1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 6及答案与解析一、单项选择题1 半圆形闸门半径为 R，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度 =1。若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 p 为( )。 2 已知 sinO+cosO=m，tanO+cotO=n，则 m 与 n 的大小关系为 ( )。 3 有四个三角函数命题： 其中假命题个数为( ) 。（A）0（B） 1（C） 2（D）34 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=( )。（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -
2、15 等比数列a n，q=2，S 4=1，求 S8 为( )。（A）14（B） 15（C） 16（D）176 袋中有 5 个黑球，3 个白球，大小相同，一次随机地摸出 4 个球，其中恰有 3 个白球的概率为( ) 。 7 数列极限 =( )。8 普通高中数学课程标准(实验)中规定的必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，下列内容不属于必修 4 的是( )。（A）算法初步（B）基本初等函数(三角函数)（C）平面上的向量（D）三角恒等变换二、简答题9 已知数列a n的前 n 项和是 Sn，且 2Sn+an(nN*)。 (1)求证：数列a n是等比数列；(2)记 bn=10+1og9an，求b n的
3、前 n 项和 Tn 的最大值及相应的 n 值。10 方程组： ， 为何值时，有解，若有求其解； 为何值时无解，请解释说明。11 求 y=(x-1) 的增减区间及极值。12 简述波利亚怎样解题的教学步骤。13 根据新课程标准，谈谈在教学过程中教师如何帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，发展能力。三、解答题14 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足 证明：四、论述题15 论述课堂教学改革的方向。五、案例分析题16 案例：某教师在对根与系数关系综合运用教学时，给学生出了如下一道练习题：设 、 是方程 x2-2kx+k+b=0 的两个实根，则(-1) 2+(-1)2 的最小值是( )
4、。 AB8 C18 D不存在 某学生的解答过程如下： 利用一元二次方程根与系数的关系易得：+=2k， =k+6 所以(-1) 2+( 一 1)2=2-2+1+2+1=(+)2 一 2-2(+)+2=4 。故选 A。 问题： (1) 指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因； (2)给出你的正确解答； (3) 指出你在解题时运用的数学思想方法。六、教学设计题17 “不等式”是高中数学必修 5 的内容。普通高中数学课程标准 (实验)要求学生能“通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式(组) 对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些
5、实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用：体会不等式、方程及函数之间的联系。”(1)请设计一道利用不等式知识解决的实际问题并求解；(要求：给出问题情境；抽象出数量关系；建立数学模型；写出解答过程、讨论和反思。)(2)根据上面的问题情境设计一道开放题或探索题。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 6答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 如图所示，任取x，x+dx0，R，相应的小横条所受压力微元 于是。闸门所受压力 。故选 C。 2 【正确答案】 C【试题解析】 ，故 ，选择 C 选项。3
6、 【正确答案】 D【试题解析】 所以 p1 是假命题； p 2：当 x=y=0 时，sin(x-y)=0， sinx-siny=0，此时 sin(x-y)=sinx-siny。显然存在这样的 x 和 y 使得 p2 成立，所以 p2 是真命题； p3：由二倍角公式得： ，但当x(+2k，2+2k)(k 为正整数)时，sinx0，此时 sinx=- ，故并不是全部 x0，R使得 ，故 p3 是假命题； p4：，则 ，故p4 是假命题。 故假命题的个数是 3 个，选择 D 选项。4 【正确答案】 C【试题解析】 (A -1+B-1)-1=(A-1+B-1E)-1 =(A-1+B-1AA-1)-1
7、=(E+B-1A)A-1-1 =(B-1B+B-1A)A-1-1 =B-1(B+A)A-1-1 =A(A+B)-1B5 【正确答案】 D【试题解析】 由等比数列前 n 项和的公式得： ，得， 。故选择 D。6 【正确答案】 D【试题解析】 8 个球随机摸出 4 个球有 C48 种情况，摸出的 4 个球中恰好有 3 个白球，则另一个球是从 5 个黑球里任取一个，有 5 种情况所以答案为 D 选项。7 【正确答案】 B【试题解析】 这是函数在0，1 上的一个积分和： 其中积分区间0，1n 等分，n 等分后每个小区间是 ， i 是区间的右端点。因此，原式，故选 B。8 【正确答案】 A【试题解析】
