1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 50及答案与解析一、单项选择题1 下列函数中，与函数 定义域相同的函数为( )。2 设 设有 P2P1A=B，则 P2等于( )。3 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 =1，则( )。（A）f(0)=0 且 f(0)=0 存在（B） f(0）=1 且 f(0)=0 存在（C） f(0)=0 且 f+(0)=0 存在（D）f(0）=1 且 f+(0)=0 存在4 在区间0 ，1 上，函数 f(x）=nx（1x） n 的最大值记为 M（n），则 M(n)的值为( )。（A）e 1（B） e（C） e2（D）e 35 方程 y2/2+
2、x2/23z=0 所确定的曲面的名称是( )。（A）椭球面（B）双叶双曲面（C）椭圆抛物面（D）双曲抛物面6 设事件 A，B 相互独立，P(B)=05，P(AB)=03，则 P(BA)=( )。（A）01（B） 02（C） 03（D）047 以“万物皆数 ”为信条的古希腊数学学派是 ( )。（A）爱奥尼亚学派（B）伊利亚学派（C）诡辩学派（D）毕达哥拉斯学派8 在新一轮的数学教育改革中，逐渐代替了数学教学大纲，成为数学教育指导性文件的是( ) 。（A）数学教学方案（B）数学课程标准（C）教学教材（D）数学教学参考书二、简答题9 求函数 y=(x1) 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。9
3、 矩阵10 求 An；11 求（A+2E） n。11 某项闯关挑战赛设有 A，B 两个关卡，A，B 关卡依次进行，只有闯过关卡 A，才能进入关卡 B。A，B 关卡均有 2 次挑战机会，现有人参与挑战，其顺利通过关卡 A 的概率是 ，顺利通过关卡 B 的概率是 ，假设各次挑战互不影响。12 求其顺利闯关的概率；13 假设其不放过每次机会，记参加挑战的次数为 ，求 的数学期望 E。14 在高中的教学中，教师应帮助学生打好基础、发展能力，请简述具体的做法。15 简述“好”的数学问题的基本特点。三、解答题16 在 P3 中，求由基 1， 2， 3，到基 1， 2， 3 的过渡矩阵，其中并求 =（x 1
4、，x 2，x 3）在 1， 2， 3 下的坐标。问是否存在一非零向量 ，它在基 1， 2， 3 和基 1， 2， 3 下有相同的坐标。若存在，求出该向量的坐标；若不存在，说明理由。四、论述题17 在讲解立体几何的有关概念时，我们常常借助实物模型或图形，这体现了数学教学的哪一原则的要求？并做简要的分析。五、案例分析题17 案例：下面是学生小王在解答一道题目时的解法：题目：（判断下述命题是否正确，如果正确，证明之，如果不正确，请说明理由。）在ABC 中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。解：命题正确。证明如下： ABC 中 C= 一（A+B)，所以有 tanC=tan 一
5、（A+B）= 一 tan（ A+B= 整理即得，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。问题：18 请指出学生小王的错误，并分析出现错误的原因。19 如果你是小王的老师，在教学过程中如何帮助小王避免这样的错误再出现。六、教学设计题19 高中数学“ 函数的单调性 ”（第一课时）设定的教学目标如下：1从形与数两方面理解函数单调性的概念，会根据函数图像的单调性指出函数的单调区间。2能够根据函数单调性定义证明函数在指定区间上的单调性。3引导学生参与课堂练习，进一步养成严谨的思维习惯。完成下列任务：20 根据目标 1 列举判断函数的单调性、函数的单调区间的实例，并写出设计意图。21 根据
6、目标 2 设计出证明函数在指定区间上的单调性实例，并写出设计意图。22 写出“函数的单调性 ”的教学重点和难点。23 分析“函数的单调性 ”在教材中的地位和作用。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 50答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 函数 的定义域为（一，0）(0，+)，而答案中只有的定义域为（一，0） (0，+) 。2 【正确答案】 B【试题解析】 P 1A 表示互换矩阵 A 的第一、二行，矩阵 B 表示矩阵 A 先互换第一、二行，然后将互换的矩阵的第一行乘以（1）加到第三行，所以 P2=3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f（h 2）=0
