1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 41及答案与解析一、单项选择题1 下列说法与数列极限 不等价的是( )。2 设矩阵 E 为二阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则 B =( )。（A）4（B） 2（C） 0（D）13 方程 所确定的曲面的名称是( )。（A）椭球面（B）双叶双曲面（C）椭圆抛物面（D）双曲抛物面4 下列函数在 x=0 处可导的是( ) 。（A）y= x（B）（C）（D）y=sinx 5 已知齐次线性方程组 只有零解，则 应满足的条件是( )。（A）=0（B） 1（C） 一 1（D）=26 设事件 A 与事件 B 互不相容，则( )。（A）（B
2、） P(AB)=P(A)P(B)（C） P(A)=lP(B)（D）7 发现勾股定理的希腊数学家是( )。（A）泰勒斯（B）毕达哥拉斯（C）欧几里得 （D）阿基米德8 义务教育数学课程标准(2011 年版)提出，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和( )。（A）探索性学习（B）合作交流（C）模型思想（D）综合与实践二、简答题9 设直线 在平面 上，而平面 与曲面 x2+y2=z 相切于点(1，一 2，5) ，则求 a，b 的值。10 设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a ，a)，(3， 2，1，a) ，(4，3，2，1)线性相关，且 al
3、，求 a。11 甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的 25、35、40，次品率分别为 003、002、001。现从所有产品中取一件，试求：(1)该产品是次品的概率；(2)若检查结果显示该产品是次品则该产品是乙车间生产的概率是多少?12 义务教育数学课程标准(2011 年版)所制定的总目标是什么?总目标是从哪几个方面进行阐述的?13 如何处理面向全体学生与关注学生个体差异的关系?三、解答题14 罗尔定理：设函数 f(x)满足条件：(1) 在闭区间 a，b上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=0。证明这个定理并说
4、明其几何意义。四、论述题15 数形结合思想是一种重要的数学思想，它的实质就是根据数与形之间的对应关系。通过数与形的相互转化来解决问题。用数形结合思想解题能简化推理和运算，具有直观、快捷的优点。请简要谈谈数形结合思想在解哪些类型的问题时可以发挥作用，使问题得到更好的解决。五、案例分析题15 案例 1：教师：我们以前已经学过了一元一次方程以及二元一次方程组的解法，并简要介绍方法。并在解决许多实际问题的过程中感受到：将相等关系用数学符号抽象后所得到的“ 方程” 确实是一种有效的数学工具，它能让我们的思维过程更加准确和简明! 但是，生活中除了相等的数量关系以外，还存在着大量的不等关系，通过前几节课的学
5、习，我们也已经基本了解了不等式的性质(介绍性质，写在黑板上)和简单不等式的解法(解法在黑板上顺一遍)。今天，就让我们通过一些带有选择“决策”意义的实际问题来共同探讨一下一元一次不等式这种数学模型是如何解决生活中的实际问题的。(介绍新知识) 案例 2：教师在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时在拓展思维环节举出了下面这样一个例题，随着教学过程的深入，很有感想。 例题：在一个双休日，某公司决定组织 48 名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格如下表所示： 请你帮助设计一下：怎样的租船才能使所付租金最少?(严禁超载 ) 师：谁能公布一下自己的
6、设计方案?(学生都在紧张的思考中 )(突然间，教师发现一名平时学习较困难的学生这次第一个举起了手，很惊奇，便马上让他发言了。) 生：我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租! (这时，教室里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪想坐下去，教师赶紧制止。) 师：很好!你为他们设计了三种方案。那你能不能再具体为他们计算出租金呢? 生(一下子来劲了) ：如果租大船，则需要船只数为485=96 只，因为不能超载，所以租大船需 10 只，则所付租金要 310=30 元。如果租小船，则需要船只数为 483=16 只，则所付租金要 162=32 元。如果既租大船又租小船(说到这里，该生卡了壳) (教师边认
7、真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了壳，便赶紧答上话) 师：刚才同学真的不错，不但一下子设计了三种方案，还差不多完成了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高兴(教室里响起一片掌声)。要有勇气展示自己，你今天的表现就非常非常地出色，你今后的表现一定会更出色。好，下面我就让我们一同把剩下的一种方案的租金来完成吧。 (在师生的共同研讨中得出)：设租用 X 只大船，Y 只小船，所付租金为 A 元。则：5X+3Y=48，A=3X+2Y。得到： ，因为：05X48 且 X 为正整数。所以：X=9 时，A 最小值=29 即租用 9 只大船和 1 只小船时，所付租金最少，最少租金为 2
