1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 47及答案与解析一、单项选择题1 2 设 1=(1，2 ，3，1) T， 2=(3，4，7，1) T， 3=(2，6，a，6) T， 4=(0，1，3，a)T，那么 a=8 是 1， 2， 3， 4 线性相关的( )。（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必要条件3 直线 l： 与平面 ：x+y+z=2 的位置关系是( )。（A）平行（B）相交但不垂直（C）垂直（D）直线 l 在平面 上4 设级数 (一 1)nan2n 收敛，则级数 an( )。（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛
2、性不确定5 设 A，B，A+B，A 1+B1 均为 n 阶可逆矩阵，则 (A1+B1)1=( )。（A）A 1+B1（B） A+B（C） A(A+B)1B（D）(A+B) 16 设随机变量 XN(0，1)，X 的分布函数为 （x ），则 P(|X|2)的值为( )。（A）21 (2)（B） 2(2)1（C） 2(2)（D）12(2)7 世界上讲述方程最早的著作是( )。（A）中国的九章算术（B）阿拉伯花拉子米的代数学（C）卡尔丹的大法（D）牛顿的普遍算术8 下列划分正确的是( )。（A）有理数包括整数、分数和零（B）角分为直角、象限角、对顶角和同位角（C）数列分为等比数列、等差数列、无限数列和
3、递减数列（D）平行四边形分为对角线互相垂直的平行四边形和对角线不互相垂直的平行四边形二、简答题9 已知矩阵 求矩阵 A 的特征值和特征向量。10 11 试求通过点 M0(1，0，4)，垂直于平面 ：3x4y+z10=0，且与直线 l：平行的平面方程。12 论述实施合作学习应注意的几个问题。13 结合教学实际说一说，你认为新课程标准对教师的课堂教学有哪些要求。三、解答题14 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0）=0，f （x）0，g(x)0。 证明：对任何 a0， 1，有 0ag（x）f(x)dx+ 01f(x)g（x）dxf(a）g(1)。四、论述题15 试论述把算法加
4、入数学课程的原因。五、案例分析题15 案例：面对课堂上出现的各种各样的意外生成，教师如何正确应对，如何让这些生成为我们高效的课堂教学服务，如何把自己课前的预设和课堂上的生成有效融合，从而实现教学效果的最大化，这是教师时刻面临的问题。在一次听课中有下面的一个教学片段：教师在介绍完中位线的概念后，布置了一个操作探究活动。师：大家把手中的三角形纸片沿其一条中位线剪开，并用剪得的纸片拼出一个四边形，由这个活动你可以得到哪些和中位线有关的结论？学生正准备动手操作，一名学生举起了手。生：我不剪彩纸也知道结论。师：你知道什么结论？生：三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半。教师没有想到会出现这么个“程
5、咬金” ，脸冷了下来： “你怎么知道的？”生：我昨天预习了，书上这么说的。师：就你聪明，坐下！后面的教学是在沉闷的气氛中进行的，学生操作完成后再也不敢举手发言了。问题：16 结合上面这位教师的教学过程，简要做出评析；17 结合你的教学经历，说明如何处理好课堂上的意外生成。六、教学设计题17 下列是普通高中课程标准实验教科书必修数学第二册（人教版）关于“平面与平面垂直的性质” 的部分教学内容，阅读并按要求作答。我们知道可以通过直线与平面垂直判定平面与平而垂直平面与平面垂直的性质定理说明，由平而与平面垂直可以得到直线与平面垂直这种直线与平面的位置关系同平面与平面的位置关系的相互转化，是解决空间图形
6、问题重要的思想方法我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合如图 2321，设 =c，过点 P 在平面 内作直线 bc，根据平面与平面垂直的性质定理有 b。 因为过一点有且只有一条直线与平面 垂直，所以直线 a 与直线 b 重合，因此18 写出该教学内容的教学目标、重点和难点。19 就该内容设计一份教学过程教案。20 证明：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 47答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】
7、根据题意 1， 2， 3， 4 线性相关，则 整理得2(a8)(2a)=0，a=8 或 a=2。所以 a=8 是 1， 2， 3， 4 线性相关的充分不必要条件。3 【正确答案】 B【试题解析】 直线 Z 的方向向量为 m=(2，1， 3)，平面的法向量为n=(1，1，1) ，因为 m 和 n 既不垂直也不平行，所以直线 l 和平面 相交但不垂直。4 【正确答案】 A【试题解析】 由级数 （一 1） nan2n 收敛得， （一 1） nan2n=0，所以存在N0，使得对任意的 nN，有|（一 1） nan2n|1，即|a n| 收敛，所以级数 |an|收敛，即 an 绝对收敛。5 【正确答案】
