1、教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 下列各组向量中满足 ab 的是( )（A）a=(1，1，1)，b=(0 ，2，2)（B） a=(一 1，一 1，一 1)，b=(1，0，1)（C） a=(一 2，1，4) ，b=(1， ，一 2)（D）a=(1，一 2，一 2)，b=( 一 ，1，1)2 已知向量 a=(x1，y 1)，b=(x 2，y 2)，则下列说法错误的是( )（A）ab 的充要条件是 x1x2+y1y2=0（B） a2=x12+y12（C） a0=0（D）ab 的充要条件是 x1y2-x2y1=03 向量 a=(一 2，2，1)，b=(2，一 1，
2、一 3)，则2a+3b=( )4 在ABC 中， ，则该三角形是( )（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）无法确定5 有向量 a=(x1，y 1，z 1)，b=(x 2，y 2，z 2)，则行列式 表示的是( )（A）a+b（B） ab（C） ab（D）ab6 已知空间内两个平面 a： x 一 2y+2z=4， ：一 x+y 一 2z=1，则 与 的夹角的余弦值为( ) 7 定义平面向量之间的一种运算=ac+bd，则下列说法错误的是( )8 已知非零向量 a=(x1，y 1)，b=(x 1，y 1)，两向量的夹角为 ，则下列说法错误的是( )（A）bcos= R，称为向量 a
3、 在 b 方向上的投影，投影的绝对值称为射影（B） (a+b)(a 一 b)=(x12-x22)+(y12-y22)（C） cos=（D）(a)b=(ab)=a (b)(R)9 已知a=3，b=5，若(ma+2b)(ma-2b)，mR，则 m=( )10 下列说法正确的有( )a(bc)=(ab)c ；a 与 a 同向；a(b+c)=ab+ac；a+b=b+a；(+)a=a+a(、 均为实数)（A）（B） （C） （D）11 若向量 a、 b 为相互垂直的单位向量，则它们的数量积 ab=( )（A）1（B）一 1（C） 0（D）+l12 向量 a=(m，2，1) ，b=(2 ，一 1，n) ，
4、已知 a 和 b 不平行，则( ) 13 已知点 C 在线段 AB 上，且 AC=2BC，若 O 是线段所在直线外的一点，则( )14 已知向量 c=(2，3，一 1)-2(-1，0，2)，若用标准基 i、j、k 表示 c，则 c=( )（A）i+2j+k（B） 3j+3k（C） 4i+3j 一 5k（D）3i+3j 一 3k二、填空题15 已知空间内的两点 M(1，3，2)，N(一 2，1，1)，则 =_16 已知点 P1=(x1，y 1)，P 2=(x2，y 2)，0 为坐标原点，若点 P(x，y)分有向线段，x=_，y=_17 在ABC 中，已知 =(一 3，4)， C=60，则面积 S
5、ABC=_18 如图所示，在四面体 OABC 中，线段 MN，PQ 分别是 OAB 和ABC 的中位线，且 =_19 若 x，yR ，i，j 是平面直角坐标系内 x，y 轴正方向上的单位向量，若向量a=(x+1)i+yj，b=(x 一 1)i+yj，且a+ b=4，则点 N(x，y)的轨迹方程是_20 已知 a=一 2i+2j，b=一 mi+j，c=4i+nj 是平面内的三个向量，若此三向量共线，则 m+n=_21 若向量a = ，b=1，a(a-2b)，则向量 a 与 b 的夹角为_22 已知向量 a=2i+2jk，则与其方向相同的单位向量 a=_23 已知向量 a=(1，y，一 1)，b=
6、(x，4，3) ，且 x，yN *，若 ab=0，则 xy 的最大值是_24 已知向量 a、b 满足 a+b= ，a=1 ， b=4 ，则 a 与 b 的夹角为_25 在平面直角坐标系中，已知两点 A(1，2)，B(3 ，一 1)，O 为坐标原点，若点C(x，y) 满足 ，其中 +=1，则点 C 的轨迹方程是_26 一物体(可视为质点) 在力 F=2i+3j 一 k 的作用下由点 A(一 3，1，2)运动到点B(2，3，4) ，则力做功为_焦耳三、解答题27 如图，平面 ABCD、平面 AFEB、平面 FAD 为三个互相垂直的平面，AB、AD、AF 分别为两两平面的交线， ，H、G 分别为线段
