[职业资格类试卷]教师公开招聘考试中学数学(向量)模拟试卷1及答案与解析.doc

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1、教师公开招聘考试中学数学(向量)模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 下列各组向量中满足 ab 的是( )(A)a=(1,1,1),b=(0 ,2,2)(B) a=(一 1,一 1,一 1),b=(1,0,1)(C) a=(一 2,1,4) ,b=(1, ,一 2)(D)a=(1,一 2,一 2),b=( 一 ,1,1)2 已知向量 a=(x1,y 1),b=(x 2,y 2),则下列说法错误的是( )(A)ab 的充要条件是 x1x2+y1y2=0(B) a2=x12+y12(C) a0=0(D)ab 的充要条件是 x1y2-x2y1=03 向量 a=(一 2,2,1),b=(2,一 1,

2、一 3),则2a+3b=( )4 在ABC 中, ,则该三角形是( )(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)无法确定5 有向量 a=(x1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),则行列式 表示的是( )(A)a+b(B) ab(C) ab(D)ab6 已知空间内两个平面 a: x 一 2y+2z=4, :一 x+y 一 2z=1,则 与 的夹角的余弦值为( ) 7 定义平面向量之间的一种运算=ac+bd,则下列说法错误的是( )8 已知非零向量 a=(x1,y 1),b=(x 1,y 1),两向量的夹角为 ,则下列说法错误的是( )(A)bcos= R,称为向量 a

3、 在 b 方向上的投影,投影的绝对值称为射影(B) (a+b)(a 一 b)=(x12-x22)+(y12-y22)(C) cos=(D)(a)b=(ab)=a (b)(R)9 已知a=3,b=5,若(ma+2b)(ma-2b),mR,则 m=( )10 下列说法正确的有( )a(bc)=(ab)c ;a 与 a 同向;a(b+c)=ab+ac;a+b=b+a;(+)a=a+a(、 均为实数)(A)(B) (C) (D)11 若向量 a、 b 为相互垂直的单位向量,则它们的数量积 ab=( )(A)1(B)一 1(C) 0(D)+l12 向量 a=(m,2,1) ,b=(2 ,一 1,n) ,

4、已知 a 和 b 不平行,则( ) 13 已知点 C 在线段 AB 上,且 AC=2BC,若 O 是线段所在直线外的一点,则( )14 已知向量 c=(2,3,一 1)-2(-1,0,2),若用标准基 i、j、k 表示 c,则 c=( )(A)i+2j+k(B) 3j+3k(C) 4i+3j 一 5k(D)3i+3j 一 3k二、填空题15 已知空间内的两点 M(1,3,2),N(一 2,1,1),则 =_16 已知点 P1=(x1,y 1),P 2=(x2,y 2),0 为坐标原点,若点 P(x,y)分有向线段,x=_,y=_17 在ABC 中,已知 =(一 3,4), C=60,则面积 S

5、ABC=_18 如图所示,在四面体 OABC 中,线段 MN,PQ 分别是 OAB 和ABC 的中位线,且 =_19 若 x,yR ,i,j 是平面直角坐标系内 x,y 轴正方向上的单位向量,若向量a=(x+1)i+yj,b=(x 一 1)i+yj,且a+ b=4,则点 N(x,y)的轨迹方程是_20 已知 a=一 2i+2j,b=一 mi+j,c=4i+nj 是平面内的三个向量,若此三向量共线,则 m+n=_21 若向量a = ,b=1,a(a-2b),则向量 a 与 b 的夹角为_22 已知向量 a=2i+2jk,则与其方向相同的单位向量 a=_23 已知向量 a=(1,y,一 1),b=

6、(x,4,3) ,且 x,yN *,若 ab=0,则 xy 的最大值是_24 已知向量 a、b 满足 a+b= ,a=1 , b=4 ,则 a 与 b 的夹角为_25 在平面直角坐标系中,已知两点 A(1,2),B(3 ,一 1),O 为坐标原点,若点C(x,y) 满足 ,其中 +=1,则点 C 的轨迹方程是_26 一物体(可视为质点) 在力 F=2i+3j 一 k 的作用下由点 A(一 3,1,2)运动到点B(2,3,4) ,则力做功为_焦耳三、解答题27 如图,平面 ABCD、平面 AFEB、平面 FAD 为三个互相垂直的平面,AB、AD、AF 分别为两两平面的交线, ,H、G 分别为线段