8、 C【试题解析】 （A 1+B1） 1=(A1+B1E)1=（A 1+B1AA1） 1=(E+B1A)A11=（B 1B+B1A）A 11=B1(B+A)A11=A（A+B） 1B。6 【正确答案】 A【试题解析】 P(|X|2)=P(X2)+P(X2)=1P(X2)+P(X2)=1 (2)+（2）=1(2)+1(2)=21(2) 。7 【正确答案】 A【试题解析】 方程一词出现在中国早期的数学专著九章算术中，其“卷第八”即名“方程”。这是世界上讲述方程最早的著作。8 【正确答案】 D【试题解析】 分类原则一般包括：一致性原则，互斥性原则、相称性原则等。一致性原则指分类的标准前后是一致的，只能
9、按同一标准进行，不能出现几个不同的标准。互斥性原则是指分类后的各个子项之间是不相容的。相称性原则指的是划分后的各子项的外延的总和应与母项的外延相同。A 项违反一致性原则和互斥性原则，零包含在整数中；B、C 项违反一致性原则。二、简答题9 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为 =（ 一 1） 2，所以，由 （ 一 1） 2=0 知 A 的特征根 1=0， 2=3=1。当 =0 时，由得 x1=2x3，x 2=x3，因此，属于特征值 0 的特征向量为 1=当 =1 时由 得 x1=x3，x 2=0，因此，属于特征值 1 的特征向量为 2=10 【正确答案】 由于 可见当极限式中出现了 e或 ar
10、ctan时一般也需要分别讨论左右极限。11 【正确答案】 平面 的法向量 n1=(3，4，1)，直线 l 的方向向量 l=(3，1，2)，所以所求平面的法向量 n=n1l= 9l3j+15k=（一 9，一 3，15）。平面上任意一点 M(x，y，z)，则 得9(x+1) 3y+15(z4)=0，整理得所求平面方程：3x+y 5z+23=0。12 【正确答案】 (1)确定适当的合作学习内容和问题（任意），合作学习是一种学习方式，也是一种手段，学习方式与所学内容互相适应，不是所有的学习领域和学习主题都需要合作学习的方式。(2)合作学习的主要目的是加强师生之间的交流与互动。(3)合作学习应在独立思考
11、的基础上进行。(4)要防止合作学习流于形式。13 【正确答案】 (1)创设良好氛围，激励学生学习。(2)围绕教学目标，开展教学活动。(3)突出思维训练，培养思维能力。(4)着眼学生发展，组织学生活动。(5)运用多种教学方法，选用恰当教学媒体。(6)重视教师的人格力量，规范教师的课堂行为。三、解答题14 【正确答案】 设 F(x)= 0xg(t)f(t)dt+01f(t)g(t)f(x)g(1)， 则 F(x)在0 ，1上的导数连续，并且 F(x)=g（x)f（x）f（x）g(1)=f（x）g（x）g(1)， 由于x0，1，f （x）0，g(x)0，因此 F（x）0，即 F(x)在0，1上单调递
12、减。 注意到 F(1)= 01g(t)f(t)dt+01(t)g(t)dtf(1)g(1)， 而 01g(t)f(t)dt=01g(t)df(t)=g(t)f(t)|01 一01f(t)g(t)dt=f(1)g(1)一 01f(t)g(t)dt， 故 F(1)=0。 因此 x0，1时，F （x）0，由此可得对任何 a0，1 ，有 0ag(x)f（x）dx+ 01f(x)g（x）dxf(a)g(1)。四、论述题15 【正确答案】 (1)时代的需要算法严格地说是数学的一个分支，它有自己的体系，渗透到很多数学分支，尤其是应用数学分支。从另一个角度看，计算机科学的飞速发展对数学的发展起了极大的推动作用
13、，它开拓了数学研究的领域，丰富了数学研究的方法，加强了数学与其他学科的联系，拓展了数学的应用范围。所有这一切，算法起了重要的作用。了解算法的基础知识和基本应用，对一个人的发展是非常重要的。(2)与传统的内容有密切的联系算法并不是一个十分陌生的内容。虽然在传统的数学内容中没有出现过这个名词，但它的思想反复体现在传统的数学内容中，可以说渗透到了大部分内容之中。(3)能引起学生的兴趣算法的特点是可以操作、可以检验，在条件允许的学校可以让学生在计算机上实现，这些都是受学生欢迎的，它们会使学生产生成就感。(4)对教师没有太大的难度算法的内容对教师来说，难度不大，经过培训就能完全掌握。有些教研室和学校采取
14、了一些有效的措施，例如分成小组、分工备课、集体研讨、教案共享，很好地解决了这个问题。(5)算法将对未来的数学课程产生很大的影响算法进入高中是一件大事，会产生一系列的连锁反应，估计下面的一些情况会引起数学教育工作者的关注和研究。大学课程设计中，会对算法的内容给予更多的关注。有一些学校已经开设“ 算法”的选修课；有的学校把“ 算法 ”和相关的课程有机地结合起来。 “算法”在大学数学教育中会成为关注的问题之一。“算法”的内容会以某种方式渗透到初中和小学，这一点是需要认真研究的课题。“算法”的内容进入高中，给出一个明确的导向，数学教育将更加关注“通性通法” ，强化基本技能，淡化技巧。“算法”是培养逻辑
