1、教师公开招聘考试中学数学（解析几何）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 已知直线与抛物线 y2=6x 相交，两交点的坐标分别为 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，且直线经过抛物线的焦点，若 x1+x2=5，则AB=( )（A）5（B） 6（C） 7（D）82 已知双曲线的离心率为 3，且左焦点 F1 的坐标为(-3 ，0)若双曲线上有一点 M，满足 MF1x 轴，则MF 1F2 的面积等于( )3 “a+b0”是“ 方程 ax2+by2=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线 ”的( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4 已知单位向量 a、
2、b 的夹角为 ，则 ab=( )（A）1（B）一 1（C） 0（D）5 设双曲线 =1(a0，b0)的离心率 e=2，其右焦点 F 坐标为(c，0)，若x1、x 2 分别为方程 ax2+bx-c=0 的两个根，则点 P(x1，x 2)在( )（A）圆 x+y2=9 内（B）圆 x2+y2=9 上（C）圆 x2+y2=9 外（D）以上三种情况都有可能6 已知直线 l：y=一 3x+3 被两直线 y=x+2 和 y=x 一 3 所截，则截得的线段长为( )7 已知直线 l 的方程为 x 一 y+m=0，C 的方程为(x 一 1)2+(y 一 2)2=4，若已知直线与圆相切且直线不过第四象限，则 m
3、 的值为( )8 若直线 y=-x+a 和直线 y= 一 2a 的交点为 P，且 P 在圆 x2+y2=10 内，则 a 的取值范围为( ) 9 已知平面直角坐标系内有一个圆，其方程为 x2+y2+沿 x 轴平移后与圆相切，则移动后的直线在 y轴上最小的截距为( ) （A）一 2（B）一 6（C） 2（D）610 已知双曲线的方程为 =1，若椭圆的端点与双曲线的焦点重合，且双曲线的准线经过椭圆的焦点，则椭圆的方程是( )11 已知直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2(a0)交于 A、B 两点，O 为抛物线的顶点，若满足 =0，则 a=( )12 已知椭圆 C1： 1，则这两个椭圆的( )（A
4、）长轴长相等（B）短轴长相等（C）焦距相等（D）顶点相同13 已知椭圆方程为 ，则下列等式中正确的一项是( )（A）a+c=2b（B） a+b=2c（C） a=b+c（D）a 一 c=b14 已知空间中有一平面 ：2x+5y+ ，则点 A 到平面的距离为( ) （A）（B）（C） 1（D）515 如果双曲线以椭圆 =1 的焦点为顶点，以其顶点为焦点，那么这个双曲线的方程为( ) 二、填空题16 已知抛物线方程为 y2=一 ax，若抛物线的准线与圆(x-2) 2+y2=1 相切，则抛物线的焦点坐标为_17 已知直线 l1：y-2x- =0 和直线 l2：3y-x-3=0 ，它们之间的夹角为_18
5、 已知两同心圆，半径之差为 1，若大圆的一条长为 8 的弦被小圆截得的弦长为，则大圆的半径为_19 过点(3 ，1)且与直线 y 一 2x+1=0 平行的直线方程是 _20 已知焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为 ，则这个双曲线的渐近线方程是_21 抛物线 y2=2x 关于直线 y+x=0 对称的抛物线方程是 _22 设 a=axj+ayj+azk，b=b xi+by6j+bzk，要使 ab，则应满足_三、解答题23 已知双曲线 一 y2=1，左右焦点分别为 F1、F 2，若双曲线上有一点 P(P 在第二象限)，使得 PF1 上 x 轴 (1)求 PF2 的长； (2)Q 为 PF2 的中点，
