1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 32及答案与解析一、单项选择题1 下列函数中，与函数 y 定义域相同的函数为( )。（A）（B）（C） ye （D）y2 设 ，设有P2P1AB ，则 P2 等于( ) 。（A）（B）（C）（D）3 设函数 f()在 0 处连续，且 1，则( )。（A）f(0)0 且 f(0)0 存在（B） f(0)1 且 f-(0)0 存在（C） f(0)0 且 f+(0)0 存在（D）f(0)1 且 f+(0)0 存在4 函数 uyz2yz3 在点(1，1，1)沿 l2i2jk 的方向导数为( )。（A）（B）（C）（D）5 关于二次曲面 2y
2、2z 2，下列说法正确的是( )。（A）它是一个锥面（B）它是一个球面（C）它是一个鞍面（D）它是一个柱面6 已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 相关系数 1 的充要条件是( ) 。（A）Cov(XY，X)0（B） Cov(XY，Y)0（C） Cov(XY，XY)0（D）Cov(XY，X)07 ( )是中国古典数学最重要的著作，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章。（A）九章算术（B） 孙子算经（C） 数书九章（D）代数学8 普通高中数学课程标准(实验)设置了四个选修系列，其中选修系列 2 是为希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的，下列
3、内容不属于选修系列 2 的是( )。（A）导数及其应用（B）圆锥曲线与方程（C）统计案例（D）框图二、简答题9 某一汽车前进途中要经过 3 个红绿灯路口。已知汽车在第一个路口，遇到红灯和遇到绿灯的概率都是 ；从第二个路口起，若前次遇到红灯，则下一次遇到红灯的概率是 ，遇到绿灯的概率是 ；若前一次遇到绿灯，则下一次遇到红灯的概率是，遇到绿灯的概率是 。求： (1)汽车在第二个路口遇到红灯的概率是多少? (2)在三个路口中，汽车遇到一次红灯、两次绿灯的概率是多少?10 求极限11 设有线性方程组 问 m，k 为何值时，方程组有唯一解?有无穷多组解? 有无穷多组解时，求出一般解。12 如何评价能力既
4、是课程改革面临的一个重要的课题，也是一个挑战。请以数学学习中提出、分析、解决问题能力的评价为例，给出评价中应关注的方面。13 在现阶段基础教育课程改革中，教师的角色应发生哪些变化?三、解答题14 在 R4 中取两组基 1(1，0，0，0)， 2(0，1，0，0)， 3(0，0，1，0) ，4(0，0，0，1) ； i(2，1，1，1)， 2(0 ， 3，1，0)， 3(5，3，2，1)，4 (6，6，1 ，3)。 (1) 试求由前一组基到后一组基的过渡矩阵； (2)求向量(1， 2， 3， 4)在后一基下的坐标； (3)求在两个基下有相同坐标的向量。四、论述题15 普通高中数学课程标准(实验)
5、指出“ 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”简要说明数学思想方法的含义，并给出高中数学教学中常用的几种数学思想方法(至少 5 种) ，且任选一种思想进行举例说明，以及如何在教学过程中让学生感悟这种思想。五、案例分析题15 案例：某教师在对基本初等函数进行教学时，给学生出了如下一道练习题： 方程 log2(91 5)log 2(31 2)20 的解集为_。 某学生的解答过程如下
6、：log2(91 5)log 2(32 2)20 log2(91 5)log 2(31 2)log 240 log2(91 5)log 24(31 2)0 91 54(3 1 2) (31 1)(3 1 3)0 3 1 10 或 31 30 所以 1 或 2，所以解集为1，2 。 问题：16 指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因。17 给出你的正确解答。18 指出你在解题时运用的数学思想方法。六、教学设计题19 高中“方程的根与函数的零点”( 第一节课)设定的教学目标如下：通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想，领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，理解提出零
7、点概念的作用，沟通函数与方程的关系。通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辩证关系。掌握函数零点存在性的判断。完成下列任务：(1)根据教学目标，设计一个问题引入，并说明设计意图；(2)根据教学目标 ，设计问题链(至少包含三个问题)，并说明设计意图；(3)根据教学目标 ，给出至少一个实例和三个问题，并说明设计意图；(4)确定本节课的教学重点；(5)作为高中阶段的基础内容，其难点是什么?(6)本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响?中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 32答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】
8、 函数 y 的定义域为(，0)(0，)，而答案中只有 y的定义域为(，0)(0，) ，故选 D。2 【正确答案】 B【试题解析】 P 1A 表示互换矩阵 A 的第一、二行，矩阵 B 表示矩阵 A 先互换第一、二行，然后将互换的矩阵的第一行乘以(1)加到第三行，所以 P2 ，故选 B。3 【正确答案】 C【试题解析】 由 1 知， f(h2)0。由于 f()在 0 处连续，所以f(0) 0。于是，1 f +(0)。因此本题选 C。4 【正确答案】 D【试题解析】 方向，l(2，2，1)，方向余弦记点(1， 1，1) 为 P 点，则 u(P)1，u y(P)1，u z(P)1。所以方向导数 ul(
9、P)u (P)cos uy(P)cosu z(P)cos 。5 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意可知 2y 2z 2，z ，是锥面。6 【正确答案】 D【试题解析】 已知 DXDY 20，故 1，得到：Coy(X，Y)Coy(X，X) ，得到：Cov(X，YX) 0。即 Cov(XY，X)0。7 【正确答案】 A【试题解析】 九章算术是中国古典数学最重要的著作，分成九章，依次是：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。8 【正确答案】 D【试题解析】 普通高中数学课程标准(实验)中选修系列 2 由 3 个模块组成：选修 2 一 l(常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向
10、量与立体几何 )、选修 22(导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入)和选修 23(计数原理、统计案例、概率)。框图属于系列 1 选修 12，故选 D。二、简答题9 【正确答案】 根据相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得， 根据相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得， (1)第二个路口遇到红灯(2)三个路口中有一次遇到红灯两次遇到绿灯的概率 P2P(红绿绿) P( 绿红绿 )P(绿绿红)10 【正确答案】 利用洛必达法则11 【正确答案】 对此线性方程组的系数矩阵 A 的增广矩阵进行初等变换如下：(1)当 m1 时，r(A)r( )3，方程组有唯一解； (2) 当 m1，k1
