1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 31及答案与解析一、单项选择题1 有矩阵 A32，B 23，C 33，下列运算正确的是( )。（A）AC（B） ABC（C） ABBC（D）ACBC2 设三次多项式函数 f()a 3b 2cd 满足 f(t)dt12 218 1，则f()的极大值点为 ( )。（A）0（B） 1（C） 1（D）23 设函数 z 2y，则 等于( )。（A）1（B） 2（C） 1（D）24 函数 f() 的间断点有( )个。（A）4（B） 3（C） 2（D）15 二次型 f(1， 2， 3) 122 132 23 的矩阵为( )。（A）（B）（C）（D）
2、6 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立分布，且方差 20，记 ，则X1 与 的相关系数为( )。（A）1（B） 0（C）（D）17 数学建模属于( ) 试题类型。（A）客观性（B）探究性（C）开放性（D）应用性8 普通高中数学课程标准(实验)中规定的必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，下列内容不属于必修 4 的是( )。（A）算法初步（B）基本初等函数(三角函数)（C）平面上的向量（D）三角恒等变换二、简答题9 若曲线 y 4 的一条切线，与直线 4y80 垂直，求切线 I 的方程。10 求解线性方程组11 求极限12 举例说明，对于高中数学课程增加新的内容，教师应如何把握标准的
3、定位进行教学?13 简述中学数学思想方法的教学原则中的系统性原则。三、解答题14 设向量组 1， 2， 3 是 R3 的一个基， 12 1 2k3， 22 2， 3 1(k1)3， (1)证明向量组 1， 2， 3 为 R3 的一个基； (2)当 k 为何值时，存在非零向量 在基 1， 2， 3 与基 1， 2， 3 下的坐标相同，并求所有的 。四、论述题15 在讲解立体几何的有关概念时，我们常常借助实物模型或图形，这体现了数学教学的哪一原则的要求? 并作简要的分析。五、案例分析题15 在求解题目“ 已知双曲线的右准线为 4，右焦点 F(10，0)，离心率 e2，求双曲线方程。” 两位同学解题
4、方法如下： 方法一： 4，c10，a 240，b 2c 2a 260，故所求的双曲线方程为1。 方法二：由焦点 F(10，0)知c10，e 2， a5，b 2c 2a 275。 故所求的双曲线方程为1。 问题：16 指出学生的错误之处。17 分析学生的错误原因。18 写出正确解法。六、教学设计题19 请以“三角函数的积化和差与和差化积” 为课题，完成下列教学设计。(1)设计本节课程的教学目标；(2)设计本节课程的教学重点、难点；(3)设计本节课程的教学过程(只要求写出新课导入和新知探究、巩固、应用等)及设计意图。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 31答案与解析一、单项
5、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同。矩阵加减要求矩阵要具有相同的行数和列数。所以矩阵 A 和 C 不能相乘，A 错；AB为 33 维的矩阵，BC 为 23 维的矩阵，二者不能做减法运算，所以 C 错；同理D 也错。选项 B 满足要求，故选 B。2 【正确答案】 C【试题解析】 由题干 f(t)dt12 2181 知 f(1)f()12 2181， 即：3a 2(3a2b)(abc)12 2181， 解方程组：可得 a4，b3，c6，即有：f()4 33 26d，从而可知：f()12 2 66，f()246，所以有稳定点 1 ， 21，
6、由 f( )180，f( 1)180，可知函数 f()的极大值点应为 1，故选 C。3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 当05 时，分子 sin有界，分母 1(2) 2N，所以f()0，函数 f()在区间(，05) (05，)上是连续的。当05时， sin，函数 f()在区间(0 5，05)上是连续的。 因为， 所以函数 f()有两个跳跃间断点 05 和 05。5 【正确答案】 A【试题解析】 根据二次型矩阵的对称性可知答案为 A。6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立分布，故 DXi 2， ，Cov(X 1，X i)0(i1) ，7 【正确答案】
7、D【试题解析】 应用性试题适合考查学生应用数学的意识和数学建模能力，故选D。8 【正确答案】 A【试题解析】 基本初等函数(三角函数)、平面上的向量、三角恒等变换都属于必修 4 的内容，算法初步是选修 3 的内容之一。故选 A。二、简答题9 【正确答案】 因为与直线 4y80(斜率 k1 )垂直，且 k1.k21，则直线，的斜率 k24。对曲线 y 求导得 y4 3，令 y4，求得 1。带入 y 4，得 y1，则 I 的方程为 y14( 1)。所以 y14 4，得 430。10 【正确答案】 方程组的增广矩阵 ，通过适当的初等行变换为阶梯形矩阵 ， 解得 18， 23， 36， 40。11 【
8、正确答案】 12 【正确答案】 例如，对算法内容，应着重强调使学生体会算法思想、提高逻辑思维能力，不应将算法简单处理成程序语言的学习和程序设计，同时应通过具体实例的上机实现(或编程) 帮助学生理解算法思想及其作用。标准对传统内容的编排和要求也有新的变化，为了更好地理解和把握，有效地进行教学，教师应进行必要的探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质。13 【正确答案】 数学思想方法的教学与具体数学知识教学一样，只有形成具有一定结构的系统，才能更好地发挥其整体功能。所谓系统性原则是指为了使学生更好地理解和掌握数学思想方法，教师应把握好每一种数学思想与它所概括的一类数学方法、所串联的具体数学