8、基本初等函数(三角函数)、平面上的向量、三角恒等变换都属于必修 4 的内容，算法初步是选修 3 的内容之一，故选 A。二、简答题9 【正确答案】 (1)2S n+an=1，2S n-1+an-1=1，(n2，nN *)，相减得 3an=an-1，又2S1+a1=1 得 则 an0， (n2，nN *)，数列a n是等比数列。 (2) 由(1)知数列a n是等比数列， ，当 Tn 最大值时有 19n20，因 nN*，则 n=19 或 n=20，故(Tn)max=T19=T20=10 【正确答案】 该方程组的增广矩阵 所以(1)当 =-2 时，r(A)=3，r(A)=2，r(A) r(A) ，该方
9、程组无解； (2) 当 =1 时，。方程组有无穷多解。其通解 (3)当 -2 且1 时， ，方程组有唯一解。解之得方程组的解为：11 【正确答案】 该函数的定义域为 xR。 令y=0，解得函数的驻点为：x=0 或者 ，当 x(-，0)时，)，y0；当 x时，y0，当 x 时，y0，所以 是函数的极小值点，x=0 不是函数的极值点。所以单调减区间为 ，单调增区间为 ，极小值在12 【正确答案】 (1)分析题意。首先了解问题的文字描述，指出未知数、已知数据和条件，对问题有个整体了解。其次，从各方面来考虑问题的主要部分，如果问题和某一图形有关，就应该画图，并在上面标出未知数与已知数据；如果对一些对象
10、需要给以名称，就应该引入适当的符号。最后，把问题中的主要部分进行各种组合来考虑，同时把各个细节都联系起来，把每个细节与整个问题联系起来。(2)拟定计划。找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，那么考虑辅助问题；最终得出一个求解的计划。(3)执行计划。实现求解计划，检验每一步骤。(4)验算所得到的解。试着用别的方法导出这个结果，改进解的各部分，总结所得的结果并尝试把它用于其他问题。13 【正确答案】 (1)强调对基本概念和基本思想的理解和掌握教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想(如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等)要
11、贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。(2)重视基本技能的训练熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的。在高中数学课程中，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。(3)与时俱进地审视基础知识与基本技能随着时代和数学的发展，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化，教学中要与时俱进地审视基础知识和基本技能。例如，统计、概率、导数、向量、算法等内容已经成为高中数学的基础知识。对原有的
12、一些基础知识也要用新的理念来组织教学。例如，立体几何的教学可从不同视角展开从整体到局部，从局部到整体，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法(代数方法)处理有关问题；不等式的教学要关注它的几何背景和应用：三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明。口头、书面的数学表达是学好数学的基本功，在教学中也应予以关注。同时，应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服“ 双基异化 ”的倾向。三、解答题14 【正确答案】 令 F(x)=f(x)-g(x)， ，由题设 G(x)0，x a，b，G(a)=G(b)=0，G(x)=F (x)， 从而，由于 G(x)0
13、，xa，b，故有 。 因此。四、论述题15 【正确答案】 (1)坚持“ 一个为本”坚持“一个为本 ”就是在课堂教学中要坚持以学生发展为本。这里的“发展”是指：学生的全面发展，即使学生在德、智、体、美诸方面得到主动、全面和谐的发展；学生的个性发展，即发现学生的潜能，发展其个性，发展其特长，同时根据学生基础和程度等不同，使其分层发展；学生的可持续发展，即为学生终身发展打好基础。以学生发展为本是课堂教学改革的着眼点和落脚点，是课堂教学改革的根本。(2)搞好“四个调整”调整课堂教学的目标。一是要突出创新精神和实践能力的培养。要引导学生创新和实践，培养学生的科学思想、科学态度、科学方法、科学素养和科学精
14、神，不断增强学生的创新意识，鼓励学生质疑，赞赏学生具有独特性和富有个性的理解和表达。构建旨在培养学生创新精神和实践能力考核成绩的教学方式和学习方式，使课堂教学的过程更多地成为学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。二是要在努力实现知识与技能目标的同时，注重过程与方法，情感态度与价值观，促进知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观这三个目标在课堂教学中的整合。调整课堂教学中的师生关系。要建立新型的师生关系，即师生相互交往、共同发展的民主、平等、合作的师生关系。建立新型的师生关系要实现三个重新“定位”：一是师生关系的定位，师生关系定位为交往，即在课堂教学中，师生双方是共存的主体，师生之间
