1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 43及答案与解析一、单项选择题1 的值为( )。（A）2（B） 3（C） 4（D）52 已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于( )。（A）1（B） 0（C） a2（D）一 a23 关于二次曲面 x2+y2=z2，下列说法正确的是( )。（A）它是一个锥面（B）它是一个球面（C）它是一个鞍面（D）它是一个柱面4 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 则( )。（A）f(0)=1 且 f(0)=2（B） f(0)=0 且 f(0)=2（C） f(0)=1 且 f+(x)=2（D）f(0)=0 且 f+
2、(0)=25 已知矩阵 那么矩阵 A 与矩阵 B( )。（A）既不相似也不合同（B）合同但不相似（C）相似但不合同（D）合同且相似6 设随机变量 X，Y 不相关，且 E(X)=2，E(Y)=1，D(X)=3，则 E(X(X+Y 一 2)=( )。（A）一 3（B） 3（C）一 5（D）57 刘徽在注释九章算术的过程中，提出了许多创造性的见解，值得一提的是，他创造性的发展了根限思想并加以灵活运用，其例子是( )。（A）割圆术（B）解体用图（C）盈不足术（D）齐同变换8 下列划分正确的是( ) 。（A）有理数包括整数、分数和零（B）角分为直角、象限角、对顶角和同位角（C）数列分为等比数列、等差数列
3、、无限数列和递减数列（D）平行四边形分为对角线互相垂直的平行四边形和对角线不互相垂直的平行四边形二、简答题9 求 的增减区间及极值。10 设 P(x)为多项式， 为 P(x)=0 的 r 重根，证明： 必定是 P(x)=0 的 r 一 1 重根。10 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立)：11 从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 06 的概率。12 从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 06，一场不超过 06 的概率。13 记 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X 为李明在这场比赛中的命
4、中次数，比较 E(X)与 的大小(只需写出结论)。14 用长为 50 厘米的细绳围成一个边长为整厘米的长方形，怎样才能使面积达到最大?以此为例，在对学生数学思考和问题解决目标进行评价时，教师可以关注以哪几个不同的层次?15 数学命题的教学中，引入命题有哪些方式?三、解答题16 如下图所示，设 0a b，函数 f(x)在a，b上连续，在 (a，b)可微且 f(x)0，f(a)=f(b)。设 l 为绕原点 O 可转动的细棍( 射线 )，放手后落在函数 f(x)的图象上并支撑在点 A(，f()上，从直观上看 证明函数在 处取得最大值，并由此证明(*)式。四、论述题17 在一些初中数学教材中，“函数”
5、 内容被安排于方程、不等式等内容之后集中学习。谈谈你对这种设计的看法。五、案例分析题17 在代数式一课的拓展环节有这样一个题目，搭 1 个正方形需要 4 根火柴棒。按图示方式搭 2 个正方形需要几根火柴棒 ?搭 3 个正方形需要几根火柴棒?搭 10 个正方形需要几根火柴棒 ?100 个正方形呢?你是怎样得到的? 如果用 x 表示搭正方形的个数，那么搭 x 个这样的正方形需要多少根火柴棒? 与同伴交流。18 试求解第个问题，尽可能有多种解法 ?并简要分析“多样化”的解题策略设计的作用?19 一个好的课堂活动可以促进学生多方面发展。结合本案例，简要论述数学教学中应如何体现新教材学习目标?六、教学设
6、计题19 某位教师对定义与命题一课设计如下：一、情境引入以生活情境引入，让学生感受生活中的命题有正确和不正确之分。教师组织播放课件并提出问题，学生独立思考并回答问题。二、探究新知1教师组织每一位同学先写出一个数学命题，然后请他(她)的好朋友判断命题是否正确，并说明理由。2教师出示学生的部分命题，学生所写的命题中可能有正确的，也可能有不正确的(如果没有上面的情况，则由教师补充)。3在学生判断命题是否正确的过程中，引入假命题、真命题的概念，并巩固对真命题、假命题的判断。4所写的命题中可能有定理、公理，从而引入定理和公理的概念并列举公理(如果没有上面的情况，则由教师补充)。5所写的命题可能出现不作为
7、公理、定理的真命题(如果没有，则由教师补充)。6通过学生判断真命题和假命题的过程，引导学生归纳出判断真假命题的方法。7由学生小组讨论：命题、真命题、定理和公理之间的关系，并在学生的回答中相互补充。阅读上述教学设计片段，完成下列任务：20 本节课的教学目标是什么?21 本节课的教学重难点是什么?22 分析该教师在探究新知这一环节的设计意图。23 完成后续的教学设计。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 43答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 以行列式第 k 列展开 D=a1kA1k+a2kA2k+a2n.kA2n.k=
8、一na2+na2=0(k2n)，故答案为 B。3 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意可知 x2+y2=z2， 是锥面。4 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意首先得 f(0)=0，由导数的定义，(其中 t=x2)。5 【正确答案】 B【试题解析】 由此可得矩阵 A 的特征值为一 l，一 l，5，矩阵 B 的特征值为 2，2，一 1，所以矩阵 A 与矩阵 B 不相似；又因为矩阵 A 是对称矩阵，矩阵 B 是对角矩阵，所以矩阵A 与矩阵 B 一定合同。6 【正确答案】 D【试题解析】 E(X(X+Y 一 2)=E(X2)+E(XY)一 2E(X)=D(X)+(EX)2+E(X)E(Y)一2E
