1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 5及答案与解析一、单项选择题1 下列函数在 x=0 处可导的是( ) 。 2 设 abR，“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数” 的( )。（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3 若 A，B 是正交矩阵，则下列说法错误的是( )。（A）AB 为正交矩阵（B） A+B 为正交矩阵（C） ATB 为正交矩阵（D）AB -1 为正交矩阵4 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立分布，且方差 20，记 ，则 X1- 与 X1 的相关系数为( )。（A）-1（B） 0（C）（D）15
2、函数 是( )。（A）非奇非偶函数（B）仅有最小值的奇函数（C）仅有最大值的偶函数（D）既有最大值又有最小值的偶函数6 圆柱底面积为 S，侧面展开图形为正方形，则这个圆柱的全面积是( ) 。（A）4S（B） (1+4)S（C） (2+4)S（D）(3+4)S7 对任意的实数 k，直线 y-2=k(x+1)恒过定点 M，则 M 的坐标是( )。（A）(1 ，2)（B） (1，-2)（C） (-1，2)（D）(-1，-2)8 新课程标准中提出的五大能力是指( )。（A）计算能力、逻辑推理能力、证明能力、空间想象能力、运用能力（B）计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力（C
3、）数据分析能力、逻辑推理能力、想象能力、推理与证明能力、概括能力（D）演绎推理能力、归纳推理能力、想象能力、概率能力、抽象概括能力二、简答题9 已知数列a n中，a 1=1，且 (1)求证：数列 是等差数列； (2)求数列a n的通项公式。10 求11 已知a =1，b=2 。(1)若 ab，求 ab；(2)若 a、b 的夹角为 60，求 a+b；(3)若 a-b 与 a 垂直，求当 k 为何值时，(ka-b)(a+2b)。12 如何理解高中数学课程的过程性目标?13 为什么在数学教学中要贯彻理论与实际相结合的原则?三、解答题14 设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在
4、(-，+)内满足以下条件： f(x)=g(x) ，g(x)f(x)，且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x。 (1)求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2)求出F(x)的表达式。四、论述题15 如何把握高中数学课程的本质与适度的形式化?五、案例分析题16 案例：阅读下列三位教师有关“正弦定理” 的教学片段。 教师甲的教学过程： 创设情境： 问题 1：在建设水口电站闽江桥时，需预先测量桥长 AB，于是在江边选取一个测量点 C，测得CB=435m，CBA=88 ， BCA=42。由以上数据，能测算出桥长 AB 吗? 这是一个什么数学问题? 引出：解三角形 已知三角形的某些边和角，求其他的
5、边和角的过程。 (设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。) 师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少? 生：，“ 大角对大边，大边对大角” 。 师：“abcABC”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系? 引出课题：“ 正弦定理”。 教师乙的教学过程： 师：请同学们想一想，我们以前遇到解三角形的一般问题时，是怎样处理的? 众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中试探一下。 师：如果一般三角形具有某种边角关系，那么对于特殊的三角形直角三角形也是成立的，因此我们先研究特例，
6、请同学们对直角三角形进行研究，寻找一般三角形的各边及其对角之间的关系。同学们可以参与小组共同研究。 (1)学生以小组为单位进行研究；教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究。 (2)展示学生研究的结果。 师：请说出你研究的结论? 生： 师：你是怎样想出来的? 生：因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边 c。 师：有没有其他的研究结论?( 根据实际情况，引导学生分析判断结论正确与否，或留课后进一步深入研究。) 师：对一般三角形是否成立呢? 众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论；若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。 师：这是个好主意。那么 对