6、若过点 Q 的直线与双曲线相切，求直线的方程24 在平面直角坐标系中，椭圆 C 和圆 C0 均以原点为中心设椭圆 C 的方程为=1(ab0)，C 0 和 x 轴的交点与椭圆的焦点重合，且圆 C0 与椭圆 C 相交于四点，将这四点连接起来得到一个长方形若椭圆 c 的短轴长为，求椭圆 C 和C 0 的方程25 在平面直角坐标系中有一抛物线，方程为 y2=2px，已知抛物线上有一点A(2，2) (1)求抛物线的方程及焦点坐标； (2)0 为直角坐标系的原点，求线段 OA的垂直平分线与抛物线的交点26 已知点 P(-1，一 3)和C：x 2+y2 一 4x+2y=一 1，若过点 P 可作圆 C 的两条
7、切线，则求经过两个切点的直线的方程27 求过点(1 ，一 3， )且与平面 1：x+y+z+1=0 和平面 2：2x+yz+2=0 都平行的直线方程28 已知双曲线的中心在坐标原点，离心率为 ，焦点在 z 轴上，且双曲线上的一点到两焦点的距离之差为 圆 C 的圆心在坐标原点，且直径长等于双曲线的焦距 (1)求双曲线和圆的方程； (2) 圆 C 与双曲线有几个交点?求各交点的坐标29 在平面直角坐标系中，a=(x，3y-3)，b=(4x ，y+1)，a b，动点 P(x，y)的轨迹为E(1)求轨迹 E 的方程；(2)是否存在过原点的直线，使得直线与轨迹 E 的两个交点之间的距离为 1?若存在，请
8、写出直线的方程，若不存在，请说明理由30 在平面直角坐标系中有抛物线 G，已知抛物线的方程为 x2=2py(p0)，且抛物线的焦点到准线的距离为 2 (1)求抛物线的方程； (2)若一斜率为正的直线过点N(0，一 3)且与抛物线有交点，则求直线斜率的取值范围教师公开招聘考试中学数学（解析几何）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 已知抛物线方程为 y2=6x，则其焦点 F 的坐标为( ，0)，直线过点F，则AB=FA+FB，又因为抛物线上一点到焦点的距离等于这点到准线的距离，故AB=x 1+x2+2 =8【知识模块】 解析几何2 【正确答案】 D【试题解析】 双曲
9、线的离心率为 3，则 e= =3；左焦点 F1 的坐标为(一 3，0)，则c=3，故 a=1，b= =1已知 MF1x 轴，则点 M 的横坐标为一 3，代入方程中计算得点 M 的纵坐标为 y=8，又F1F2=2c=6， 86=24【知识模块】 解析几何3 【正确答案】 D【试题解析】 如果满足 a+b0，设 a=1，b=1，则方程 ax2+by2=1 不是双曲线方程；如果方程 ax2+by2=1 表示焦点在 z 轴上的双曲线，则只需满足 a0、b0，若a=1、b=一 2，则 a+b=一 10故“a+b 0”是“方程 ax2+by2=1 表示焦点在 z 轴上的双曲线”的既不充分也不必要条件【知识
10、模块】 解析几何4 【正确答案】 D【试题解析】 已知 ab=ab cos(a ，b) ，已知 a、b 为单位向量，a=b=1，则ab=11=1，向量间夹角为【知识模块】 解析几何5 【正确答案】 A【试题解析】 已知双曲线的离心率 e= 则将各值代入方程 ax2+bxc=0 可化简得到 ax2+ 一2=0因为 x1、x 2 为方程两根，所以 x1+x2=一 ；x 1x2=一 2，所以 x12+x22=(x1+x2)2=2x1x2=3+479，故点 P(x1，x 2)在圆 x2+y2=9 内【知识模块】 解析几何6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 解析几何7 【正确答案】 A【试题
11、解析】 由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离 d 为圆的半径 r，则有 d=，经过一、二、三象限，符合题意；当，经过一、三、四象限，依据题意应舍去【知识模块】 解析几何8 【正确答案】 D【试题解析】 已知两直线相交，联立两方程 ，即 P的坐标为(2a ，一 a)又因为 P 在圆 x2+y2=10 内，则(2a) 2+(-a)210，解得一。【知识模块】 解析几何9 【正确答案】 C【试题解析】 圆的方程可以化简为 ，半径为 1设平移后的直线方程为 y= +b直线与圆相切，即与圆心的距离为半径，利用点到直线的距离公式可得，d= =1，化简可得，b4=2，解得 b=2 或 b=6，要使截距最小，
