1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 48及答案与解析一、单项选择题1 设 ，则 x=0 是函数 f(x)的( )。（A）连续点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）可去间断点2 已知 P 为三阶非零矩阵，且满足 PQ=0，则( )。（A）t=6 时， P 的秩必为 1（B） t=6 时，P 的秩必为 2（C） t6 时， P 的秩必为 1（D）t6 时，P 的秩必为 23 直线 l： 旋转所得曲面的方程为 ( )。（A）x 2+y22/3z2=x02（B） x2+y2+z2=x02（C） x2+y24/9z2=X02（D）x 2+y2+4/9z2=x024 函数 u=
2、xyz2yz3 在点(1，l，1)沿 l=2i+2j+k 的方向导数为( )。5 关于二次曲面 x2+y2=z2，下列说法正确的是( )。（A）它是一个锥面（B）它是一个球面（C）它是一个鞍面（D）它是一个柱面6 已知随机变量 X 与 Y 有相同的小为零的方差，则 X 与 Y 相关系数 =1 的充要条件是( )。（A）Cov(X+Y，X)=0（B） Cov(X+Y，Y)=0（C） Cov(X+Y，XY)=0（D）Cov(XY，X)=07 关于倍立方体问题中最重大的成就是柏拉图学派的( )为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。（A）梅内赫莫斯（B）泰勒斯（C）欧几里（D）阿基米德8 下列哪种学习方
3、式不是普通高中数学课程标准（实验）所提倡的？( )（A）合作学习（B）探究学习（C）机械学习（D）自主学习二、简答题9 设直线 在平面 上，而平面 与曲面 x2+y2=2 相切于点（1，2，5），求 a，b 的值。10 求齐次线性方程组 的通解及基础解系。10 甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的 25，35，40，次品率分别为 003，002，001。现从所有产品中取一件，试求：11 该产品是次品的概率；12 若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？13 结合实例简述如何在教学中关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成。14 简述创造性思维的特点，在数学教学
4、中如何培养学生的创造性。三、解答题15 根据 k 的不同取值，说明（9 一 k）x 2+（4 一 k）y 2+(1k)z2=1 表示的各是什么图形。四、论述题16 普通高中数学课程标准（实验）指出：“形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表述，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程的本质。”如何理解数学形式化？如何适度形式化？并举例说明几种不同的形式化数学内容的教学方式。五、案例分析题1
5、6 案例：下面是学生小强在解答一道题目时的解法：在ABC 中，若2sinA+cosB=2sinB+2cosA= ，求C 的大小。解：对2sinA+cosB=2sinB+2cosA= 两边分别平方后两式相加，化简得2（sinAcosB+cosAsinB)=1，整理得 sin(A+B)= ，所以 sinC=sin(C)=sin(A+B)=问题：17 请指出学生小强的错误，并分析出现错误的原因：18 如果你是小强的老师，在教学过程中如何帮助小强避免再出现这样的错误。六、教学设计题18 高中“方程的根与函数的零点” （第一节课）设定的教学目标如下：通过对二次函数图像的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具
6、体到抽象思想，领会函数零点与相应方程实数根之间的关系。理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辩证关系。掌握函数零点存在性的判断。完成下列任务：19 根据教学目标，设计一个问题引入，并说明设计意图；20 根据教学目标，设计问题链（至少包含三个问题），并说明设计意图；21 根据教学目标，给出至少一个实例和三个问题，并说明设计意图；22 确定本节课的教学重点；23 作为高中阶段的基础内容，其难点是什么？24 本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响？中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷
7、48答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 =1，存在极限值，且在该点无定义，所以为可去间断点。2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 P，Q 均为三阶非零矩阵且 PQ=O，所以 r(Q)+r(P)3，且PO，如果 t6 时，r(Q)=2，P 的秩必为 1；当 t=6 时，r(Q)=1 ，r(P)2 。3 【正确答案】 C【试题解析】 直线 转化为参数方程是旋转曲面为 x2+y2=x02+4t2=x02+4z2/9。4 【正确答案】 D【试题解析】 方向 1：(2，2，1)，方向余弦记点(1，1，1)为 P 点，则 ux(P)=1，u y(P)=一 1，u z(P)=一 1。