7、等边三角形是否成立呢? 生：成立。 师：对任意三角形 是否成立呢?现在让我们借助于 几何画板 做一个数学实验， 师：借助于电脑与多媒体，利用几何画板软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。 结论： 对于任意三角形都成立。 教师丙的教学过程： 师：对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明 呢?之前的探索对我们有没有帮助? 学生分组讨论，每组派一个代表总结。(以下的证明过程，根据学生回答情况进行叙述) 生：思考得出 在 RtABC 中成立，如前面检验。 在锐角三角形中，如图 1 设BC=a， CA=b，AB=c 作： ADBC，垂足为 D 在 RtAB
8、D 中， AD=ABsinB=csinB 在 RtADC 中， AD=ACsinC=bsinC csinB=bsinC 同理，在 ABC 中， 在钝角三角形中，如图 2 设C 为钝角，BC=a， CA=b，AB=c 作 ADBC 交 BC 的延长线于 D 在 RtABD 中， AD=ABsinB=csinB 在RTADC 中， AD=ACsinACD=bsinACB csinB=bsinACB 同锐角三角形证明可知 师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 问题： (1)分析三种教学过程的特点。 (2)说明正弦定理的教学过程中应该注意的问题。六、教学设计
9、题17 高中“随机抽样 ”设定的教学目标如下：通过对具体的案例分析，逐步学会从现实生活中提出具有一定价值的统计问题；结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性；以问题链的形式深刻理解样本的代表性。完成下列任务：(1)根据教学目标 ，设计至少两个问题，并说明设计意图；(2)根据教学目标 ，给出至少两个实例，并说明设计意图；(3)根据教学目标 ，设计问题链(至少包含两个问题)，并说明设计意图；(4)相对义务教育阶段的统计教学，本节课的教学重点是什么?(5)作为高中阶段的起始课，其难点是什么?(6)本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响?中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学
10、能力）模拟试卷 5答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，函数 f(x)在 x=0 处可导，则。选项 A 不正确，因为。选项 B 不正确，因为 都不存在。选项 C 正确，因为 。选项 D 不正确，因为2 【正确答案】 B【试题解析】 当 a=0 时，如果 b 同时等于零，此时 a+bi=0 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件：而如果 a+bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 a=0，因此是必要条件，故选 B。3 【正确答案】 B【试题解析】 由正交矩阵的定义可知，若 A,B 正交，则有 ATA=I(I 为单位阵)，BTB=I，则(AB) T(A
11、B)= BTATAB=I，则选项 A 正确，同理可证明选项 C,D 也是正交矩阵。而选项 B，(A+B) T(A+B)=(AT+BT)(A+B)=2I+BTA+ATB，显然不正确，故选 B。4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立分布，故 DXi=2， ，Cov(X 1，X i)=0(i1)，5 【正确答案】 D【试题解析】 。6 【正确答案】 C【试题解析】 设圆柱底面圆半径为 r，则圆柱底面积为 S=r2， ，底面圆周长 l=2r，又侧面展开图形为正方形，则圆柱侧面积为 ，则圆柱总面积为 2S+4S=(2+4)S。7 【正确答案】 C【试题解析】 当 x+1=0 时，无论直线斜率
12、为多少，都有 y-2=0，此时 X=-1，y=2 ，则 M(-1，2)。故选择 C。8 【正确答案】 B【试题解析】 新课程标准中提出的五大能力是：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力。二、简答题9 【正确答案】 (1)由 ，所以数列 是等差数列，且首项 。 (2)数列 的通项 ，所以 。10 【正确答案】 由于可见当极限式中出现了 e或 arctan时一般也需要分别讨论左右极限。 本题中11 【正确答案】 (1)ab=a b=2。 (2)ab= abcos60=1，a+b 2=a2+2ab+b2=7，故 a+b= 。 (3)若 a-b 与 a 垂直，则(a-b)a
