1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 38及答案与解析一、单项选择题1 设 Pn(xn，y n)是直线 (nN*)与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限( )。（A）一 1（B）（C） 1（D）22 设 A 是 mn 矩阵，如果 mn，则( ) 。（A）Ax=b 必有无穷多解（B） Ax=b 必有唯一解（C） Ax=0 必有非零解（D）Ax=0 必有唯一解3 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其中二阶导数 f(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为( )个。（A）0（B） 1（C） 2（D）34 设 a=(一 1，2，一 1)，b=(1，一 1，2
2、) ，c=(3 ，一 4，5)，则( )。（A）ab（B） bc（C） ca（D）a，b， c 共面5 设 A，B，A+B，A 一 1+B 一 1 均为 n 阶可逆矩阵，则 (A 一 1+B 一 1)=( )。（A）A 一 1+B 一 1（B） A+B（C） A(A+B)一 1B（D）(A+B) 一 16 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随着 的增大，概率 Px 一 应该( )。（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不变7 关于倍立方体问题中最重大的成就是柏拉图学派的( )为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。（A）梅内赫莫斯（B）泰勒斯（C）欧几里得（D）阿基米德8
3、 义务教育数学课程标准(2011 年版)提出，“数感” 感悟的对象是( ) 。（A）数与数量、数量关系、口算（B）数与数量、数量关系、笔算（C）数与数量、数量关系、简便运算（D）数与数量、数量关系、运算结果估计二、简答题9 求极限10 设矩阵 (1)求 a，b 的值；(2)求可逆矩阵P，使 P 一 1AP 为对角矩阵。11 如图，用 A、B、C 三类不同元件连接成两个系统 N1、N 2，当元件 A、B、C 都正常工作时，系统 N1 正常工作；当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时，系统 N2 正常工作。已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为080、090、090，分别求系
4、统 N1、N 2 正常工作的概率 P1、P 2。12 依据义务教育数学课程标准(2011 年版)教学建议，在数学教学活动中，教师应做好哪几点?13 数学概念是什么? 数学概念教学有哪些基本要求?三、解答题13 已知曲线 其中函数 f(x)具有连续导数，且 f(0)=0，f(t)0(0 t )，若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 l。14 求函数 f(t)的表达式。15 求此曲线 L 与 x 轴和 y 轴围成的无边界的区域的面积。四、论述题16 给出中学几何研究图形的几个主要方法，并试以其中一种为例，说明该种方法的基本特点。五、案例分析题16 案例：阅读下列两个教师有关有理数乘方
5、的教学片段。 甲教师导入的教学过程：教师甲在大屏幕上依次呈现问题 l(已知正方形的边长为 a，则它的面积是多少?)和问题 2(已知正方体的棱长为 a，则它的体积是多少 ?)。待同学回答后，教师出示结果：边长为 a 的正方形的体积为 aa，简记作 a2，读作 a 的平方(或二次方)；棱长为 a 的正方体的体积为 aaa，简记作 a3，读作 a 的立方(或三次方)。 然后教师甲提出问题 3：请大家动手折一折，一张报纸对折一次后，报纸几层?如果对折两次、三次呢?每一次对折后的层数与上一次对折层数的关系是什么? 层数和对折的次数之间有什么关系? 学生折叠并思考，教师巡视并提问。归纳出每一次对折后的层数
6、都是上一次对折层数的 2 倍，概括了层数和对折次数的关系及表示方法，填入下表中：接下来，甲教师引出乘方的相关概念(大屏幕显示)：一般地，把儿个相同的因数 a相乘的运算叫作乘方运算，把 aaa(n 个 a)简记作 zn，读作 a 的 n 次方。 由此引出乘方、底数、指数、幂的概念。 乙教师导入的教学过程： 乙教师在大屏幕上呈现问题：某种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个，经过 5 小时，这种细胞由1 个可以分裂成多少个? 引导学生思考：分裂的次数与 2 的个数之间的关系? 并完成下表：由此，引出乘方、底数、指数、幂的概念。 问题：17 分析甲、乙两位教师导入的相同点；18 分析甲、乙
