1、教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题1 已知直线 l 与平面 ，两者之间的关系可能为( )（A）直线 l 在平面 上（B）直线 l 与平面 相交（C）直线 l 与平面 平行（D）以上情况都可能2 已知 P 是平面 外的一点，则下列说法中正确的是( )（A）过点 P 有且只有一条直线与 平行（B）过点 P 有无数条直线与 垂直（C）过点 P 有且只有一个平面与 平行（D）过点 P 有且只有一个平面与 垂直3 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，以下有( )对直线间的夹角为 90 A 1B 和 C1D AD1 和 A1C1 BC 和 DD1 BC1 和 A
2、1B1 AD 和 BC1（A）2（B） 3（C） 4（D）54 在三棱柱 ABC 一 A1B1C1，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，A 1 在底面的投影为 BC 边的中点 O， A1AB=45，则侧棱长为( ) 5 如图所示，已知面 PCD 与面 ABCD 的二面角为 90，ABCD 为矩形，AB=2BC=PC=PD=2，0 为 CD 的中点，则 SPABSOAB=( ) 6 在四棱锥 PABCD 中，底面为正方形，M 为 PA 的中点，则 PC、BM 的位置关系为( ) （A）平行（B）相交（C）异面（D）以上情况都可能7 已知 AC1 是长方体 ABCDA1B1C1D1 内的体对角
3、线，长度为 底面是边长为2 的正方形，则异面直线 BB1 与 AC1 的距离为( ) 8 如图所示，BD 1 为正方体的体对角线，长度为 cm，M、N 分别为线段AA1、BD 1 上的动点t=0 s 时，M 与点 A 重合，N 与点 B 重合；经过 5 s 后，M与点 A1 重合，N 与点 D1 重合则下列图像中能表示 MN 长度 s 与时间 t 的关系的是( ) 9 已知正六棱锥的底面边长为 2，侧面与底面的夹角的余弦值为 则该六棱锥的高h=( ) 二、填空题10 如图，圆锥的地面半径为 5cm，侧面积为 65cm1，若圆锥的母线与高的夹角为，则 sin=_ 11 如图，在正三棱柱 ADE
4、一 BCF 中，底面边长为 4，ME=3MF，AB=4 ，则 SACM=_ 12 一实心圆柱体的底面半径为 1，高为 如图，在圆柱体表面移动，自 A 点到B 点的最短距离为_ 13 如图为一圆台的俯视图，小圆半径为 r，大圆半径为 R，小圆的面积是大圆面积的一半，且母线与底面的夹角为 60，则该圆台的侧面积为_(用 r 表示) 14 在棱长为 2 的正四面体内，对棱间的距离为_，正四面体的高为_，体积为_，表面积为_。三、解答题15 如图所示，已知 /，= ，=b 证明： a/b 16 已知直三棱柱的六个顶点都在直径为 4 的球面上，ABC 为等边三角形当 AB的长度为多少时，三棱柱 AlBC
5、A11C1 的体积最大，并求出最大值16 如图所示一不规则的多面体零件，底面是正三角形，AD面 ABC，DF/AC， 17 证明：AD、BE、CF 的延长线交于一点；18 求面 ABC 与面 DEF 的二面角的值19 已知直三棱柱 ABCA1B1C1，BAC=90 ，BC= AB=2，AA 1=2M 、N 分别为 BB1、CC 1 上的点，且 3BM=MB1，3CN=NC 1，求 MN 到面 A1BC 的距离20 已知 AB 是与平面 相交于 B 点的线段，点 A 在平面 内的投影为 O，C 是平面上的点，且 证明：cosABC=cosABOcos CBO 20 如图所示，在正方体 ABCDA