13、=0，ab= a2=1，使得(ka-b)(a+2b)，只要(ka-b)(a+2b)=0，即 ka2+(2k-1)ab-2b2=0，即 k+(2k-1)-24=0，解得 k=3。12 【正确答案】 把“ 过程与方法 ”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。在以前的大纲中，都在不同程度上强调了“过程与方法” 的重要性，但是，这次课程改革把过程与方法作为课程目标。这样，“过程与方法” 不再是可有可无的东西，而是必须实现的基本目标，我们必须认识到这种变化不仅力度大，而且有非常重要的意义。实际上，在长期的教学活动中，优秀的教师不仅关注学生对知识技能的掌握，而且关注掌握知识技能的过程，包括知识的来龙去
14、脉，结论的背景、产生过程和意义，获取知识的能力和方法等等。在数学知识技能中，蕴涵着一些重要的数学思想和方法。学习的目的，不仅在于掌握数学知识技能和结果，更重要的是经历形成这些数学知识技能的过程，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，学会运用这些思想和方法去学习其他的知识，并能从中感悟数学的作用和价值，提高学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心。因此，在教学活动中，不仅要关注学生对知识技能的掌握，而且要特别关注掌握知识技能的过程。13 【正确答案】 理论与实践相结合，既是认识论与方法论的基本原理，又是教学论中的一般原理。而研究数学理论和发展理论的目的，最终还是为了用于实践。数学的发展正是沿着“ 实
15、践、认识、再实践、再认识” 的规律不断发展着。每一次的实践，肯定了一些理论，提出一些问题，推动着理论的发展。这一原则是数学特点所决定的。数学虽是非常现实的，但舍去了与数量关系和空间形式无关的性质，以致它以高度抽象的形式出现。这就要求在教学的时候，不仅要联系实际来阐明理论还要适当地、有机地使理论与实际交叉进行。此原则也是培养学生分析问题与解决问题能力所需要的。因为这个能力主要是指如何使学生把实际问题归结为数学问题的能力。显然，这就要求学生明确抽象理论的实际意义，并了解从实际现象上升为理论的探讨过程。数学的内容是依逻辑的顺序进行安排，并按照理论循序渐进地展开的，所以并非每一个抽象理论都反映具体实际
16、现象。另外，由于数学各项理论内容的繁简与学生理解能力的强弱不同。故在教学中使理论与实践结合穿插进行的密度也不一致，因此必须适当、有机地进行。且随着年级的增高、个别理论难度加大，穿插进行的密度也相对地减小。三、解答题14 【正确答案】 题目要求 F(x)所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对 F(x)求导，并将其余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可。 (1)由 F(x)=f(x)g(x)，有 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g2(x)+f2(x) =f(x)g(x)2-2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x) 可见 F(
17、x)所满足的一阶微分方程为 P(x)+2F(x)=4e2x 相应的初始条件为 F(0)=f(0)g(0)=0 (2)由题(1)得到 F(x)所满足的一阶微分方程，求 F(x)的表达式只需解一阶微分方程。又一阶线性非齐次微分方程的通解为 所以=F(x)=将 F(0)代入上式。得 C=-1 所以 F(x)=e2x-e-2x四、论述题15 【正确答案】 形式化是数学的特征之一，但是中学数学中的形式化受学生认知水平的限制。在高中数学课程中，适度形式化是必要的。例如，对于运算的学习，就要严格按照运算的定义，遵循运算律，过度形式化是不必要的。例如，对于几何、函数等内容，不需要过度形式化。对于几何，不必严格
18、遵循几何的公理系统，而要关注几何直观。对于函数，也不必从集合、关系的角度去展开等。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质，揭示人们探索真理的道路。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)教师甲：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。教师乙：教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并通过教师的指导与观察，及时掌握学生研究的情况，为展示学生的研究结论作准备；同时通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。引导学生的思维逐步
19、形成“ 情境思考 ”一“提出问题”一 “研究特例”一“ 归纳猜想”一“实验探究”一“理论探究”一“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的能力。教师丙：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。(2)“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。“正弦定理” 作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理(重