7、。由于 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0)=f（h 2）=0 。于是，4 【正确答案】 A【试题解析】 f（x）=n（ 1 一 x） n 一 n2x（1x） n1=n（1x） n1（1xnx），所以 f(x)的驻点有两个，分别是 x=1 和 x= 是函数 f（x）的唯一极大值点，在闭区间0，1，x= 也是最大值点。所所以所求极限为 et。5 【正确答案】 C【试题解析】 由抛物面的定义可得 C 正确。6 【正确答案】 B【试题解析】 P(A B)=P(A)一 P(AB)=P(A)一 P(A)P(B)=P(A)05P(A)=0 5P(A)=03，所以 P(A)=06，P(BA)=P(B)
8、P(AB)=P(B)P(A)P(B)=0 2。7 【正确答案】 D【试题解析】 毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序。8 【正确答案】 B【试题解析】 在新一轮的数学教育改革中，数学课程标准逐渐代替了数学教学大纲，成为数学教育的指导性文件。二、简答题9 【正确答案】 因为 令 y=0，得驻点 x1=0，x 2=1。列表讨论如下：由此可见，递增区间为（一，1），(0，+) ；递减区间为（ 1，0）。极小值为 f(0)= ；极大值为 f(一 1）= 又因为 a1= f(x)a1x=2e， 故所求渐近线为 y=a2x+b2=e(x
9、2)，以及y=a2x+b2=x2。10 【正确答案】 A 的各行元素是成比例的，故 An=O(n2)。11 【正确答案】 由于 A2=An=O，故由二项式定理可得(A+2E) n=(2E)n+Cn1(2E)n1A=2nE+n，2 n1A=12 【正确答案】 用 Ai 表示选手第 i 次成功挑战关卡 A，B i 表示选手第 i 次成功挑战关卡 B，i=1 或 2。选手成功挑战 A 关卡的概率 P1=成功挑战 B 关卡的概率 P2=1，所以他顺利闯关的概率 P=P1P2=13 【正确答案】 =2 ，即选手两个关卡都一次挑战成功，或挑战两次 A 关卡都没有成功，所以 P（=2）=P(A 1B1)+
10、=P(A1)P(B1)+=3，即选手挑战关卡 A 第一次失败第二次成功，继续挑战关卡 B 一次成功，或挑战关卡 A 一次成功，接着挑战关卡 B 第一次不成功，继续挑战第二次。所以 P（=3）= =4，即选手挑战关卡 A 第一次失败第二次成功，接着挑战关卡 B 一次失败，继续挑战第二次，所以 P（=4）= 所以 的分布列为14 【正确答案】 教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，发展能力。具体来说：(1)强调对基本概念和基本思想的理解和掌握教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念，算法等）要贯穿
11、高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。(2)重视基本技能的训练熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的。在高中数学课程中，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。(3)与时俱进地审视基础知识与基本技能随着时代和数学的发展，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化，教学中要与时俱进地审视基础知识和基本技能。例如，统计、概率、导数、向量、算法等内容已经成为高中数学的基础知识。对原有的一些
12、基础知识也要用新的理念来组织教学。例如，立体几何的教学可从不同视角展开从整体到局部，从局部到整体，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法（代数方法）处理有关问题；不等式的教学要关注它的几何背景和应用；三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明。口头、书面的数学表达是学好数学的基本功，在教学中也应予以关注。同时，应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服“双基异化” 的倾向。15 【正确答案】 (1)一个“ 好”的数学问题应当具有较强的探索性；(2)具有一定的现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，有趣味和魅力；(3)具有多种不同的解法或多种可能