15、通过相互作用、相互交流、相互沟通、相互理解，实现共识、共享、共进。二是教师的定位，教师定位为主体，在课堂教学中，教师不再是单纯的知识的传授者，而是课堂教学的策划者、课堂教学的组织者、学生学习的引导者、学生学习的参与者、学生发展的促进者。教师的这个定位决定了教师在课堂教学中要努力实现如下五个转变：a由重知识传授向重学生发展转变；b由重教师的教向重学生的学转变；c 由重结果向重过程转变；d由封闭向开放转变；e 由信息的单一交流向信息的综合交流转变。三是学生的定位，学生定位也是主体。在课堂教学中，学生不再是教学的被动者或知识的接受者，而是课堂教学的主动参与者、学习的主人，在课堂上得到充分发展的主体。
16、调整课堂教学的教学方式和学习方式。教师要调整好教学方式，在动用教学方式努力做到以下几点：a要处理好传授知识与培养能力的关系；b要注重培养学生的独立性和自主性；c要引导学生质疑、调查、探究，在实践中学习；d指导学生主动地、富有个性地学习；e要尊重学生的人格；f关注个性差异，满足不同学生的学习需求；g创设能引导学生主动参与的教育环境；h激发学生的学习积极性；i培养学生掌握和运用知识的态度和能力； i要使每个学生都能做到充分的发展。同时，教师也要指导和帮助学生调整好学生的学习方式，积极倡导主动、探究、合作学习。以及上述学习方式的交互使用和整合。调整课堂教学内容的呈现方式。在继续发挥传统的教学媒体(黑
17、板、粉笔、挂图、模型等)和传统的电子教学媒体(录音机、幻灯机、放映机等)积极作用的同时，要大力推进现代信息技术在课堂教学的普遍应用。促进现代信息技术与学科课程的整合，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力工具。要把现代教学技术与传统教学手段结合来，努力挖掘所有教学技术手段的使用价值，促进各种教学技术手段之间的协同互补，从而促进教学技术体系整体协调发展。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)受到选项 A 的诱惑，一看到 则立即选了答案，这正是思维缺乏反思性的体现，从而忽视了一元二次方程有根，则判别式0 这个隐含条件。 (2)利用一元二次方程根与系数的关系易得：+=2k，=k+6， 所以
18、(-1) 2+(-1)2=a2-2+1+2-2+1=(+)2-2-2(+)+2=4。 原方程有两个实根 、，=4k 2-4(k+6)0=k-2 或者 k3 当k3 时，(-1) 2+(-1)2 的最小值是 8； 当 k-2 时， (-1)2+(-1)2 的最小值是 18，故选择 B。 (3) 本题所运用的是化归的数学思想方法。六、教学设计题17 【正确答案】 (1)问题情境：某地现有耕地 10000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现有增加 22，人均粮食产量比现在提高 10，如果人口年增长率为 1，那么耕地每年至多只能减少多少公顷(精确到 1 公顷)? 分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、
19、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策。 读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量 P= ，主要关系是：P 实际 P 规划 。 建模：设耕地面积平均每年至多减少 x 公顷，现在粮食单产为a 吨公顷，现在人口数为 m，则现在占有量为 ，10 年后粮食单产为a(1+022)，人口数为 m(1+001) 10，耕地面积为(10 4-10x)。 即 122(10 4-10x)1110 4(1+001) 10 解答过程： (1+001)10=1+C110001+C 2100 012+C310001 3+11046 x
20、10 3-95594(公顷) 评价：答案 x4 公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答。 讨论与反思：本题主要是抓住各量之间的关系，注重 3 个百分率。其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解。本题的解法是建立不等式模型，要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种题型属于不等式模型。也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式。在解答应用问题时。我们强调“评价” 这一步不可少 !它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令 101 101，算得
21、结果为 x98 公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗?于是进行调控，检查发现是错在 101 10的近似计算上。 (2)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数 f(x)，g(x)以及任意的 x0，当甲公司投入 x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入 x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于 g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险。否则没有失败的风险。 试解释f(0)=10，g(0)=20 的实际意义； 设 ，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费?