8、9 元。此时有 45 人(59)坐大船，有 3 人坐小船。 师：今天的课程内容还有一项，那就是请同学(示意刚才的同学)谈谈这堂课的感想。 生：以前我不敢发言，我怕说的不对会被同学们笑话，而今天的游船题目恰好是我前几天才去坐过的，所以一下子我今天才发现不是这样我今后还会努力发言的 问题：16 案例 1 中的教学导入形式好吗?说明理由；17 你认可案例 2 中的教师的教学过程吗?说明理由。六、教学设计题17 初中“平面直角坐标系”( 第一节课)设定的教学目标如下：了解有序数对的概念，体会有序数对在现实生活中应用的广泛性；通过实例让学生认识有序数对，感受有序数对在确定点的位置中的作用。完成下列任务：
9、18 根据教学目标，设计至少三个问题，并说明设计意图。19 根据教学目标，给出至少两个实例，并说明设计意图。20 本节课的教学重点是什么?21 作为初中阶段的重要内容，其难点是什么?22 本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响?中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 41答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 数列的极限定 的本意是：a n 一 A可以无限小。选项A、B、C 中的 2( 无限小)， (k 无限大)，100( 无限小)都可以无限小，因此A、B、C 与极限的定义是等价的。当 n 很大时，n 不一定小。因此选 D。2 【正确答案】 B【试
10、题解析】 由 BA=B+2E 得 B(AE)=2E，于是有3 【正确答案】 C【试题解析】 由抛物面的定义得。4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0。A 项：，因为 P(AB)不一定等于 1，所以 A 项不正确；B 项：A与 B 为独立事件时才成立，B 项不正确。C 项：只有当 A，B 互为对立事件的时候才成立，故排除；D 项：P(AB)=1P(AB)=1，故 D 正确。7 【正确答案】 B【试题解析】 泰勒斯是数学之父，但他并没有发现勾股定理；欧几里得是几何学的代表人物；阿基米德的数学
11、成就主要是集中探讨面积和体积的计算相关问题。8 【正确答案】 C【试题解析】 在数学课程中，应该注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。二、简答题9 【正确答案】 设函数 F(x，y，z)=x 2+y2 一 z，F x=2x，F y=2y，F z=一 1，所以x2+y2=z 在点(1，一 2，5)处的切平面的法向量为(2，一 4，一 1)。过直线 L 的平面束方程为(x+y+6)+k(x+ay 一 z 一 3)=0，整理得，(k+1)x+(ak+1)y 一 kz 一 3k+b=0，其法向量为(k+1，ak+1，一 k)。根据题意有， k=1
12、，a=一 5。将点(1，一 2，5)代入平面(k+1)x+(ak+1)y 一 kz 一 3k+b=0，得 b=一 2。即得 a=一5，b=一 2。10 【正确答案】 11 【正确答案】 (1)设 A1，A 2，A 3 表示甲乙丙三车间加工的产品，B 表示此产品是次品。所求事件的概率为 P(B)=P(A1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)+P(A3)P(BA 3)=025003+0350 02+04001=00185。(2)12 【正确答案】 通过义务教育阶段的数学学习，学生能：(1)获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。(2)体会数学知识
13、之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。(3)了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。总目标从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个方面进行阐述的，总目标的这四个方面，不是相互对立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。13 【正确答案】 教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每个学生在原有基础上的发展。对于学习有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，并
14、尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法，要及时地肯定他们的点滴进步，耐心地引导他们分析产生困难或错误的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信心。对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们的数学才能。在教学活动中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平：问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富其数学活动的经验，提高思维水平。三、解答题14 【正确答案】 因 f(x)在闭区间a ，