6、1B1C1D1 中，M、N、P 分别是 CC1、BD、BB 1的中点，AA 1=2 21 求异面直线 MN、D 1P 的距离；22 求二面角 ND1PM 的余弦值教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 直线与平面有三种位置关系：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行【知识模块】 立体几何2 【正确答案】 C【试题解析】 过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，所以 A 项错误；过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，所以 B 项错误；过平面外一点，有无数个平面与该平面垂直，所以 D 项错误；C 项说法正确【知识模块】 立体
7、几何3 【正确答案】 B【试题解析】 夹角为直角的是；AD 1 和 A1C1 的夹角为 60；AD 和 BC1 夹角为 45【知识模块】 立体几何4 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，因为 O 是 A1 在底面的投影，所以cosA1AB=cosA1AOcosOAB又因为A 1AB=45，OAB=30，所以【知识模块】 立体几何5 【正确答案】 A【试题解析】 因为PAB 与 QAB 同底，所以面积的比即为高的比如图所示，N 为 AB 边中点，连接 ON、PN、PO，又因为面 PCD面 ABCD，ABCD 为矩形，PC=PD=2，所以 AB=CD=2，O 即为 P 在底面的投影，OP面 A
8、BCD，所以PON 为直角三角形，又 ON=1，所以 因此 SPAB：S OAB=PN：ON=2 ：1 【知识模块】 立体几何6 【正确答案】 C【试题解析】 因为底面为正方形，且 M 为 PA 的中点，取 PD 中点 O，BC 中点N，连接 ON、OM ，所以 OM/AD/BC，因为 所以四边形 MBNO 为平行四边形，ON/BMON 交面 PDC 于 O 点，因为 PC 面PDC， N 面 PDC，所以 ON 与 PC 为异面直线，即 BM 与 PC 为异面直线 【知识模块】 立体几何7 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，取 BB1 中点 P，AC 1 中点 O，O 在面 ABB1A
9、1 上的投影为 O，所以 OO面 ABB1A1，连接 AP、C 1P、OP、OP，因为底面是边长为 2的正方形， 所以 又因为 OPBB1，OOBB1，所以 BB1面 POO，又 OP 面 POO，所以 OPBB1在APC 1 中，AP=C1P，O 为 AC1 中点，所以 OPAC1，线段 OP 的长度即为异面直线 BB1 与AC1 的距离，求得 【知识模块】 立体几何8 【正确答案】 D【试题解析】 根据 N点到底面的距离等于 M 点到底面的距离，即 MN 一直在平行于底面的平面内，如图，过 M 点作面 MEFG/底面 ABCD，N 点运动的轨迹的投影在 EG 上，即 EG与 BD1 的交点
10、为 N，连接 MN，t0,5.在 时，取最小值 t=0s 或 5s 时取最大值 2cm，且时的图像关于 对称，排除 C 项；s 与 t 非线性关系，排除 A 项；求 MN 的导数可得 所以答案选 D 【知识模块】 立体几何9 【正确答案】 C【试题解析】 顶点在底面的投影 P到正六棱锥的底面边的距离 因为侧面与底面的夹角的余弦值为 所以正切值为 【知识模块】 立体几何二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 因为圆锥的侧面积=底面半径母线长 ，故该圆锥母线长为则【知识模块】 立体几何11 【正确答案】 10【试题解析】 方法一：取 BC、AD 中点 G、H 并连接，与 AC 交于 P，M 在
11、面ABCD 上的投影 N 在 GH 上过 N 点作 NOAC，根据三垂线定理得，MOAC， PN=1因为 PONPGC，所以 所以SACM=10 方法二：因为 EFAE，AB BC，EFCF， 即 AEM、MFC、 ABC 为直角三角形，因为 BCF 为边长为 4 的正三角形， ME=3MF，AB=4，所以 BC=CF=AE=4，EF=AB=4， 【知识模块】 立体几何12 【正确答案】 【试题解析】 将侧面展开，A 到 B 的距离为 沿 ACB 的距离为 l2=2+ 3.414.l1l 2，所以从 A 移动到 B 的最短距离为【知识模块】 立体几何13 【正确答案】 2r 2【试题解析】 由