20、要的解三角形工具)，解决简单的三角形度量问题。教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力。六、教学设计题17 【正确答案】 (1)问题：请同学们看章头图中的有关沙漠化和缺水量的数据，你有什么感受? 设计意图：通过一些数据让学生充分感受我们生活在一个数字化时代，要学会与数据打交道，养成对数据产生的背景进行思考的习惯。 问题：我发现我们班级有很多的同学都是戴眼镜的，谁能告诉我我们班的近视率? 设计意图：通过与学生比较贴近的案例入手，让学生体会到统计是从日常生活中产生的。 (2)实例：在 1936 年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志的工作人员做了一次
21、民意测验。调查兰顿(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(当时的总统)中谁将当选下一届总统。为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车量登记簿上的名单给一大批人发了调查表(注意在 1936 年电话和汽车只有少数富人拥有)。通过分析收回的调查表，显示兰顿非常受欢迎，于是杂志预测兰顿将在选举中获胜。实际选举结果正好相反，最后罗斯福在选举中获胜，其数据如下： 问题：你认为预测结果出错的原因是什么? 设计意图：通过案例让学生体会到：在抽样调查中，样本的选择是至关重要的，样本能否代表总体，直接影响着统计结果的可靠性。 实例：如果要调查下面这几个问题，你认为应该作全面调查还是抽样调查?你们对于普查和抽样调查是怎么看的
22、? 普查一定好吗 ?请举例。 a了解全班同学每周的体育锻炼时间： b调查市场上某个品牌牛奶的含钙量； c了解一批日光灯的使用寿命。 设计意图：通过普查和抽样调查的比较，使学生感受抽样调查的必要性和重要性。 (3)问题：如果我们想了解高一学生的近视率，你认为该怎么做呢? 问题：我们是否可以用高一年级学生的近视率来估计全体高中生的近视率?为什么? 设计意图：通过进一步的追问，加深学生对样本代表性的理解。让学生进一步的认识到：在多背景下的抽样会产生偏差，以及样本的随机性与样本大小在产生有代表性的样本中的作用，同时对后面的内容进行简单介绍。 (4)本节课是高中阶段学习统计学的第一节课，统计是研究如何合
23、理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。学生在九年义务阶段已经学习了收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法。在高中学习统计的过程中还将逐步让学生体会确定性思维与统计思维的差异。注意到统计结果的随机性特征，统计推断是有可能错的，这是由统计本身的性质所决定的。统计有两种，一种是把所有个体的信息都收集起来，然后进行描述，这种统计方法称为描述性统计，例如我国进行的人口普查。但是在很多情况下我们无法采用描述性统计对所有的个体进行调查，通常是在总体中抽取一定的样本为代表，从样本的信息来推断总体的特征，这称为推断性统计。例如有的产品数量非常的大或者有的产品的质量检查是破坏性的。统
24、计和概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。 抽样调查是我们收集数据的一种重要途径，是一种重要的、科学的非全面调查方法。它根据调查的目的和任务要求，按照随机原则，从若干单位组成的事物总体中，抽取部分样本单位来进行调查、观察，用所得到的调查标志的数据来推断总体。其中蕴涵了重要的统计思想样本估计总体。而样本代表性的好坏直接影响统计结论的准确性，所以抽样过程中，考虑的最主要原则为：保证样本能够很好地代表总体。而随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑。 相对于义务教育阶段的统计教学，本节课的重点是：能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题，理解随机抽样的必要性与重要性。 (5)教学难点是：如何使学生真正理解样本的抽取是随机的，随机抽取的样本将能够代表总体。 (6)本节课主要内容是让学生了解在客观世界中要认识客观现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料，然后通过分析这些资料来认识此现象。如何取得有代表性的观测资料并能够正确地加以分析，是正确地认识未知现象的基础，也是统计所研究的基本问题。本节课的内容对接下来学习基本的获取样本数据的方法。以及几种从样本数据中提取信息的统计方法(包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归)等内容有直接影响。
