1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 7及答案与解析一、单项选择题1 ，则 a 等于( ) 。（A）0（B） 1n2（C） 1n3（D）1n42 已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8，+)上为减函数，且函数 y=f(x+8)为偶函数，则( )。（A）f(6)f(7)（B） f(6)f(9)（C） f(7)f(9)（D）f(7)f(10)3 函数 f(x)=xlnx 在(0，+) 上是( )。（A）单调增函数（B）单调减函数（C）上凸函数（D）下凸函数4 下列数列中，( ) 是有界的。（A）n(-1) n（B） en（C） 3-n（D）10 n5 向量组 的秩是( )。
2、（A）1（B） 2（C） 3（D）06 设事件 A 与事件 B 互不相容，则( )。（A）P(AB)=0（B） P(AB)=P(A)P(B)（C） P(A)=1-P(B)（D）P(AB)=17 下列说法正确的是( ) 。（A）四边相等的四边形必是平面图形（B）梯形一定是平面图形（C）不平行的两条直线一定相交（D）没有公共点的两条直线是平行线8 普通高中数学课程标准(实验)设置了四个选修系列，其中选修系列 2 是为希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的，下列内容不属于选修系列 2 的是( )。（A）导数及其应用（B）圆锥曲线与方程（C）统计案例（D）框图二、简答题9 在三角形 ABC 中， B
3、AC=90，AB=AC ，若点 D 在线段 BC 上，以 AD 为边长作正方形 ADEF，如图 1，易证AFC=ACB+ DAC。 (1)若点 D 在 BC 延长线上，其他条件不变，写出AFC，ACB， DAC 的关系，并结合图 2 给出证明。 (2)若点 D 在 CB 延长线上，其他条件不变，直接写出AFC，ACB ， DAC 的关系式。10 已知函数 f(x)=x-alnx(aR)(1)当 a=2 时，求曲线 y=f(x)在点 A(1f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值。11 已知直线 ：ax+y=1 在矩阵 对应的变换作用下变为直线 ：x+by=1。 (1)求实数 a，b
4、的值； (2)若点 P(x0，y 0)在直线 上，且 ，求点 P 的坐标。12 数学教学中如何贯彻严谨性与量力性相结合的原则?13 高中数学课程中有哪几条主线?三、解答题14 已知 R3 的两组基 1=(1，0，-1) T， 2=(2，1，1) T， 3=(1，1，1) T 与1=(0，1，1) T， 2(-1，1，0) T， 3(1，2，1) T (1)求由基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3的过渡矩阵； (2)求 =(9，6，5) T 在这两组基下的坐标； (3)求向量 ，使它在这两组基下有相同的坐标。四、论述题15 试论述把算法加入数学课程的原因。五、案例分析题16 案例： 下面是一
5、位老师在讲“指数函数及其性质探究” 第一课“探究指数函数定义、图象及其性质” 时的教学片段。请阅读后回答问题： 师：请同学们不断地沿同一方向对折一张长方形的纸。你能找出折叠的次数与某个变量之间的数量关系吗?为了简化问题，不妨假设纸的初始面积为单位 1。 师：现在同学们开始做。请找出自变量是谁? 自变量和那个变量之间的关系，关系式是什么? 请大家以学习小组为单位进行探究。 生：我们探究的是折叠次数是自变量，折叠次数和纸的层数的关系式是 y=2x(这时教师在黑板上写上折叠次数 x：0 1 2 3，下一行写上纸的层数y：1 2 4 8) 师：还有没有同学找到了不同的关系式?请举手。 生：我们找的自变
6、量也是折叠次数，折叠次数和纸的面积之间的关系式是 。(这时教师在黑板上写上折叠次数 x：0 1 2 3，再下一行写上 y：1 05 025 0125) 师：列出的这两个函数解析式的形式有什么共同特征?把它们的定义域扩充到全体实数后就成了一个新的函数，我们看自变量的位置在指数的位置，我们给这一类函数起名叫指数函数(这时候板书课题)。 问题： (1) 该教师在引入新课题时用了什么方法，对此你有何看法，并说明理由。 (2)请对该教师的课堂提问作出评析。六、教学设计题17 高中“等差数列 ”设定的教学目标如下：通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的
7、等差关系并能用有关知识解决相应的问题，体会等差数列与一次函数的关系；让学生对日常生活中的实际问题进行分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念：由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。完成下列任务：(1)根据教学目标 ，给出至少三个实例，并说明设计意图；(2)根据教学目标 ，设计至少两个问题，让学生用等差数列求解，并说明设计意图；(3)确定本节课的教学重点；(4)作为高中阶段的重点内容，其难点是什么?(5)本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响?中学教师