7、 FA、FD 的中点 (1)证明：四边形 BCGH 是平行四边形； (2)判断C、D、E、F 四点是否共面 ?：为什么?28 点 P 是不等式 y 所表示的平面区域内的一动点，该点在区域边界所在直线上的投影分别为 M，N若 ， (1)求动点 P 的轨迹方程； (2) 已知点 C(1，0)，F(2，0)，过点 F 作直线 l 交 P 点轨迹于 A，B 两点，是否存在这样的直线 l，使 ACBC，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由29 已知函数 y= ，如图过点 M(0，一 1)作斜率为 k 的直线 Z 交该函数图象于A，B 两点若该函数曲线的焦点 F 与 A，B ，C 三点按图中顺
8、序连接成平行四边形，求点 C 的轨迹方程30 在正方体 ABCD-ABCD中， =a (1)证明：ABCD； (2)求二面角 DAC一 B 的正切值教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 空间内任意两个向量 a、b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使得 a=b因此本题选 D【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【试题解析】 两个向量的数量积应为一个数而不是向量，任意非零向量与零向量的数量积均为 0 而不是零向量，故 C 项错误【知识模块】 向量3 【正确答案】 B【试题解析】 2a+3b=2( 一 2，2，1)+3(2，一 1，
9、一 3)=(2，1，一 7)，所以2a+3b= 【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，故ABC 为直角三角形【知识模块】 向量5 【正确答案】 D【试题解析】 由题 =(y1z2-z1y2)i+(z1x2 一 x1z2)j+(x1y2-y1x2)k，即等于向量的向量积 ab【知识模块】 向量6 【正确答案】 A【试题解析】 依题意知平面 与 的一个法向量分别为 n1=(1，一 2，2)，n 2=(1，一 1，2) ，两平面夹角的范围为，所以两平面夹角的余弦值为 cos(n1，n 2)= 。【知识模块】 向量7 【正确答案】 A【试题解析】 若 m 与 n 共线，则 ad
10、一 bc=0，故 A 错误其他三项中的运算均正确【知识模块】 向量8 【正确答案】 A【试题解析】 b cos= R，称为向量 b 在向量 a 方向上的投影，故 A 项错误；(a+b) (a-b)=a 2 一 b2=a 2-b 2=(x12 一 x22)+(y12 一 y22)，B 项正确；C、D 项分别是向量的夹角公式和向量与实数相乘的结合律公式，均正确因此本题选 A【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】 依题意有(ma+2b)(ma-2b)=m 2a2-4b2=9m2-425=0，解得 m= 【知识模块】 向量10 【正确答案】 D【试题解析】 向量的数量积不满足结合律，故错误
11、；当 0 时，a 与 a 异向，故错误； 分别是向量数量积的分配律运算、向量加法中的交换律运算和向量数乘中的分配律运算，均正确因此本题选 D【知识模块】 向量11 【正确答案】 C【试题解析】 两向量垂直，则两向量的数量积为 0【知识模块】 向量12 【正确答案】 D【试题解析】 若 ab，则 因此，当 a 和 b 不平行时，只需满足 m一 4 或 n一 即可【知识模块】 向量13 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 向量14 【正确答案】 C【试题解析】 c=(2，3，一 1)一 2(一 1，0，2)=(4，3，一 5)=4i+3j 一 5k【知识模块】 向量二、填空题15 【正确答