7、两位教师导入中存在的不足。六、教学设计题18 针对“随机事件 ”起始课的教学，两位教师给出了如下教学设计片段： 【教师甲】设置问题情境：下列问题哪些是必然友生的?哪些是不可能友生的? 太阳从西边下山；某人的体温是 100；a 2+b2=一 1(其中 a，b 都是实数)； 水往低处流；酸和碱反应生成盐和水； 三个人性别各不相同； 一元二次方程 x2+2x+3=0无实数解。 引发思考：把上面的事件、 、称为必然事件，把事件、称为不可能事件，提问：什么是必然事件?什么又是不可能事件呢? 它们的特点各是什么? 【教师乙 】 在日常生活中我们会发现有些事件是可能发生的，有些事件是不可能发生的，有些事件是
8、必然发生的，在数学中我们怎样定义事件发生的可能性呢? 今天就来学习必然事件、不可能事件的概念。 请完成下列任务：19 请分析两位教师引入“随机事件” 概念设计方案的各自的特点。20 请分析“随机事件 ”的重、难点。21 在教学中，当引入一个新的数学概念之后，往往通过例题、习题加深对概念的理解。请针对“ 随机事件”概念，设计不同难度的两道例题和两道练习题，以加深学生对“随机事件 ”概念的理解。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 38答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 表达式 表示的是过点 Pn(xn，y n)和点(1，1)的直线的斜率。因为，所以点列
9、 Pn(xn，y n)当 n 时的极限点为点(1，1)。因此所求极限为圆 x2+y2=2 在点(1，1)处切线的斜率，为一 l。2 【正确答案】 C【试题解析】 根据条件可知，方程组中方程的个数一定小于未知数的个数，所以Ax=0 必有非零解。由于 r(A)n，故 Ax=b 不会是有唯一解，若 ，则Ax=b 有无穷多解；若 ，则 Ax=b 无解。3 【正确答案】 C【试题解析】 拐点出现在二阶导数等于零，或二阶导数不存在的数，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由 f(x)的图形可得，曲线 y=f(x)存在两个拐点。4 【正确答案】 D【试题解析】 三个向量的混合积(a，b，c)= 所以向
10、量 a，b，c 共面。5 【正确答案】 C【试题解析】 (A 一 1+B 一 1)=(A 一 1+B 一 1E)一 1 =(A 一 1+B 一 1AA 一 1)一 1 =(E+B 一 1A)A 一 1一 1 =(B 一 1B+B 一 1A)A 一 1一 1 =B 一 1(B+A)A 一 1一 1 =A(A+B)一 1B6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Px 一 u= =(1)一 (一 1)=2(1)一 1，该概率与 无关，故保持不变。7 【正确答案】 A【试题解析】 关于倍立方体问题中最重大的成就是柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。8 【正确答案】 D【试题解析】
11、 数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。二、简答题9 【正确答案】 10 【正确答案】 (1)相似矩阵具有相同的行列式和秩，从而 显然可求得 B 的特征值为 1，1，5，从而 A 的特征值为 1，1，5，当 =1 时，从而解得属于特征值 1 的线性无关的特征向量为1=(2， 1，0) T， 2=(3，0，一 1)T。同理，解得属于特征值 5 的特征向量3=(1， 1，一 1)T。11 【正确答案】 分别记元件 A、B、C 正常工作为事件 A、B、C，P(A)=080 ，P(B)=090，P(C)=090。 (1)因为事件 A、B、C 相互独立，所以 N1 正常工作的概率
12、为 P1=P(ABC)=P(A) .P(B) .P(C)=080090090=0648。 (2)N 2正常工作的概率 P2=P(A) .P(C+B) 即12 【正确答案】 (1)要把基本理念转化为自己的教学行为，处理好教师讲授与学生自主学习的关系，注重启发学生积极思考；(2)发扬教学民主，当好学生数学活动的组织者、引导者、合作者；(3)激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；(4)创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；(5)关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；(6)合理地运用现代信息技术，有条件的地区，要尽可能合理、
