、13 【正确答案】 数学概念学习包括以下四个方面：第一，数学概念名称；第二，数学概念定义；第三，数学概念的例子；第四，数学概念属性。数学概念学习的形式一般有两种：第一，数学概念形成。数学概念形成的过程有以下几个阶段：(1)观察实例。(2) 分析共同属性。(3) 抽象本质属性。(4) 确认本质属性。(5)概括定义。 (6)符号表示。 (7)具体运用。第二，数学概念同化。三、解答题14 【正确答案】 由题设条件可知，对于任意的 1， 2， n，有f(1， 2， n)0，其中等号当且仅当 同时成立。上述方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即所以，当 1(1)n+1a1a2an0时，对应
13、任意的不全为零的 1， 2， n，有 f(1， 2， n)0即当 a1a2an(1) n 时，此时二次型 f(1， 2 n)为正定二次型。四、论述题15 【正确答案】 数学概念的学习可分为两种基本形式：概念的形成，概念的同化。(1)概念的形成是通过对概念所反映的事物的不同例子中，学生积极主动地去发现其本质属性。从而形成新概念。如学习函数的单调性的概念可采用如下的步骤： 第一，分别作出函数 y2，y2 和 y 21 的图象，并且观察函数变化规律。第二，描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。 第三，二次函数的增减性要分段说明提出问题：二次函数是增函数还是减函数? 第四，能否
14、用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数? 第五，(以 y 21 在(0， )上单调性为例)如何用精确的数学语言来描述函数的单调性。 第六，提问学生什么是“ 随着”?如何刻画“增大”?对“任取”的理解，进而得到增(减)函数的定义。在以上几步的基础上，通过初步认识单调性再拓展探究从而抽象概括出准确定义，深入的认识单调性。 (2)概念的同化是以定义的形式给出，由学生主动地与自己认识结构中原有的有关概念相互联系，相互作用以领会它的意义，从而获得新概念。 如，学习等比数列的概念：“如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示
15、(q0)，等比数列 a10”。这时学生要主动积极地与自己认知结构中原有的概念(如等差数列的概念)区别开来，并相互贯通组成一个整体，纳入原有的概念体系之中；最后通过例题的学习与练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。五、案例分析题16 【正确答案】 甲教师从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示初步体会分法的算法思想与方法，说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用。乙教师利用视频于游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法多样，可以进行竞赛；通过问题，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近
16、似解” 埋下伏笔。17 【正确答案】 首先，新课程标准强调函数的应用，用二分法方程为近似解体现了函数在数学其他方面的应用。概括的说，函数应用表现在两个方面，一是在数学其他方面的应用；二是在其他科学领域和实际问题中的应用。其次，二分法简便而又应用广泛，用在求方程的近似解方面是依据了方程解存在的重要结论，即函数的应用。二分法求方程的解这一内容也是函数思想存在的一个良好载体。二分法还是数学必修 3 中算法学习的一个铺垫。在教学中可以用框图表示二分法求方程近似解的流程。再次，二分法朴素的体现了数学逼近的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在其他地方运用和推广的朴素的思想、如“整体局部”“定性定量
17、”“精确近似”“计算技术”等。这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想的数学教育价值。六、教学设计题18 【正确答案】 (1)教学目标知识与技能：理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法，并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。过程与方法：通过直观感知一观察一操作确认的认识方法，在过程中逐渐培养观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。情感、态度与价值观：在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信息，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。(2)教学重点与难点重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立体空间感、空
18、间观念的形成与逻辑思维能力的培养。(3)教学过程设计知识准备、新课引入提问 l：根据公共点的情况，空间中直线 a 和 平面有哪几种位置关系? 学生小组内讨论后，得出结论。提问 2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行，你认为方便吗?谈谈你的看法。并指出是否有别的判定途径。(设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系而引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理做好准备。)判定定理的探求过程1)直观感知提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗?生 1：日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。生 2：门转动到离开门框的任何位置时，
19、门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。2)动手实践教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置，给人以平行的感觉，而当把直角所在的腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面，给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。(设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情
20、境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。)3)探究思考上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同?关键是什么因素起了作用呢?通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：第一，平面外一条线；第二，平面内一条直线；第三，这两条直线平行。如果平面外的直线 a 与平面内的一条直线 b 平行，那么直线 a 与平面平行吗 ?4)归纳确认：( 多媒体幻灯片演示)直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。简单概括：(内外) 线线平行线面平行。作用：判定或证明线面平行。关键：在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。
21、思想：空间问题转化为平面问题定理运用，问题探究(多媒体幻灯片演示)判断下列命题的真假? 说明理由：1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行。( )2)过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行。( )3)一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行。( )设 a、b 是二异面直线，则过 a、b 外一点 p 且与 a、b 都平行的平面存在吗?若存在请画出平面，不存在说明理由?先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。(设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。)总结先由学生口头总结，然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示)：1)线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。2)定理的符号表示：简述：(内外) 线线平行则线面平行。3)定理运用的关键是找(作)面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。