7、 FA、FD 的中点 (1)证明:四边形 BCGH 是平行四边形; (2)判断C、D、E、F 四点是否共面 ?:为什么?28 点 P 是不等式 y 所表示的平面区域内的一动点,该点在区域边界所在直线上的投影分别为 M,N若 , (1)求动点 P 的轨迹方程; (2) 已知点 C(1,0),F(2,0),过点 F 作直线 l 交 P 点轨迹于 A,B 两点,是否存在这样的直线 l,使 ACBC,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由29 已知函数 y= ,如图过点 M(0,一 1)作斜率为 k 的直线 Z 交该函数图象于A,B 两点若该函数曲线的焦点 F 与 A,B ,C 三点按图中顺

8、序连接成平行四边形,求点 C 的轨迹方程30 在正方体 ABCD-ABCD中, =a (1)证明:ABCD; (2)求二面角 DAC一 B 的正切值教师公开招聘考试中学数学(向量)模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 空间内任意两个向量 a、b(b0),ab 的充要条件是存在实数 ,使得 a=b因此本题选 D【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【试题解析】 两个向量的数量积应为一个数而不是向量,任意非零向量与零向量的数量积均为 0 而不是零向量,故 C 项错误【知识模块】 向量3 【正确答案】 B【试题解析】 2a+3b=2( 一 2,2,1)+3(2,一 1,

9、一 3)=(2,1,一 7),所以2a+3b= 【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ,故ABC 为直角三角形【知识模块】 向量5 【正确答案】 D【试题解析】 由题 =(y1z2-z1y2)i+(z1x2 一 x1z2)j+(x1y2-y1x2)k,即等于向量的向量积 ab【知识模块】 向量6 【正确答案】 A【试题解析】 依题意知平面 与 的一个法向量分别为 n1=(1,一 2,2),n 2=(1,一 1,2) ,两平面夹角的范围为,所以两平面夹角的余弦值为 cos(n1,n 2)= 。【知识模块】 向量7 【正确答案】 A【试题解析】 若 m 与 n 共线,则 ad

10、一 bc=0,故 A 错误其他三项中的运算均正确【知识模块】 向量8 【正确答案】 A【试题解析】 b cos= R,称为向量 b 在向量 a 方向上的投影,故 A 项错误;(a+b) (a-b)=a 2 一 b2=a 2-b 2=(x12 一 x22)+(y12 一 y22),B 项正确;C、D 项分别是向量的夹角公式和向量与实数相乘的结合律公式,均正确因此本题选 A【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】 依题意有(ma+2b)(ma-2b)=m 2a2-4b2=9m2-425=0,解得 m= 【知识模块】 向量10 【正确答案】 D【试题解析】 向量的数量积不满足结合律,故错误

11、;当 0 时,a 与 a 异向,故错误; 分别是向量数量积的分配律运算、向量加法中的交换律运算和向量数乘中的分配律运算,均正确因此本题选 D【知识模块】 向量11 【正确答案】 C【试题解析】 两向量垂直,则两向量的数量积为 0【知识模块】 向量12 【正确答案】 D【试题解析】 若 ab,则 因此,当 a 和 b 不平行时,只需满足 m一 4 或 n一 即可【知识模块】 向量13 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 向量14 【正确答案】 C【试题解析】 c=(2,3,一 1)一 2(一 1,0,2)=(4,3,一 5)=4i+3j 一 5k【知识模块】 向量二、填空题15 【正确答

12、案】 【试题解析】 由题干可知,【知识模块】 向量16 【正确答案】 【试题解析】 根据线段定比分点的向量公式可知【知识模块】 向量17 【正确答案】 【试题解析】 依题意知 =5,则A=C ,又因为C=60,所以ABC 是边长为 5 的等边三角形,故 SABC=【知识模块】 向量18 【正确答案】 【试题解析】 依题意知 M、Q 分别是线段 OA、BC 的中点,故【知识模块】 向量19 【正确答案】 【试题解析】 依题意可知点 N(x,y)到 F1(一 1,0) ,F 2(1,0)距离之和为 4,根据椭圆的定义可知 N 的轨迹是以 F1,F 2 为焦点的椭圆,且 C=1,2a=4,所以 b2

