1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 33及答案与解析一、单项选择题1 设 n是数列，下列命题中不正确的是 ( )。（A）（B）（C）（D）2 已知矩阵 A 有一个特征值为 0，则( )。（A）2 5（B） 1（C） 25（D）03 设 f() 其中 g()是有界函数，则 f()在 0 点( )。（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续，但不可导（D）可导4 半圆形闸门半径为尺，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度 1，重力加速度 g10。若坐标原点取在圆心， 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( )。（A）（B）（C）（D）5 已知矩阵 A ，则矩阵 A
2、的逆矩阵 A-1 为( )。（A）（B）（C）（D）6 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随着 的增大，概率 P 应该( )。（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不变7 在高等代数中，有一种线性变换叫作正交变换，即不改变任意两点的距离的变换。下列变换中不是正交变换的是( )。（A）平移变换（B）旋转变换（C）反射变换（D）相似变换8 普通高中数学课程标准(实验)设置了四个选修系列，其中选修系列 1 是为希望在人文社会科学等方面发展的学生而设置的，下列内容不属于选修系列 1 的是( )。（A）矩阵变换（B）推理与证明（C）导数及应用（D）常用逻辑用语二、简答题9 求
3、1 绕 y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程。10 设 (1)求A； (2)已知线性方程组 AXb 有无穷多解，求 a，并求 AXb 的通解。11 计算二重积分 I sin(2y 2)ddy 其中积分区域D(，y) 2y 2。12 论述实施合作学习应注意的几个问题。13 结合教学实际说一说，你认为新课程标准对教师的课堂教学有哪些要求?三、解答题14 罗尔定理：设函数 f()满足条件：(1)在闭区间a，b上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)f(a)f(b)，则在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()0。证明这个定理并说明其几何意义。四、论述题15 给出中学几何研究图形的几个主要方法，并试
4、以其中一种为例，说明该种方法的基本特点。五、案例分析题15 案例：某教师在进行圆锥曲线的教学时，给学生出了如下一道练习题：求过点(0，1)的直线，使它与抛物线 y22 仅有一个公共点。 某学生的解答过程如下： 解：设所求的过点(0，1) 的直线为 yk 1，则它与抛物线的公共点为 消去 y 得：(k1) 220。 整理得 k22(2k2)10。 直线与抛物线仅有一个公共点， 0 解得 k ，所求直线为 y 1。 问题：16 指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因。17 给出你的正确解答。18 指出你解题所运用的数学思想方法。六、教学设计题19 在弧度制的教学中，教材在介绍了弧度制的概念时，直
5、接给出“1 弧度的角” 的定义，然而学生难以接受常常不解地问：“怎么想到要把长度等于半径的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角?” 如果老师照本宣科，学生便更加感到乏味： “弧度，弧度，越学越糊涂。”“弧度制 ”这类学生在生活与社会实践中从未碰到过的概念，直接给出它的定义，学生会很难理解。问题：(1)谈谈“弧度制”在高中数学课程中的作用；(2)确定“弧度制”的教学目标和教学重难点；(3)根据教材，设计一个“ 弧度制概念”引入的教学片段，引导学生经历从实际背景抽象概念的过程。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 33答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 如果