13、的解答，即开放性；(4)具有一定的发展余地，可以推广或扩充到各种情形；(5)具有一定的启示意义，蕴涵重要的数学思想方法；(6)问题的表述应当简单易懂，容易接近。三、解答题16 【正确答案】 ( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) =(1， 2， 3)A，这里即为所求由基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵。将上式两边右乘 A1，得( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)A1，于是 =(1， 2， 3) =(1， 2， 3)A1，所以向量 在基( 1， 2， 3)下的坐标为 A1 ，其中 A1 计算如下：设 在两组基下的坐标为(y 1，y 2，y 3)，则 =(1， 2， 3)
14、=（ 1， 2， 3）=(1， 2， 3) 有齐次线性方程组=20即方程组只有零解。所以不存在一非零向量 ，它在基 1， 2， 3 和基 1， 2， 3 下有相同的坐标。四、论述题17 【正确答案】 这体现了数学教学中的具体与抽象相结合的原则。从具体到抽象符合学生在学习过程中从感知到理解，从表象到概念的认识规律。学生认识数学理论时，是从生动直觉开始。理性知识的形成，必须具有感性知识基础。只有在此基础上，进一步区分这些研究对象所共有的，决定它们性质的本质属性和仅是个别对象特有的非本质属性，这样才能在头脑中形成理性知识。例如：学习数学概念时，首先，可通过一定的感性材料得到具体对象的感知和表象，然后
15、抽象概括出对象的本质属性，再用概念去解决具体问题，这个过程体现了由具体到理性的抽象，由理性到对更为广泛的具体的认识。数学教学实践表明通过实物直观、模象直观、语言直观，使学生形成鲜明表象，是学生掌握数学理论知识的重要环节，也是贯彻抽象与具体相结合原则的前提。在数学教学中贯彻这一原则时：首先要着重培养学生的抽象思维能力。所谓抽象思维能力，是指脱离具体形象、运用概念、判断、推理等进行思维的能力。按抽象思维不同的程度，可分为经验型抽象和理论型抽象思维。在教学中，我们应着重发展理论型抽象思维，因为只有理论型抽象思维得到充分发展的人，才能很好地分析和综合各种事物，才有能力去解决问题。其次要培养学生观察能力
16、和提高抽象、概括能力。在教学中，可通过实物教具，利用数形结合，以形代数等手段。例如，讲对数函数有关性质时，可先画出图像，观察图像抽象出有关性质就是一例。五、案例分析题18 【正确答案】 题干中所述命题成立是有限制条件的，即ABC 的三个角都不能是直角，也就是ABC 不能直角三角形。错误原因：忽略了正切函数的定义域，即当 A，B，C 中有直角时，相应角的正切值是不存在的，因而导致等式tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC 不能恒成立。19 【正确答案】 学生出现这样的错误是普遍存在的，主要原因是没有做好对隐含条件的挖掘。教师在教学中要注意在学生知识形成的过程中要让学生知道知识的“
17、来龙去脉”，对知识的背景及相关数学史适当阐述，而不是光秃秃的只讲解知识点。数学概念及数学定理往往会有一些成立的条件，这些条件在学生学习时是重点，做题时是易错点，因此应该在教学中要重点关注这些成立条件（限制条件），以教学重难点的形式定位，并在练习中有针对性地练习，在测试中有目的地测试。养成第一时间考虑去挖掘题目中的隐含条件的思维习惯。六、教学设计题20 【正确答案】 例：如图是定义在区间5，5上的函数 y=f（x），根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？答案：单调减区间：(5，2)，(1，3)；单调增区间： (2，1) ，(3，5)。设计意图：从图像感知函数单调
18、性，使学生理解函数单调性与图像的关系。21 【正确答案】 例：证明函数 上是增函数。答案：任取x1，x 2 ，且 x1x 2，f(x 1）f(x 2）=(x 1+2/x1)(x2+2/x2)=(x1x2)+(2/x12/x2)2(x1x2)/x1x2=(x1x2)(12/x1x2)=(x1x2)=(x1x2)x1x22/x1x2，x 1x 2，x 1x20，x 1x22，f（x 1）f(x 2）0，即 f(x1）f(x 2），函数 f(x)=x+ 上是增函数。设计意图：初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤。22 【正确答案】 教学重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性。教学难点：根据定义证明函数的单调性，利用函数图像证明单调性。23 【正确答案】 函数的单调性是对函数概念的延续和拓展，也是后续研究几类具体函数的单调性的基础。在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。在方法上，教学过程中还渗透了数形结合、类比化归等数学思想方法。它是高中数学中的核心知识之一，在函数教学中起着承上启下的作用。