9、(X)=5。7 【正确答案】 A【试题解析】 “割圆术”是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，是对极限思想的灵活运用。8 【正确答案】 D【试题解析】 分类的各个子项应相互排斥，故可排斥 A、C 选项，分类应按照统一标准进行，则可排除 B 选项。二、简答题9 【正确答案】 该函数的定义域为 xR。10 【正确答案】 由题设 P(x)=h(x)(x 一 )r，其中 h(x)为多项式，且 h()0，从而P(x)=(x 一 )r 一 1h(x)(x 一 )+rh(x)，又因h(x)(x 一 )+rh(x) x=rh()0，所以 是 P(x)=0 的 r 一 1 重根。11
10、【正确答案】 根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 06的场次有 5 场，分别是主场 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4。所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 06 的概率是 05。12 【正确答案】 设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 06”， 事件 B 为“ 在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 06”，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过06，一场不超过 06”， 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 06，一场不超过 06 的概率为 。13 【正
11、确答案】 14 【正确答案】 第一，学生是否能理解题目的意思，能否提出解决问题的策略，如通过画图进行尝试；第二，学生能否列举若干满足条件的长方形，通过列表等形式将其进行有序排列；第三，在观察、比较的基础上，学生能否发现长和宽变化时，面积的变化规律，并猜测问题的结果；第四，对猜测的结果给予验证；第五，鼓励学生发现和提出一般性问题，如，猜想当长和宽的变化不限于整厘米数时，面积何时最大。15 【正确答案】 (1)用观察、试验的方法引入命题；(2)用观察、归纳的方法引入命题；(3)由实际需要引入命题；(4)由矛盾引入命题；(5)加强或削弱命题条件引入命题。三、解答题16 【正确答案】 证明：函数 f(
12、x)在a ，b连续，(a，b)可微，ba 0，则在a，b连续，(a，b)可微。F(x)= 令 F(x)=0，则 F(x)在(a， b)存在极值点满足 f(x)x 一 f(x)=0，即为 x=(a，b)是函数 F(x)的极值点，且。 又在(a，b)内，f(a)=f(b)=0 ，且 f(x) 0，则 F(a)=F(b)=0且 f()F(a)=F(b)，所以函数 在 处取得最大值。四、论述题17 【正确答案】 这种设计是不合理的。函数内容学习的主要目标不仅仅是掌握知识本身，还包括认识有关现象、学会应用相关知识解决问题的方法等：函数知识本身的内涵不单纯是定义、公式、定理，还有函数内部不同部分之间的联系
13、：代数式、方程、不等式与函数相关部分的联系应当与学习这些知识的过程相联系，有助于学生理解它们和函数本身；学生认识函数的主要认知过程要从感性到理性，而不能仅仅是抽象符号的运算等。五、案例分析题18 【正确答案】 解法可能有：第一个正方形用 4 根，以后每一个正方形都有 3根，那么搭 x 个正方形需要4+3(x 一 1)根；上面和下面一排各用了 x 根，竖直方向用了(x+1)根，于是正方形就需要 x+x+(x+1)根；把每个正方形都看成 4 根搭成，但除了第一个正方形需要 4 根，其余(x 一 1)个正方形多用了 1 根，应减去，于是得到4x 一(x 一 1)根。策略设计的作用：鼓励学生解题的多样
14、化，这样能够充分体现以学生发展为本，解题过程不局限，把思考的时间和空间留给学生。19 【正确答案】 加强过程性，教学过程以学生为主体，注重过程性目标的生成；增强活动性，学生积极参与其中，促进情感性目标的达成； 加强层次性，促进知识技能、思想方法的掌握与提高；加强现实性，学生在学习中，发展的数学应用意识：突出差异性，让所有学生都得到相应的发展等。六、教学设计题20 【正确答案】 知识与技能：了解真、假命题的概念，能够判别一个命题的真假，了解公理和定理的含义。过程与方法：通过判断一个命题的真假，提高推理能力、逻辑思维能力和表达能力。情感态度与价值观：通过对命题真假的判断，学会树立科学严谨的学习方法
15、。21 【正确答案】 教学重点：命题真假的概念和判断。教学难点：判别命题的真假过程中所涉及的证明方法和表述。22 【正确答案】 设计意图：把课堂交给学生，让学生自己提出问题，自己解决问题，并在互动中引出新知，让学生自己感受知识的产生发展过程，培养学生的概括能力和语言表达能力；并在这个过程中了解类比、归纳、分类等思维方法。并采用合作交流的形式，培养学生的协作能力，让学生感受数学知识间的内在联系。23 【正确答案】 教学设计补充如下：三、巩固新知教师提出问题，组织学生活动，学生小组竞赛，抢答。设计意图：及时巩固学生对真命题、定理、公理的认识。培养学生思维的严密性和初步的推理能力。四、课堂练习教师出示讨论题，学生分小组讨论，各小组间交流发言。设计意图：培养学生的合作意识，提高学生的合作交流能力，培养学生的发散性思维，在合作中体验成功的喜悦。五、讨论反思教师提问：“ 通过本堂课的探索，你有什么收获和体会?”学生畅谈自己的体会与收获，以及还存在的问题，表达心声，教师引导学生总结。设计意图：培养学生学习后自我反思的良好习惯。六、布置作业