11、时，r(A)r( )，方程组无解； (3)当 m1 ，k1 时， r(A)r( )23，方程组有无穷多解，此时基础解系含解向量个数为 3r(A)1 。原方程组对应的齐次方程组经过初等变换后等价于所以 20 令 31，得 11，基础解系的解向量为(1，0，1) T。 原方程组经初等变换后等价的非齐次方程组为 所以 2 令 30，得 1 ，非齐次方程组的一个特解为 ( ，0) T。 通解为 t12 【正确答案】 在日常的数学学习，尤其是数学探索与数学建模活动中，是否具有问题意识，是否善于发现和提出问题。能否选择有效的方法和手段收集信息、联系相关知识、提出解决问题的思路，建立恰当的数学模型，进而尝试
12、解决问题。能否在解决问题的过程中，既能够独立思考，又能够与他人很好地交流与合作。能否对解决问题的方案进行质疑、调整和完善。能否将解决问题的方案与结果，用书面或口头等形式比较准确地表达并进行交流，根据问题的实际要求进行分析、讨论或应用。评价应当关注学生能否对自己提出问题和解决问题的过程进行自评与互评。在评价中，要注意肯定学生在数学学习中的发展和进步、特点和优点。13 【正确答案】 普通高中数学课程标准(实验)指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者、合作者”。这就是说，数学课程的一切都是围绕学生的发展展开。所以学生是学习的“主人” 。再次明确这一点，意在讲一步改蛮传统的数学教
13、学模式，拓宽学生在数学教学活动中的空间。教师要从一个知识传授者转变为学生发展的促进者；要从教室空间支配者的权威地位，向数学学习活动的组织者、引导者和合作者的角色转换。教师角色转变的重心在于传统意义上的教师教和学生学，不断让位于师生互教互学，彼此形成一个真正的“学习共同体” 。表面上看，似乎教师的空间被 “压缩”了，实际上标准赋予教师更高的要求、更大的责任和更多的期望。教师的作用，特别要体现在引导学生思考和寻找眼前的问题、生活中的问题与自己已有的知识体验之间的关联方面，在于提供把学生置于问题情境之中的机会，在于营造一个激励探索和理解的气氛，在于为学生提供有启发性的讨论模式。三、解答题14 【正确
14、答案】 (1)由于1 21 2 3 4， 2 32 3， 35 13 22 3 4， 46 16 2 33 4，即( 1， 2， 3， 4)( 1， 2， 3， 4)，其中 A 所以，由前一组基到后一组基的过渡矩阵为 (2)设向量( 1， 2， 3， 4)在后一基下的坐标为(k 1，k 2，k 3，k 4)，则由坐标变换公式有即在这两组基下有相同坐标 向量只有零向量。四、论述题15 【正确答案】 含义：数学思想方法是数学思想与数学方法的合称。所谓数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识，它在数学认识活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想。所谓数学方法是指在
15、研究数学问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径、步骤、程序等，它通过一些可操作的规则或模式达到某种预期的目的，高中常用的思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想例如，分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类，函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长
16、时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。五、案例分析题16 【正确答案】 该生的这种做法产生了增根 1，实际上当 31 10 时，3 1 20 导致对数的真数为负数则原方程无意义。17 【正确答案】 log 2(91 5)log 2(31 2)20 log(91 5)log 2(31 2)log 240 log 2(91 5)log 24(31 2) 所以解
17、集为2 。18 【正确答案】 本题所运用的是分类讨论和函数与方程的数学思想方法。六、教学设计题19 【正确答案】 (1)问题引入：求方程 3261 0 的实数根。 变式：解方程35610 的实数根。 (一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示。但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“ 阅读与思考 ”，还有如 ln260 的实数根很难下手，我们寻求新的角度函数来解决这个方程的问题。) 设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见
18、山地提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。 (2)问题：求方程 2230 的实数根，并画出函数 y 2 23 的图象； 问题：观察形式上函数 y 22 3与相应方程 22 30 的联系。 问题：由于形式上的联系，则方程2230 的实数根在函数 y 223 的图象中如何体现 ? 设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。 (3)实例：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头(图
19、略)，哪一组能说明他的行程一定曾渡过河? 设计意图：从现实生活中提出的问题。让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。 问题：将河流抽象成 轴，将前后的两个位置视为 A、B 两点。请问当 A、B 与 轴是怎样的位置关系时。AB 问的一段连续不断的函数图象与 轴一定会有交点?设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理。将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。 问题：A、B 与 轴的位置关系，如何用数学符号(式子)来表示? 设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。 问题：满足条件的函数图象与 轴的交点一定在(
20、a，b)内吗?即函数的零点一定在(a， b)内吗? 设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。 (4)教学重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系。掌握函数零点存在性的判断。 (5)教学难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点。 (6)本节课是在学生学习了基本初等函数()的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节用二分法求方程的近似解做准备。