13、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益。13 【正确答案】 数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。数学概念教学的基本要求包括：概念引入的方法要得当；明确数学概念的内涵和外延；概念的表述要准确；及时巩固所学的概念。三、解答题14 【正确答案】 设切点坐标为(f(t)，cost)，则在该点的斜率为根据两点之间的距离公式有 又 f(0)=0，所以 f(0)=ln(sec0+tan0)一 sin0+C=0，得 C=0，故函数 f(t)=ln(sect+tant)一 sint。15 【正确答案】 根据参数方程面积计算公式有故此曲面 L 与 x 轴和
14、 y 轴所围成的无边界的区域的面积为四、论述题16 【正确答案】 中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析几何的方法，向量几何的方法，函数的方法等。综合几何的方法是利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。例如，把两条线段相等问题转化为两个三角形全等关系或一个三角形内两边的相等关系，空间两直线的垂直问题转化为平面两直线垂直(如三垂线定理)，利用三视图研究空间几何体等。在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究综合图形性质的基本方法。五、案例分析题17 【正确答案】 甲教师
15、的导入由学生的已有经验(问题 1 和问题 2)出发，通过问题 3 引出了乘方的相关概念。乙教师的导入由细胞学的分裂实例，直接给出了乘方的相关概念。两位教师导入的共同点是引入简洁、快速。18 【正确答案】 甲乙两位教师的导入有三点不足： 没有突出为什么引入乘方运算。事实上，数的算式和算法的发展都与原算式或原算法不满足实际的需要及其内部的矛盾运动有关。当相同的因数相乘的运算有大量需求，且因数的个数很多时，造成相同的因数相乘的算式和算法的冗繁，此时创造一种新的运算势在必行。乘方运算的创造，充分表明了数的运算发展从量变到质变的辩证过程。教学可通过适当的活动，渗透这一辩证观点。同时通过对概念引入必要性的
16、体验，诱发学生的内部学习动机。 由 2n 直接给出 an，不仅使学生缺失了一次归纳概括的机会，而且也易使学生误以为底数口为正数。后面的练习有底数 a 为负数的，但先入为主(首因效应)，使得部分学生对乘方运算的理解不完整。 没有让学生探究乘方运算记法的合理性。数学符号语言简洁、抽象的美，没有教师的点拨，学生是很难自主发现的。通过探究乘方运算记法的合理性，使学生对这种记法有较深刻的认识，避免一些无谓的错误，同时感受到数学家的智慧和数学符号语言的美。六、教学设计题19 【正确答案】 教师甲的做法非常符合素质教育的要求的，首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，
17、自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。概念的总结也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与的理念。教师乙的做法相对教师甲来说，是有所欠缺的，没有给学生预设情境，通过总结性的语言，直接总结提出随机事件的概念，没有体现学生的主体地位，不能提高学生的学习积极性，也没有增加教学的趣味性和知识性，课堂整体会比较沉闷。教师只是一味的教，学生只是一味地学，没有体现出新课标的要求。20 【正确答案】 教学重难点重点：必然事件、不可能事件、随机事件的判断，
18、随机事件的特点。难点：必然事件、不可能事件、随机事件的区别，对随机事件作出准确判断。21 【正确答案】 例题 1：“从一堆牌中任意抽一张，抽到红牌” 这一事件的发生情况? 例题 2：5 名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有 5 根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号 1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到纸签上的数字的情况从签筒中随机(任意) 地取一根纸签。请考虑以下问题： 抽到的序号有几种可能的结果? 抽到的序号会是 0 吗? 抽到的序号小于 6 吗? 抽到的序号会是1 吗? 你能列举与事件相似的事件吗? 练习 1 摸球游戏中小明的箱子里面都是红球，小麦的箱子里面都是黑球，小米的箱子里面有红球有黑球：问小明、小麦、小米三人每次一定能摸到红球吗? 练习 2 指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。 两直线平行，内错角相等； 刘翔再次打破110 米栏的世界纪录； 打靶命中靶心； 掷一次骰子，向上一面是 3 点； 13 个人中，至少有两个人出生的月份相同； 经过有信号灯的十字路口，遇见红灯； 在装有 3 个球的布袋里摸出 4 个球； 物体在重力的作用下自由下落； 抛掷一千枚硬币，全部正面朝上。