8、所以方向导数 ul(P)=ux(P)cosar+uy(P)cos+uz(P)cos=5 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意可知 x2+y2=z2， ，是锥面。6 【正确答案】 D【试题解析】 已知 DX=DY=20，故得到 Cov(X，Y)=Cov(X，X)，得到Cov(X，YX)=0，即 Cov(XY，X)=0。7 【正确答案】 A【试题解析】 关于倍立方体问题中最重大的成就是柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。8 【正确答案】 C【试题解析】 普通高中数学课程标准（实验）提倡高中数学实行多种学习方式，机械学习是一种单纯依靠记忆学习材料，而避免去理解其复杂内部和主题
9、推论的学习方法，平时多称为死记、死背或死记硬背。显然这种学习方式不是新课程标准所倡导的。二、简答题9 【正确答案】 设函数 F(x，y，z)=x 2+y2z，F=2x，F y=2y，F z=1，所以x2+y2=2 在点（ 1，2，5 ）处的切平面 的法向量为 m=(2，4，1)。过直线 L的平面束方程为（x+y+b）+k （x+ay z3）=0 ，整理得，(k+1)x+(ak+1)ykz3k+b=0，其法向量为 n=（ k+1，ak+1，一 k)。根据题意有，m/n ，即，得 k=1，a=5。将点（1，一 2，5）代入平面（k+1）x+(ak+1)ykz3k+b=0，得 b=2。即得 a=5，
10、b= 2。10 【正确答案】 对齐次线性方程组的系数矩阵进行初等行变换：原方程组等价于取 x4=3 得乒(4，9，4，3) T 为原方程组的基础解系，故通解为 x=k， kR。11 【正确答案】 设 A1，A 2，A 3 表示甲乙丙三车间加工的产品，B 表示此产品是次品。所求事件的概率为 P(B)=P(A 1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=025003+0350 02+04001=00185。12 【正确答案】 P(A 2|B)=13 【正确答案】 在教学中，应尽可能结合高中数学课程的内容，介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进
11、步、人类文明建设中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。例如，教师在几何教学中可以向学生介绍欧几里得建立公理体系的思想方法对人类理性思维、数学发展、科学发展、社会进步的重大影响；在解析几何、微积分教学中，可以向学生介绍笛卡儿创立的解析几何，介绍牛顿、莱布尼茨创立的微积分，以及它们在文艺复兴后对科学、社会、人类思想进步的推动作用；在有关数系的教学中，可以向学生介绍数系的发展和扩充过程，让学生感受数学内部动力、外部动力以及人类理性思维对数学产生和发展的作用。14 【正确答案】 创造性思维具有如下五个重要特点：新颖、独特且有意义的思维活动；思维加想象是创造性思维的两个重要成分；在创造性思维
12、过程中，新形象和新假设的产生有突然性，常被称为“ 灵感”；分析思维和直觉思维的统一；创造性思维是发散思维与辐合思维的统一。在数学教学中培养创造性思维；培养归纳、类比能力，鼓励大胆猜想；一题多解，培养发散思维能力；鼓励质疑提问，培养思维的批判性；重视直觉思维能力的培养；引入数学开放题；指导学生写数学小论文；多一点耐心和宽容。三、解答题15 【正确答案】 方程（9 一 k）x 2+（4 一 k）y 2+(1k)z2=1(1) k9 时，(1)式不成立，不表示任何图形； 4k9 时，(1) 式变为 x2/a2y2/b2z2/c2=1，表示双叶双曲线： 1k4 时， (1)式变为 x2/a2+y2/b
13、2z2/c2=1，表示单叶双曲线; k1 时， (1)式变为 x2/a2+y2/b2=1，表示椭球面； k=1 时，(1)式变为x2/a2+y2/b2=1，表示母线平行 z 轴的椭球柱面； k=4 时，(1) 式变为x2/a2+z2/c2=1，表示双曲柱面； k=9 时，(1)式变为y 2/b2z2/c2=1，不表示任何图形。四、论述题16 【正确答案】 所谓“ 数学形式化 ”，就是用特定的数学语言，包括数学的符号语言、图像语言和文字语言，表达自然现象和社会现象的空间结构和数量关系，即具有相对固定样式的数学概念、法则、结论。对概念、定理、法则和解题技法等若都能达到本质的理解固然很好，但毕竟有些