8、资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 7答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 原式，原式=e 2a=4=e21n2，所以 a=ln2。2 【正确答案】 D【试题解析】 y=f(x+8)为偶函数，则 f(x+8)=f(x+8)，即 y=f(x)关于直线 x=8 对称。又 f(x)在(8，+)上为减函数，故在(-，8)上为增函数，检验知选 D。3 【正确答案】 C【试题解析】 在 f(x)=1nx+1，令 f(x)=0 得 ，函数 f(x)在 上是减函数，在上是增函数，在 ，所以函数 f(x)在(0，+) 上是上凸函数。4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确
9、答案】 B【试题解析】 a 1=5a3，a 2，a 3 线性无关。6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0。A 项：，因为 P(AB)不一定等于 1，所以 A 项不正确； B 项：当 P(A)，P(B) 不为 0 时，B 不成立； C 项：只有当 A，B 互为对立事件的时候才成立，故排除； D 项：P(AB)=1-P(AB)=1，故 D 正确。7 【正确答案】 B【试题解析】 A 不正确，也可能是立体图形；B 正确，梯形是平面图形；C、D都不正确，不平行的两条直线和没有交点的两条直线都可能异面。8 【正确答案】 D【试题解析】 普通高中数学课程标准(实验)
10、中选修系列 2 由 3 个模块组成：选修 2-1(常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何)、选修 2-2(导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入)和选修 2-3(计数原理、统计案例、概率)。框图属于系列 1 选修 1-2，故选 D。二、简答题9 【正确答案】 (1) ADEF 是正方形AD=AF，FAD=90BAC+DAC=FAD+DAC即 BAD=FAC又 AB=AC故BAD FACAFC=ADC ACB=DAC+ADCACB=DAC+AFC(2)ADEF 是正方形AD=AF，FAD=90BAC-BAF=FAD-BAF即 BAD=FAC又 AB=AC故BAD CAFA
11、FC=ADBACB+DAC+ADC=180ACB+DAC+AFC=18010 【正确答案】 函数 F(x)的定义域为(0，+) 。 (1) 当 a=2 时 f(x)=x-21nx， ， 因而 f(1)=1，f(1)=-1， 所以曲线 y=f(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为 y-1=-(x-1)， 即 x+y-2=0。 (2)由 ，x0 知： 当 00 时，f(x) 0，函数 f(x)为(0，+)上的增函数，函数 f(x)无极值。当 a0 时，由 f(x)=0，解得 x=a。 又当 x(0，a)时 f(x)0；当戈(0，+)时f(x)0， 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值，且极
12、小值为 f(a)=a-alna，无极大值。 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-alna，无极大值。11 【正确答案】 (1)设直线 l：ax+y=1 上任意点 M(x，y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M(x，y)。 由 又点M(x，y) 在 l上，所以 x+by=1，即 x+(b+2)y=1，依题意得(2)由 解得 y0=0。 又点P(x0，y 0)在直线上 l 上，所以 x0=1。 故点 P 的坐标为 (1，0)。12 【正确答案】 (1)认真了解学生的心理特点与接受能力，是贯彻严谨性和量力性相结合的原则的前提。“
13、备课先备学生 ”的经验之谈，就出于此。也就是说，只有全面地了解学生情况，才能使制订的教学计划与内容安排真正做到有的放矢、因材施教，才能真正贯彻好这一原则。(2)在教学中，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，做到立论有据。例如初学平面几何的学生。对严格论证很不适应，教学时应先由教师给出证明步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到” 的精神，合情合理地提出教学要求，逐步过渡到学生自己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明。但绝不能消极适应学生，人为地降低教材理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学。(3)在数学教学中，注意从准确的数学
14、基础知识和语言出发培养严谨性。这就要求教师备好教材，达到熟练准确，不出毛病。另外要严防忽略公式、法则、定理成立的条件。还要注意逐步养成学生的语言精确习惯。这就要求教师有较高的教学语言素养，使自己的语言精确、简练、规范，对教学术语要求准确、得当。(4)在数学教学中，注意培养全面周密的思维习惯，逐步提高严谨程度。一般数学中所研究的是一类事物所具有的性质或它们元素之间的关系，而不仅仅是个别事物，因此要求教师思考问题全面周密。总之。数学的严谨性与量力性要很好地结合，在教学中要注意教学的“分寸” ，即注意教材的深广度，从严谨着眼，从量力着手；另外，要注意阶段性，使前者为后者作准备，后者为前者的发展，前后