15、b上连续，所以在a，b上一定取到最大值 M和最小值 m。 (1)若 M=m，则 f(x)在a ，b上是常数，f(x)=M，xa，b。从而 f(x)=0，因此，任取 (a，b)都有 f()=0。 (2)若 Mm，则 M，m 中至少有一个不等于 f(a)，不妨设 f(a)M。因此，函数 f(x)在内(a，b)某一点 处取到最大值 M。我们来证 f()=0。由于 f(x)在 处取最大值，所以不论 x 为正或为负，总有 f(+x)一 f()0。当 x0 时，根据题意 f(x)在 点处可导，所以 f()=f+()=f一 ()=0。得证。 几何意义：设y=f(x)是一条连续光滑的曲线，并且在点 A、B 处
16、的纵坐标相等，即 f(a)=f(b)，如图，那么我们容易看出，在弧 AB 上至少有一点 C(，f()，曲线在 C 点有水平切线。四、论述题15 【正确答案】 (1)在解方程或解不等式的问题中，若方程或不等式中的代数式能分拆成一次函数、二次函数、对数函数、指数函数和三角函数等形式，则一般可利用函数的图象直观地使问题获得解决；(2)复数与三角函数概念的建立离不开直角坐标系，因此这些概念含有明显的几何意义，采用数形结合解决此类问题非常直观清晰；(3)二元一次方程、二元二次方程能与直线、二次曲线相对应，用数形结合法解此类问题，能在解题过程中充分利用平面几何和解析几何的知识，使解题思路更开阔。五、案例分
17、析题16 【正确答案】 案例 1 中教师的教学导入有优点也有缺点。优点是一开始提到并复习了上节课的知识，进行了新旧知识间的一个过渡，降低了学生对新知识的认知难度；采取了直接导入的方式，开门见山介绍了本节课的课题，缺点在于没进行合理的情境创设，将知识全盘塞给学生，无法激发学生的兴趣。17 【正确答案】 我觉得案例 2 中的老师的做法是很好的，从这一个学生的举手发言到说得头头是道的“ 意外 ”中。让教师明白了：学生需要一个能充分展示自我的自由空间，作为老师，我们需要给学生一个自由的民主的氛围。能充分培养学生的自信，使“学困生 ”也能产生发言的欲望，也能对问题畅所欲言，教师还应能及时捕捉到这一闪光点
18、，给每一位学生都有展示的机会。也就是说要使学生全部积极参与教学，因为它集中体现了现代课程理念：活动、民主、自由。民主是现代课程中的重要理念。民主最直接的体现是在课程实施中学生能够平等地参与。没有主动参与，只有被动接受，就没有民主可言。相反，如果没有民主，学生的参与就不是主动性参与，而是被动的、消极的参与。在课程进行中，教师应形成一种有利于学生主动参与的人际关系氛围。尊重是进行一切活动的前提，只有尊重学生，才能理解学生，才能做到平等，学生才会感到安全，才不会出现有的学生被冷落，被讽刺，甚至被耻笑的现象。在提问时，应设计开放性的问题，如：“ 请你帮助设计一下，怎样租用，才能使所付租金最少?”这样才
19、没有限制学生的思维，给学生创设一个自由的空间，学生在这个空间中可以按自己的方式展开想象，才能畅所欲言。在课堂上，老师应不只关注“ 优等生”，而应平等地对待每一个学生，让“学困生”和“学优生”同时享有尊严和拥有一份自信。特别是发现一个学生在举了手时，应及时给“学困生 ”展示的机会，让他们发言。学生在发言中，虽然有时不能把问题完全解决，老师也要充分的肯定这个学生的成绩和能够大胆发言的勇气。六、教学设计题18 【正确答案】 问题：老师带来一件纪念品，想赠送给你们中的一位同学，如果这位同学在第三列，你们猜猜是谁呢?问题：如果这位同学在第三列第二行，那么这位同学是谁呢?问题：那么怎样才能确定这位同学的位
20、置呢?(设计意图：通过给学生提供现实的背景及生活素材，吸引学生的注意力，激发好奇心和求知欲。让学生通过亲身经历体会从具体情境中发现数学问题，进而寻求解决问题方法的全过程，从而使学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息。)19 【正确答案】 实例：影院对观众席所有的座位都按 “几排几号”编号，以便确定每个座位在影院中的位置，观众根据入场券上的“排数” 和“号数”准确入座。实例：在建国 50 周年的庆典活动中，天安门广场上出现了壮观的背景图案，你知道它是怎么组成的吗?原来，他们举起不同颜色的花束(如第 10 排第 25 列举红花，第 28 排第 30 列举黄花)，整个方阵就组成了绚丽的背景图章。(设计意图：经历运用所学知识，寻找实际背景的过程，使学生体会到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，在现实生活中有着广泛的应用。)20 【正确答案】 重点：用有序数对表示位置。21 【正确答案】 难点：对有序数对中的有序的理解。22 【正确答案】 本节课的教学内容是人教版初中数学七年级下册第六章平面直角坐标系中第一节有序数对，本节课是学习平面直角坐标系的基础，对后续学习函数图象也起着至关重要的作用。通过有序数对的学习使学生体会到数与形的相互转化的数学思想，实现认识上从一维空间到二维空间的发展，使数学学习进入一个新的阶段。