6、数列 n收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。 对于 A 选项， n a，即数列 n 收敛于 a，而 2n， 2n+1都是 n 的子列，所以有 2n 1a，选项 A 正确。选项 C 和选项 A 同样道理，选项 C亦正确。 对于 B 选项， 2n， 2n+1的极限都是等于 a，且 2n， 2n+1分别是下标为偶数和奇数的子列， na，所以选项 B 是正确的。 对于 D 选项，3n1a，但是 3n， 3n+1的并集没有包含 n的所有项，所以不能推 n a，因此 D 项不正确。故选 D。2 【正确答案】 A【试题解析】 A52，A 有零特征值，得A 0，故 25，显然应选 A。3 【正
7、确答案】 D【试题解析】 由等价无穷小替换，0，其中用到g()为有界函数的条件。所以 f()存在且为 0。而 f(0)0，f()在 0 点连续。故 f()在 0 点可导，且 f(0)0，D 正确。4 【正确答案】 C【试题解析】 如图所示，任取，d0，R，相应的小横条所受压力微元 dPg.2yd20 d 于是，闸门所受压力 P 0R20 d。故选C。5 【正确答案】 D【试题解析】 所以 A-16 【正确答案】 C【试题解析】 因为 P，所以 (1) ()2(1)1，该概率与 无关，故保持不变。7 【正确答案】 D【试题解析】 相似变换改变两点之间的距离，其余三种变换都不改变任意两点问的距离。
8、8 【正确答案】 A【试题解析】 选修 1 一 1 的内容是：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 12 的内容是：统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入、框图。矩阵变换属于选修系列 4 的内容。所以选 A。二、简答题9 【正确答案】 根据题意可知， 代替 z 可得， 1 绕 y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为 1。10 【正确答案】 可知，要使原线性方程组有无穷多解，则有 1a 40 及a a 20，可知a1。 此时，原线性方程组增广矩阵为 ，进一步化为行最简形得 可知导出组的基础解系为 非齐次方程的特解为故其通解为11 【正确答案】 从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐
9、标进行计算。 作极坐标变换：设 rcos ， yrsin，有记 A 0e-tsintdt，则 A 0e-tsintdt 0e-tdcoste -tcost 0 0e-tcostdt e-1 0e-tdsinte -1e -tsint 0 0e-tsintdte -1A 因此，12 【正确答案】 (1)确定适当的合作学习内容和问题(任意)，合作学习是一种学习方式，也是一种手段，学习方式与所学内容互相适应，不是所有的学习领域和学习主题都需要合作学习的方式。(2)合作学习的主要目的是加强师生之间的交流与互动。(3)合作学习应在独立思考的基础上进行。(4)要防止合作学习流于形式。13 【正确答案】 (
10、1)创设良好氛围，激励学生学习。(2)围绕教学目标，开展教学活动。(3)突出思维训练，培养思维能力。(4) 着眼学生发展，组织学生活动。(5)运用多种教学方法，选用恰当教学媒体。(6)重视教师的人格力量规范教师的课堂行为。三、解答题14 【正确答案】 因 f()在闭区间a，b上连续，所以在 a，b上一定取到最大值 M和最小值 m。 (1)若 Mm，则 f()在a，b上是常数 f()M，a ，b 。从而 f()0，因此，任取 (a，b)都有 f()0。 (2)若 Mm，则 M，m 中至少有一个不等于 f(a)，不妨设 f(a)M。因此，函数 f()在内(a，b)某一点 处取到最大值 M。我们来证
11、 f()0。 由于 f()在 处取最大值，所以不论 为正或为负，总有 f() f()0。当0 时， 0，f +() 0；同理，当 0 时， 0，f -() 0。 根据题意，f()在 点处可导，所以 f()f +()f -()0。得证。 几何意义：设 yf()是一条连续光滑的曲线，并且在点 A、B 处的纵坐标相等，即 f(a)f(b) ，如图，那么我们容易看出，在弧 AB 上至少有一点 C(，f()，曲线在 C 点有水平切线。四、论述题15 【正确答案】 中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析几何的方法，向量几何的方法，函数的方法等。综合几何的方法是利用几何的方法研究图形的性质，即用
12、已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。例如，把两条线段相等问题转化为两个三角形的全等关系或一个三角形内两边的相等关系，空间两直线的垂直问题转化为平面两直线垂直(如三垂线定理) ，利用三视图研究空间几何体等。在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究综合图形性质的基本方法。五、案例分析题16 【正确答案】 错解分析：这个解法共有三处错误。第一，设所求直线为 yk1 时，没有考虑斜率不存在的情形，实际上就是对直线的点斜式理解不透，以为点斜式可以表示所有直线。第二，题目要求直线与抛物线只有一个公共点，它包含相交和相切