14、内容要求学生在形式化的基础上形成机械记忆，并能投入操作应用即可。问题的关键是，哪些内容应保留形式，哪些内容需要否定形式，哪些内容需要形式和本质的和谐共处，这些不能靠主观臆断，而要靠老师在吃透新课程标准和新教材的基础上科学合理地来确定。所以：(1)数学教学之初，应该充分展示数学知识发生发展的过程，引导学生弄清本质，在熟练的基础上适度形式化，形成自己的技能，这样的知识学得牢固一些，对于大面积提高数学成绩也有帮助。(2)某些解题方法，必须引领学生在解题实践的过程中总结有典型意义的重要形式，且注意思维的参与，使这些行为模式的操作更有效。(3)数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自
15、主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。例如，有些概念（如函数）的教学是从已有知识和实例出发，再抽象为严格化的定义；有些内容（如统计）的教学是通过案例来学习它的思想和方法，理解其意义和作用；又如，对导数概念的理解是通过实例，让学生经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而了解导数概念的实际背景以及瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。五、案例分析题17 【正确答案】 小强没有考虑三角函数的值域是1，1，没有对求得的两个结果合理性进行验证，导致最后结果不正确。在求出 进行验证。若
16、，cosB1，2sinA1 与已知条件 2sinA+cosB=2 矛盾。所以18 【正确答案】 这种错误是普遍存在的，学生在经过思考计算后得出结果，但往往因为忽略了一些细节而导致最后的结果不正确，这就是很多学生经常说的“这道题我本来会做” 。原因是这些学生对概念的掌握不是很牢固，对知识点成立的背景没有很好的把握，学得比较浅。老师在教学过程中要注意培养学生正确的学习习惯和逻辑思维习惯，做题时不是一味求快，要认真仔细，适当的时候“瞻前顾后” ，把握整体，对已知条件、已得结论、所求结果等统筹把握，而不是想到什么写什么。思维缜密，在易错点、特殊点处能重点对待，对自己的计算过程做到心中有数、有理有据，要
17、对计算结果加以验证。六、教学设计题19 【正确答案】 问题引入：求方程 3x2+6x1=0 的实数根。 变式：解方程3x5+6x1=0 的实数根。（一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“ 阅读与思考 ”，还有如 lnx+2x6=0 的实数根很难下手，我们寻求新的角度函数来解决这个方程的问题。） 设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山地提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的
18、目标。20 【正确答案】 问题：求方程 x22x3=0 的实数根，并画出函数 y=x22x3 的图像。 问题：观察形式上函数 y=x22x3 与相应方程 x22x_3=0 的联系。问题：由于形式上的联系，则方程 x22x3=0 的实数根在函数 y=x22x3的图像中如何体现？ 设计意图：以学生熟悉二次函数图像和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。21 【正确答案】 实例：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（
19、图略），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？设计意图：从现实生活中提出的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。问题：将河流抽象成 x 轴，将前后的两个位置视为 A、B 两点。请问：当 A、B 与 x 轴是怎样的位置关系时，AB 间的一段连续不断的函数图像与 x 轴一定会有交点？设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行舍情推理，将原来学生只认为静态的函数图像，理解为一种动态的过程。问题：A、B 与 x 轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？设计意图：由原来的图像语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。问题：满足条件的函数图像与 x 轴
20、的交点一定在(a， b)内吗？即函数的零点一定在(a，b)内吗？ 设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。22 【正确答案】 教学重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断。23 【正确答案】 教学难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点。24 【正确答案】 本节课是在学生学习了基本初等函数()的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图像，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节用二分法求方程的近似解做准备。