12、已知得 正视图如图所示，因为母线与底面的夹角为 60，所以 圆台侧面积公式为 S 侧 =(R+r)l，代入数据得【知识模块】 立体几何14 【正确答案】 【试题解析】 可以将棱长为 2 的正四面体放在边长为 的正方体内，如图所示DABC，六条棱为六个面的对角线，对棱间的距离为正方体的边长 体对角线因为 VEACD =VACDE ，所以【知识模块】 立体几何三、解答题15 【正确答案】 因为 /，a ，所以 /，又因为以 a ，且 =b，所以a/b【知识模块】 立体几何16 【正确答案】 M 为 AA1 中点，D 为 BC 中点，O 为直三棱柱外接球的圆心，O为底面的中心，连接 OO 根据直三棱
13、柱外接球的性质得： 直三棱柱的外接球的圆心到顶面和底面的距离相等， 令 g(x)= x3+4x2，则 g(x)=x 2+8x=0，解得 x=0 或 8 因为 a2max=8，此时 所以当 时，三棱柱 ABCA1B1C1 的体积最大，最大值为 8【知识模块】 立体几何【知识模块】 立体几何17 【正确答案】 如图取 AC 中点 P，连接 FP 假设三线不重合， AD 延长线与 CF延长线交于 M 点，AD 延长线与 BE 延长线交于 N 点 因为 AM=AN 且 M、N 在 AD 的延长线上， 所以 M 点与 N 点重合，即AD、BE、CF 的延长线交于一点【知识模块】 立体几何18 【正确答案
14、】 如图过 E 作 EMAB，在 EM 取一点 F，使 EF=AD，连接AF，CF 因为 ADAB，所以 EF/AD FM=EMEF=1 过 M 作 MNAC，连接 FN，则FNM 即为所求角， 【知识模块】 立体几何19 【正确答案】 取 BC 中点 D，B 1C1 中点 E，连接A1D、DE 、A 1EAD，DE 交 MN 于 O 点， 因为 3BM=MB1，3CN=NC 1，所以 MN/BC 又因为 所以MN/面 A1BC. O 为 MN 上的点，点 O 到面 A1BC 的距离即为 MN 到面 A1BC 的距离 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1/DE， 因为 AA1面 ABC
15、，所以 DE面ABC 又因为 BAC=90， 所以AB=AC，BCED，BC AD， 所以 BC面 ADEA1 又因为 BC 面 A1BC， 所以面 A1BC面 ADEA1， 所以 O 在面 A1BC 的投影 O在 A1D 上 在DOO 和DA1E 中， 因为 ODO=A1DE，OOD= A1ED=90， 所以DOO DA1E， 因为 A1E=AD，OD=BM， 所以A1E=AD=cos45AB=1，所以即 MN 到面 A1BC 的距离为【知识模块】 立体几何20 【正确答案】 如图所示建立坐标系， 设A(0，0 ，a) ，B(b，0，0)， C(x，y，0)，O(0，0，0)， 所以cosA
16、BC=cosABOcosCBO【知识模块】 立体几何【知识模块】 立体几何21 【正确答案】 如图建立直角坐标系， 则 D1(0，0，2)，P(2，2，1)，M(0，2，1)，N(1，1，0) ， 设公垂线方向的法向量，n=(x，y，z) ， 取 y=1，则 n=(3，1，4) 又因为所以 MN、D 1P 的距离为【知识模块】 立体几何22 【正确答案】 M 在面 BB1D1D 的射影 M为矩形 BB1D1D 的中心，连接 MM，过 M作 MQD1P，连接 MQ，则MQM 即为所求二面角 在D 1B1P 和PQM 中，已知D1P=3， 又 M为矩形 BB1D1D 的中心，P 为 B1B 的中点，则MP/D1B1， 所以 MPQ=PD1B1， 所以 D1B1pPQM， 【知识模块】 立体几何