13、两种情况，而上述解法没有考虑相交的情况，只考虑了相切的情况。错误原因是对于直线与抛物线的位置关系这个知识理解不透。第三，将直线方程和抛物线方程联立后得一个一元方程后，直接用判别式解题，是对一元二次方程形式不熟悉的表现，没注意到二次项系数为零时，方程不是一元二次方程，不能用二次方程相关知识解题，需要对 k 为零和不为零进行讨论。这三处错误，都体现出对基本概念的特征理解不明确。17 【正确答案】 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 轴，因为过点(0，1)，所以方程为 0 即 y 轴，它正好与抛物线 y22 相切。 当所求直线斜率为零时，直线为 y1 平行 轴，它正好与抛物线 y22 只有一个公共点
14、。 一般地，设所求的过点(0 ，1)的直线为 yk 1(k0)则 k22(2k 2) 10。 令0解得 k 。所求直线为 0，y1，y 1。18 【正确答案】 解题时运用了分类讨论、化归的数学思想方法。六、教学设计题19 【正确答案】 (1)关于弧度制的教材分析：选自普通高中课程标准试验教科书A 版必修 4 第一章第 1 节第 3 课时。一方面初中已经学过角的度量单位 “度”，并且上节课学习了任意角的概念，因此本节课是在学习任意角的基础上再次延伸，为后面学习任意角的三角函数做准备，有承上启下的作用；另一方面角度制是 60 进制、与实数间的运算不同，在解决很多问题时带来的不便，所以学习弧度制是很
15、有必要的。通过本节的学习，掌握另一种度量角的单位制弧度制，理解并认识到角度制和弧度制都是对角度量的方法，角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立一一对应关系，为下一节学习三角函数做好准备。(2)知识与技能：理解并掌握弧度制的定义；掌握角度中度与弧度的互化；理解角的集合与实数之间建立的一一对应关系；掌握并运用弧度制表示的弧长工时、扇形面积公式。过程与方法：创设情境，引入弧度锎度量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义。根据弧度制的定义推导并运甩弧长公式和扇形公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化。情感态度与价值观：激发对数学强烈的求知欲，养成积极主动地学习和思考并参与数学学习
16、活动的好习惯。教学重点：掌握角度中度与弧度的互化。教学难点：掌握弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式的应用。(3)在课堂教学中，可采用如下设计的教学过程。一、创设故事情境一个生病的小男孩得知自己的体温是“102” 时，十分忧伤地独自一个人躺在床上“等死”。而他的爸爸对此却一无所知，他以为儿子是想体息。所以才没有陪伴他，等他从外面打猎回来，发现儿子不见好转时，才发现儿子没有吃药。一问才知道，他儿子在学校里听同学说一个人的体温是“44” 度时就不能活。当爸爸告诉他就像英里和千米一样，有两种不同的体温测量标准，一种 37 度是正常，而另一种 98 度是正常时，他才一下子放松下来，委屈的泪水下来哗哗流下
17、来。在生活、生产和科学研究中，一个量可以有几种不同的计量单位(老是可以让学生说出如长度、面积、度量等一些量的不同计量单位)并指出对于“角” 仅用“度”做单位就很不方便。因此，我们要学习角的另一种计量单位弧度。如此引入，很自然引出或鼓励学生猜测“角”还有没有其他度量方式，从而开启思堆的闸门。二、探索角度的度量方法可从两种度量实质上的一致之处开始探索：两个量角器拼成一个圆，可以看出圆周被分成 360 份，其中每一份所对的圆心角的度数就是 1 度，然后提出问题“拿” 圆上不同的圈孤，度量圆周时，得到的数值是否一样?，为了探索这个问题，把学生分成若干小组，思孝下列问题!1 度的角如何规定的?用一个圆心所对的弧长来度量一个圆心角的大小是否可行? 同一个圆心角在半径不等的圆中所对弧长相等吗?用一个圆的半径来度量该圆心角的大小是否可行? 其值会不会由于圆半径的变化而变化?如何定义圆心角的大小? 说明这种度量的好处。要求学生分组讨论以上问题，写出结果，在班内交流结果，师生共同确定答案。这样处理可将弧度概念与度量有机结合起来，有效化解难点，在探索中注重课堂交流能力的培养，使学生在不断的交流中逐渐明晰自己的思路。教师资格考试数学学科知识与教学能力(高级中学)