9、知识形成的体系，并有计划、有目的、有层次地在教学中予以落实。三、解答题14 【正确答案】 (1)证明：( 1， 2， 3)2 12k 3，2 2， 1(k1) 3 ( 1， 2， 3) 因为行列式 40 故1， 2， 3 为 R3 的一个基。 (2)由题意知：k 11k 22k 33k 11k 22k 33，0 所以有 k1(1 1)k 2(2 2)k 3(3 3) 0 即 k1(212k 3 1)k 2(22 2)k 31(k1) 3 30 整理得：(k1k 3)1k 22(2kk 1kk 3)30，因为 1， 2， 3 是 R3 的一个基， 所以有方程组 根据题意方程组有解，即 0，得 k
10、0。 k20 ，k 1k 30，因此 k 11k 13，k 10。四、论述题15 【正确答案】 这体现了数学教学中的具体与抽象相结合的原则。从具体到抽象符合学生在学习过程中从感知到理解，从表象到概念的认识规律。学生认识数学理论时，是从生动直觉开始。理性知识的形成。必须具有感性知识基础。只有在此基础上，进一步区分这些研究对象所共有的。决定它们性质的本质属性和仅是个别对象特有的非本质属性，这样才能在头脑中形成理性知识。例如：学习数学概念时，首先，可通过一定的感性材料得到具体对象的感知和表象，然后抽象概括出对象的本质属性，再用概念去解决具体问题，这个过程体现了由具体到理性的抽象，由理性到对更为广泛的
11、具体的认识。数学教学实践表明通过实物直观、模象直观、语言直观，使学生形成鲜明表象，是学生掌握数学理论知识的重要环节，也是贯彻抽象与具体相结合原则的前提。在数学教学中贯彻这一原则时：首先要着重培养学生的抽象思维能力。所谓抽象思维能力，是指脱离具体形象、运用概念、判断、推理等进行思维的能力。按抽象思维不同的程度，可分为经验型抽象和理论型抽象思维。在教学中，我们应着重发展理论型抽象思维，因为只有理论型抽象思维得到充分发展的人，才能很好地分析和综合各种事物，才有能力去解决问题。其次要培养学生观察能力和提高抽象、概括能力。在教学中，可通过实物教具。利用数形结合，以形代数等手段。例如，讲对数函数有关性质时
12、，可先画出图象，观察图象抽象出有关性质就是一例。五、案例分析题16 【正确答案】 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。17 【正确答案】 学生对双曲线的标准方程产生惯性思维，审题不认真，进入思维误区产生错误。18 【正确答案】 设 P(，y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为 4，右焦点 F(10，0)，离心率 e2，由双曲线的定义知 2，整理得1。六、教学设计题19 【正确答案】 (1)教学目标知识与技能能够推导 “和差化积”及“积化和差”公式。并对此有所了解；能较熟练地运用
13、公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题；揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识。过程与方法在导出“和差化积 ”及“积化和差”公式的过程中，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用；同时初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题。情感、态度与价值观通过本节的学习，学生对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识：理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣，增强灵活运用数学知识解决实际问题的能力。(2)教学重点、难点本节重点是公式的推导和应用；难点是公式的灵活应用。(3)教学
14、过程设计1复习引入教学内容：复习两角和与差的正弦、余弦公式。师生互动：让学生将两角和与差的正弦、余弦公式写出来。(设计意图：复习旧知识，同时为推导积化和差公式作准备。)2积化和差公式的推导教学内容：推导积化和差公式。师生互动：教师：考查写出来的两角和与差的正弦、余弦这四个公式，你能否用 sin() ，cos()，sin()，cos()来表示 coscos，sinsin，sincos，cossin?学生：两边分别相加和相减除以 2 可以得到。教师：这组公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式 ”化为“和差”，有利于简化计算。(设计意图：培养学生运用已有知识分析问题
15、和探究问题的能力，同时也使学生认识到了新公式产生的根源。)3积化和差公式的应用教学内容：例题练习。师生互动：学生做练习题教师巡视检查。(设计意图：让学生初步学会应用公式。)4和差化积公式的推导教学内容：推导和差化积公式。师生互动：教师：从上面的积化和差公式变形可以得到新的公式。左边是和差的形式，右边是积的形式，设 ，y，请同学自己将上面的四个公式加以整理，把， 用 ，y 表示出来。学生整理后得到和差化积公式。教师：下面同学们讨论一下如何运用向量的知识来推导和差化积的公式。组织学生讨论。教师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差相辅相成，配合使用。(设计意图：
16、引导学生由积化和差公式推导和差化积公式，在推导过程中运用了代换法进行角的转化。通过组织学生讨论探究，逐步培养学生团结协作的思想品质。提高学生综合运用知识思考问题解决问题的能力。)5和差化积公式的应用教学内容：例题练习师生互动：利用和差化积这四个公式和其他三角函数关系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积的形式。教师指导学生练习，并检查学生做的情况，在解题过程中注意引导学生思考。(设计意图：通过例题练习，要让学生明确化积问题对最后结果的要求。对于解题过程的深入探究，有益于启发学生思维，提高学生分析问题和解决问题的能力。)6小结教学内容：从知识、方法两个层面来对本节课的内容进行归纳总结。师生互动：(1)本节课重点学习了两组公式，对于公式不要求记住。但要学会运用这些公式进行三角函数和差与积的互化，并能够运用公式解决一些求值、化简和证明问题。(2)把一个式子化为积的形式是一类重要题型，尤其是要注意其最后结果的形式是否符合题意要求。(3)在公式的推导过程中我们用到了换元法，要注意该方法在解题中的应用。(设计意图：让学生明确本节课的重点和要达到的要求。)