15、呼应。通过对学生严谨性的培养使学生养成良好的思考习惯。13 【正确答案】 高中数学课程中有六条主线：函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。三、解答题14 【正确答案】 (1)设从基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵是 C，则(1， 2， 3)=(1， 2， 3)C，则 C=(1， 2， 3)-1(1， 2， 3)=(2)设 在基 1， 2， 3 下的坐标是(y1，y 2，y 3)T，即 y11+y22+y33=，亦即 解得：y 1=0，y 2=-4，y 3=5 设 在基 1， 2， 3 下的坐标是(x 1，x 2，x 3)T，按坐标变换公式 X=CY，
16、有，可见 在这两组基下的坐标分别是(1，2， 4)T 和(0，-4，5) T (3)设 =x1a1+x2a2+x3a3=x11+x22+x33，即 x1(1-1)+x1(2-2)+x3(3-3)=0 得 x1=x2=x3=0 所以，仅有零向量在这两组基下有相同的坐标。四、论述题15 【正确答案】 (1)时代的需要算法严格地说是数学的一个分支，它有自己的体系，它渗透到很多数学分支，尤其是应用数学分支。从另一个角度看，计算机科学的飞速发展对数学的发展起了极大的推动作用，它开拓了数学研究的领域，丰富了数学研究的方法，加强了数学与其他学科的联系，拓展了数学的应用范围。所有这一切，算法起了重要的作用。了
17、解算法的基础知识和基本应用，对一个人的发展是非常重要的。(2)与传统的内容有密切的联系算法并不是一个十分陌生的内容。虽然在传统的数学内容中没有出现过这个名词，但它的思想反复体现在传统的数学内容中，可以说渗透到了大部分内容之中。(3)能引起学生的兴趣算法的特点是可以操作、可以检验，在条件允许的学校可以让学生在计算机上实现，这些都是受学生欢迎的，它们会使学生产生成就感。(4)对教师没有太大的难度算法的内容对教师来说，难度不大，经过培训就能完全掌握。有些教研室和学校采取了一些有效的措施，例如分成小组、分工备课、集体研讨、教案共享，很好地解决了这个问题。(5)算法将对未来的数学课程产生很大的影响算法进
18、入高中是一件大事，会产生一系列的连锁反应，估计下面的一些情况会引起数学教育工作者的关注和研究。大学课程设计中，会对算法的内容给予更多的关注。有一些学校已经开设“ 算法”的选修课；有的学校把 “ 算法”和相关的课程有机地结合起来。“算法” 在大学数学教育中会成为关注的问题之一。“算法”的内容会以某种方式渗透到初中和小学，这一点是需要认真研究的课题。“算法”的内容进入高中，给出一个明确的导向，数学教育将更加关注“通性通法”，强化基本技能，淡化技巧。“算法”是培养逻辑推理能力的非常好的载体。“算法” 在数学教育中的地位和作用应该成为数学教育研究的重要方面。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)该教
19、师带领学生做了一个小游戏，用的是趣味导人法，趣味导人可以避免平铺直叙之弊，可以创设引入人胜的学习情境，有利于学生从无意注意迅速过渡到有意注意。在实际操作中培养学生的分析和归纳概括的能力。(2)教师在创设好情境后用问题引导学生，让学生分组讨论学习，充分发挥学生学习的主体地位，提问时循序渐进，给学生深入思考的空间，为引出新课题创造了良好的氛围，调动了学生学习的积极性。六、教学设计题17 【正确答案】 (1)实例：2000 年。在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了 7 个级别。其中较轻的 4 个级别体重组成数列(单位： kg)：48，53，58，63。 实例 ：水
20、库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为 18cm，自然放水每天水位降低 25m，最低降至 5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)：18，155，13，105，8，55。 实例：我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金(1+利率存期)。例如，按活期存入 10000 元钱，年利率是 072。那么按照单利，5 年内各年末的本利和分别是： 各年末的本利和(单位：元)组成了数列：10072，10144，10216，10
21、288，10360。 设计意图：引导学生首先从三个现实问题(女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念。 (2)问题：求等差数列8，5，2，的第 20 项。 问题：-401 是不是等差数列-5，-9，-13，的项?如果是，是第几项? 设计意图：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于 an、a 1、d、n(独立的量有 3 个)的方程，通过此例题让学生懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。 (3)教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 (4)教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 (5)数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上。对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。
