1、教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题1 下列说法正确的有( ) a(bc)=(ab)c；a 与 a 同向；a(b+c)=ab+ac；a+b=b+a；(+)a=a+a(、 均为实数)（A）（B） （C） （D）2 向量 a 的模 |a|=1，向量 b 的模|b|=2，且满足 则向量 a 与向量b 的夹角为( ) 3 向量 a=(m， 2，1) ，b=(2 ，1，n) ，已知 a 和 b 不平行，则( ) 4 已知点 C 在线段 AB 上，且 AC=2BC，若 O 是线段所在直线外的一点，则( ) 5 已知向量 c=(2，3，1)-2(1，0，2)，若用标准基 i、
2、j、k 表示 c，则 c=( )（A）i+2j+k（B） 3j+3k（C） 4i+3j5k（D）3i+3j 3k6 已知 a=2i+mj+3k，b=ni2jk 是空间中的两个向量，则 “a/b”是( )（A）充分不必要条伺（B）充要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件7 已知向量 a=i+2jk，b=2ij+k，则 ab=( )（A）ij（B） 3ij+3k（C） 5（D）i+j+3k8 已知空间内的三点 A(2，1，2)，B(1，1，1)，C(1，2，2)，则ABC=( ) 9 已知 a=(1，1，1)，b=(2，2，1) ，则 a 在 b 上的投影为( )（A）3（B） 3（
3、C）（D）二、填空题10 已知向量 a=(1，y，1)，b=(x，4，3) ，且 x，yN *，若 ab=0，则 xy 的最大值是_11 已知向量 a、b 满足 |a|=1,|b|=4，则 a 与 b 的夹角为_12 在平面直角坐标系中，已知两点 A(1，2)，B(3 ，1)，O 为坐标原点，若点C(x，y) 满足 其中 +=1，则点 C 的轨迹方程是_.13 一物体(可视为质点) 在力 F=2i+3jk 的作用下由点 A(3，1，2)运动到点B(2，3，4) ，则力做功为_焦耳14 将空间中一点 M(1，1，2)按向量 a=(1，2，1) 平移后，所得点 M的坐标为_15 已知空间内两个平面
4、 ：xmy+2z=4， ：x+y2z=1，若 与 的二面角的正切值为 则 m=_16 已知 i，j，k 分别是空间直角坐标系 x，y，z 三个轴的单位向量，若 s=i+j+k，则|s|=_17 已知直线 过点 A(3，5，2)与该直线平行的直线方程是_.三、解答题17 在正方体 ABCDABCD中，18 证明：ABCD；19 求二面角 DAC一 B 的正切值19 已知空间直线 L 的一般方程为 求：20 直线 L 与平面 ：x2y+z2=0 所成角的正弦值；21 过点 A(3，2，1) 且垂直于直线 L 的平面 22 已知 ai，b iR(i=1，2，3)，试证明不等式教师公开招聘考试中学数学
5、（向量）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 向量的数量积不满足结合律，故错误；当 0 时，a 与 a 异向，故错误； 分别是向量数量积的分配律运算、向量加法中的交换律运算和向量数乘中的分配律运算，均正确因此本题选 D.【知识模块】 向量2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 若 ，解得 因此，当 a 和 b 不平行时，只需满足 m4 或 即可【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 依题意可知【知识模块】 向量5 【正确答案】 C【试题解析】 c=(2，3，1) 2( 1，0，2)=(4，3，5)=4i+3
6、j 一 5k【知识模块】 向量6 【正确答案】 B【试题解析】 当 a/b 时，有 解得 所以“a/b” 是“m=6,”的充分条件；当 m=6, 时，a=2i+6j+3k， 则a= 3b，即 a/b，所以“a/b”是“m=6, ”的必要条件因此本题选 B【知识模块】 向量7 【正确答案】 D【试题解析】 ab=(1， 2，1)(2，1，1)=21(1)( 1)i+( 1)( 2) 11j+1(1) 2(2)k=i+j+3k【知识模块】 向量8 【正确答案】 B【试题解析】 依题意有 所以又因为ABC0，所以【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】 |a|cosa，b即为 a 在 b
7、上的投影，将题干中的数代入，则有【知识模块】 向量二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 因为 ab=x+4y3=0，所以当且仅当 x=4y 时取等号，此时【知识模块】 向量11 【正确答案】 【试题解析】 依题意有|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|b|cosa，b=1+16+8cosa，b=13 ，所以又因为 a 与 b 的夹角在0， 范围内，故向量 a，b 的夹角为【知识模块】 向量12 【正确答案】 3x+2y7=0【试题解析】 由题，根据三点共线定理可知，A， B，C 三点共线因此点 C 的轨迹是 A，B 所在的直线，故点 C 的轨迹方程是【知识模块】 向量13 【正确答案
8、】 14【试题解析】 由题意可知位移 所以力做的功【知识模块】 向量14 【正确答案】 (0，1，3)【试题解析】 由题意可知， 所以 M的坐标 (x，y，z)=(1，1，2)+( 1，2，1) (0 ，1，3)【知识模块】 向量15 【正确答案】 3 或【试题解析】 依题意可知， 的一个法向量分别是 n1=(1，m，2)，n2=(1，1， 2)设 ， 的二面角为 ，因为 0,即解得 m=3 或【知识模块】 向量16 【正确答案】 【试题解析】 依题意知 i，j，k 之间相互垂直，所以 ij=0，jk=0 ，ik=0 又因为s2= (i+j+k)2=i2+j2+k2+2ij+2jk+2ik=3
9、，所以【知识模块】 向量17 【正确答案】 【试题解析】 因为所求直线与直线 l 平行，所以 l 的方向向量(2，2，1)即为所求直线方程的方向向量；又因为直线过 A(3，5，2)，所以所求直线方程为【知识模块】 向量三、解答题【知识模块】 向量18 【正确答案】 如图所示，建立空间直角坐标系 由图知 A(a，0，0)，B(a ，a ，a)，C(0，a ，0) ，D(0， 0，a)， 【知识模块】 向量19 【正确答案】 设面 DAC的法向量为 n1=(x1，y 1，z 1)，面 BAC的法向量为n2=(x2，y 2，z 2)，二面角 DAC一 B 的平面角为 由图知因为 n1面 DAC， 令
10、 z1=1，则x1=y1=1， 所以面 DAC的一个法向量为 n1=(1 ，1，1) 同理可得面 BAC的一个法向量为 n2=(1，1，1) 【知识模块】 向量【知识模块】 向量20 【正确答案】 依题意知平面 的一个法向量为 n1=(1，2，1)， 直线 L 的方向向量 因为直线 L 与平面 的夹角 所以【知识模块】 向量21 【正确答案】 因为平面 与直线 l 垂直， 所以可令平面 的法向量n2=s=(5，5 ，5) 又因为平面 过点 A(3，2，1)， 所以平面 的方程为5(x3) 5(y2) 5(z+1)=0，即 xyz2=0【知识模块】 向量22 【正确答案】 设 a=(a1，a 2，a 3)，b=(b 1，b 2，b 3)， 则|ab|=|a|b|cos ab | 因为|cos ab|1， 所以|a|b|ab| 当 cos=1 时取等号【知识模块】 向量