13、=3,因此 N 的轨迹方程为 =1【知识模块】 向量20 【正确答案】 一 3【试题解析】 根据题意知 a=(一 2,2),b=(一 m, 1),c=(4,n),因为三向量共线,所以 ,解得 m=1,n=一 4,所以 m+n=一 3【知识模块】 向量21 【正确答案】 【试题解析】 依题意有 a(a-2b)=a 2 一 2ab=a 2 一 2abcos=又因为 a 与 b 的夹角在0,范围内,所以 a 与 b 的夹角为 【知识模块】 向量22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 向量23 【正确答案】 【试题解析】 因为 ab=x+4y 一 3=0,所以 3=x+4y【知识模块】 向量2

14、4 【正确答案】 【试题解析】 依题意有a+b 2=a 2+b 2+2abcos=1+16+8cos=13 ,所以 cos=一 ,又因为 a 与 b 的夹角在0, 范围内,故向量 a,b 的夹角为 【知识模块】 向量25 【正确答案】 3x+2y 一 7=0【试题解析】 由题,根据三点共线定理可知,A, B,C 三点共线因此点 C 的轨迹是 A,B 所在的直线,故点 C 的轨迹方程是 y 一 2= (x 一 1),即 3x+2y-7=0【知识模块】 向量26 【正确答案】 14【试题解析】 由题意可知位移 =(2,3,一1)(5,2,2)=14 【知识模块】 向量三、解答题27 【正确答案】

15、(1) , 又因为 H、G 分别为线段FA、FD 的中点, 所以 HG 是 AADF 的中位线,即 HGAD 且 HG= AD, 所以BC HG, 因此四边形 BCGH 是平行四边形 (2)同(1)可证得四边形 BEFH 也是平行四边形, 所以 EFBH 由(1) 知 CGBH,所以 EFCG,则 EF 与 CG 共面 又因为 DDF,DF 平面 EFGC, 所以 C、D、E 、F 四点共面【知识模块】 向量28 【正确答案】 (1)依题意知y 表示的区域边界所在的直线分别为 l1:y=(x0)和因此动点 P 的轨迹方程是以(2,0),(一 2,0)为焦点的双曲线的右支: x2-=1(x1)(

16、2)当直线 l 斜率不存在时,直线 l:x=2,所以 A(2,3),B(2,-3),显然 0当直线 l 斜率存在时,设直线 l:y=k(x-2),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立 l 与 P 点轨迹方程 ,消去 y 得:(3 一 k2)x2+4k2x 一(3+4k 2)=0=(4k2)2+4(3+4k2)(3 一 k2)=36k2+360,所以 x1+x2= 要使ABC 为直角三角形,则必有 =0,即(x 1 一 1)(x21)+y1y2=0,所以 x1x2一(x 1+x2)+1+k2(x1 一 2)(x22)=0,整理得(1+k 2)x1x2 一(1+2k 2)(x1+x2)

17、+4k2+1=0,将代入上式,解得 k=0当 k=0 时,直线 l 与 x 轴重合,与 P 点的轨迹只有一个交点所以不存在这样的直线,使得 ACBC【知识模块】 向量29 【正确答案】 由题干可知,抛物线焦点坐标为 F(0,1) , 设 A,B,C 5-点坐标分别为 ,(x,y)因为 F(0,1),M(0 ,一 1),【知识模块】 向量30 【正确答案】 (1)如图所示,建立空间直角坐标系 由图知 A(a,0,0),B(a,a ,a) ,C(0,a ,0), D(0,0,a), (2)设面 DAC的法向量为n1=(x1,y 1,z 1),面 BAC的法向量为 n2=(x2,y 2, z2),二面角 DAC一 B 的平面角为 令 z1=1,则 x1=y1=一 1, 所以面 DAC的一个法向量为 n1=(一 1,一 1,1) 同理可得面BAC的一个法向量为 n2=(1,1,1) 【知识模块】 向量

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