15、推理能力的非常好的载体。“算法” 在数学教育中的地位和作用应该成为数学教育研究的重要方面。五、案例分析题16 【正确答案】 在课堂上，教师面对的是一群有着不同生活经历、有自己的想法，在很多方面存在差异的生命体，也正是因为有这种差异，课堂才是充满变化、丰富多彩的，教师如果不能适应这种变化，不能及时正确处理课堂的生成，那么其课堂效果将很难保证是高效的。在上面的教学片段中教师对学生直接说出中位线的性质很是不满，因为这样一来教师后面设计好的精彩探索活动就没有必要再进行了，碰上这样的意外，教师采取了生硬的处理方式，让其他学生继续探索，但此时教师的不满情绪和处理这件事情的方式使得全班同学失去了探索的兴趣和
16、发言的勇气。教师如果换一种方式，先表扬发言学生“你真是个爱学习的学生，我相信你还是个爱思考的学生！” 然后让他和大家一道动手操作、探索、验证中位线为什么会具有这样的性质，课堂效果应该更好。17 【正确答案】 生成从性质角度来说，有积极的一面，也有消极的一面，从效果角度来说有有效的一面，也有无效的一面。教师在课堂上要充分发挥好自己组织者的角色，不断地捕捉、判断、重组课堂教学中从学生那里涌现出来的各种各类信息，并能快速断定哪些生成对教学是有效的，哪些生成是偏离了教学目标，一名优秀的数学教师应该能够正确应对课堂上出现的各种各样生成，使之为我们的数学教学服务，提高课堂教学的效果。六、教学设计题18 【
17、正确答案】 教学目标知识与技能目标：进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定，理解和掌握面面垂直的性质定理。能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，运用定理解决相关问题，进一步培养空间观念。过程与方法目标：通过对定理的探究和证明，向学生渗透从特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、想象、概括等逻辑推理能力及学生转化的思想。能够通过实验提出自己的猜想并能进行论证，灵活运用知识学会分析问题、解决问题。情感、态度与价值观目标：通过对空间直线与平面、平面与平面位置关系的判断，学生发展合情推理能力和空间想象力，培养质疑思辨、创新的精神：学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习
18、数学的兴趣。教学重难点：重点：理解掌握面面垂直的性质定理和推导：难点：运用性质定理解决实际问题。19 【正确答案】 教学设计一、复习回顾 1面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。2面面垂直的判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。二、引入新课思考 1（情境导入）教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思考 2（事例导入） 如图，平面 ，由b ， ，是否可以得到 b?三、探究新知如图，设 ，=l，观察两垂直平面中，一个平面内的直线与另一个平面有哪些位置关系？ 当平面 内直线 b 满足什么条件时 ?1创设情
19、境将面面垂直的判定定理的条件和结论互换，得到的新命题是否还成立。结合黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗，这样的直线分别有什么性质？试说明理由。2新课教学由前面小实验，学生体会由特殊到一般的数学思想，并总结出直观结论：面面垂直的性质定理：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号语言表述 注：学习自然语言转化为数学语言：符号化。揭示定理的内涵：在面内作交线的垂线，体现“ 平面化”的数学思想。我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明，这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。3巩固练习已知 ，=1，判断下列命题的正误。 平面 内的任意一条直线
20、必垂直于平面卢。( ) 垂直于交线 l 的直线必垂直于平面 。( )过平面 内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 。( )四、课堂小结平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。证明线面垂直的两种方法：线线垂直线面垂直；面面垂直线面垂直。线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。20 【正确答案】 证明：设平面 M 垂直于平面 N，交线为 c，在平面 M 内作直线ac，垂足为 O，在平面 N 内过 O 点作 c 的垂线 b则 a，b 所成的角就是二面角McN，从而 ab，又 b，c 是平面 N 内的相交线，所以 a 垂直于平面 N。