12、案】 【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 向量16 【正确答案】 【试题解析】 根据线段定比分点的向量公式可知【知识模块】 向量17 【正确答案】 【试题解析】 依题意知 =5，则A=C ，又因为C=60，所以ABC 是边长为 5 的等边三角形，故 SABC=【知识模块】 向量18 【正确答案】 【试题解析】 依题意知 M、Q 分别是线段 OA、BC 的中点，故【知识模块】 向量19 【正确答案】 【试题解析】 依题意可知点 N(x，y)到 F1(一 1，0) ，F 2(1，0)距离之和为 4，根据椭圆的定义可知 N 的轨迹是以 F1，F 2 为焦点的椭圆，且 C=1，2a=4，所以 b2
13、=3，因此 N 的轨迹方程为 =1【知识模块】 向量20 【正确答案】 一 3【试题解析】 根据题意知 a=(一 2，2)，b=(一 m， 1)，c=(4，n)，因为三向量共线，所以 ，解得 m=1，n=一 4，所以 m+n=一 3【知识模块】 向量21 【正确答案】 【试题解析】 依题意有 a(a-2b)=a 2 一 2ab=a 2 一 2abcos=又因为 a 与 b 的夹角在0，范围内，所以 a 与 b 的夹角为 【知识模块】 向量22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 向量23 【正确答案】 【试题解析】 因为 ab=x+4y 一 3=0，所以 3=x+4y【知识模块】 向量2
14、4 【正确答案】 【试题解析】 依题意有a+b 2=a 2+b 2+2abcos=1+16+8cos=13 ，所以 cos=一 ，又因为 a 与 b 的夹角在0， 范围内，故向量 a，b 的夹角为 【知识模块】 向量25 【正确答案】 3x+2y 一 7=0【试题解析】 由题，根据三点共线定理可知，A， B，C 三点共线因此点 C 的轨迹是 A，B 所在的直线，故点 C 的轨迹方程是 y 一 2= (x 一 1)，即 3x+2y-7=0【知识模块】 向量26 【正确答案】 14【试题解析】 由题意可知位移 =(2，3，一1)(5，2，2)=14 【知识模块】 向量三、解答题27 【正确答案】
15、(1) ， 又因为 H、G 分别为线段FA、FD 的中点， 所以 HG 是 AADF 的中位线，即 HGAD 且 HG= AD， 所以BC HG， 因此四边形 BCGH 是平行四边形 (2)同(1)可证得四边形 BEFH 也是平行四边形， 所以 EFBH 由(1) 知 CGBH，所以 EFCG，则 EF 与 CG 共面 又因为 DDF，DF 平面 EFGC， 所以 C、D、E 、F 四点共面【知识模块】 向量28 【正确答案】 (1)依题意知y 表示的区域边界所在的直线分别为 l1：y=(x0)和因此动点 P 的轨迹方程是以(2，0)，(一 2，0)为焦点的双曲线的右支： x2-=1(x1)(
16、2)当直线 l 斜率不存在时，直线 l：x=2，所以 A(2，3)，B(2，-3)，显然 0当直线 l 斜率存在时，设直线 l：y=k(x-2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立 l 与 P 点轨迹方程 ，消去 y 得：(3 一 k2)x2+4k2x 一(3+4k 2)=0=(4k2)2+4(3+4k2)(3 一 k2)=36k2+360，所以 x1+x2= 要使ABC 为直角三角形，则必有 =0，即(x 1 一 1)(x21)+y1y2=0，所以 x1x2一(x 1+x2)+1+k2(x1 一 2)(x22)=0，整理得(1+k 2)x1x2 一(1+2k 2)(x1+x2)
17、+4k2+1=0，将代入上式，解得 k=0当 k=0 时，直线 l 与 x 轴重合，与 P 点的轨迹只有一个交点所以不存在这样的直线，使得 ACBC【知识模块】 向量29 【正确答案】 由题干可知，抛物线焦点坐标为 F(0，1) ， 设 A，B，C 5-点坐标分别为 ，(x，y)因为 F(0，1)，M(0 ，一 1)，【知识模块】 向量30 【正确答案】 (1)如图所示，建立空间直角坐标系 由图知 A(a，0，0)，B(a，a ，a) ，C(0，a ，0)， D(0，0，a)， (2)设面 DAC的法向量为n1=(x1，y 1，z 1)，面 BAC的法向量为 n2=(x2，y 2， z2)，二面角 DAC一 B 的平面角为 令 z1=1，则 x1=y1=一 1， 所以面 DAC的一个法向量为 n1=(一 1，一 1，1) 同理可得面BAC的一个法向量为 n2=(1，1，1) 【知识模块】 向量