12、则取 b=2【知识模块】 解析几何10 【正确答案】 A【试题解析】 依题意得，对于双曲线，a=4因为椭圆的端点与双曲线的焦点重合，且双曲线的准线经过椭圆的焦点，所以，对于椭圆，a=5，c=4=1【知识模块】 解析几何11 【正确答案】 B【试题解析】 将直线方程代入抛物线方程，整理得 ax2 一 x 一 2=0因为 A、B 为直线与抛物线的交点，设 A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 1，y 2)，所以 x1x 2=一 =0，即(x 1，y 1)(x 2，y 2)=0，x 1x2+y1y2=0，又因为 A、B 过抛物线，故有：y 1=ax12，y 2=ax22，即 x1x 2+
13、ax12ax 22=0，将 x1x 2=一【知识模块】 解析几何12 【正确答案】 B【试题解析】 椭圆C1： ，顶点坐标分别为，短轴长为 2，焦距为8，顶点坐标分别为(0， )、(2，0)故两椭圆的短轴长相等【知识模块】 解析几何13 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 解析几何14 【正确答案】 A【试题解析】 根据空间几何知识，点 P(x1，y 1，z 1)到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离为 ，将点的坐标和平面的方程式的系数代入代数式中，可以得到点到直线的距离为：【知识模块】 解析几何15 【正确答案】 D【试题解析】 已知椭圆的方程为 =4，根据题意可知双曲线的焦点在
14、x 轴，椭圆的左右顶点分别为(一 5，0)、(5，0)，焦点坐标分别为(一 4，0) 、(4 ，0) 则双曲线的顶点坐标分别为(一 4，0)、(4 ，0)，焦点坐标分别为(一 5，0) 、(5，0) ，所以在双曲线中 a2=4，c 2=5，b 2=1【知识模块】 解析几何二、填空题16 【正确答案】 (一 1，0)或(一 3，0)【试题解析】 已知抛物线方程为 y2=一 ax，则其准线为 x= ，准线与圆相切，即圆心到准线的距离为半径长，根据题意可知，圆心为(2，0)，半径为 1，故有=1，解得 a=4 或 12，故抛物线方程为 y2=一 4x 或 y2=一 12x，焦点坐标为(一 1， 0)
15、或(一 3，0)【知识模块】 解析几何17 【正确答案】 【试题解析】 已知两直线的夹角公式为：tan= (k1k2一 1)，且题中直线l1 的斜率 k1=2，直线 l2 的斜率 k2=。【知识模块】 解析几何18 【正确答案】 5【试题解析】 根据已知条件可画出图形如下：根据题意可知，OQ 为大圆半径，ON 为小圆半径，PQ=8，MN= ，过圆心作 OLPQ，则点 L 为直线 PQ 和MN 的中点， OL2=ON2 一 LN2=OQ2 一 LQ2已知 ON=OQ-1，故有(OQ-1) 2 一( )2=OQ2 一 42，解得 OQ=5【知识模块】 解析几何19 【正确答案】 y 一 2x+5=
16、0【试题解析】 根据题意可设这条直线的方程为 y 一 2x+b=0，直线经过点(3，1)，则 123+b=0，解得 b=5，所以直线方程为 y 一 2x+5=0【知识模块】 解析几何20 【正确答案】 y=x【试题解析】 根据题意可设双曲线的方程是 ，c2=2a2=a2+b2，则 a2=b2已知双曲线的渐近线方程为 y= ，故化简可得其渐近线方程为 y=x【知识模块】 解析几何21 【正确答案】 x 2=一 2y【试题解析】 经过对称变换后，抛物线的焦点由 x 轴正半轴变换到了 y 轴负半轴上，且焦点到原点距离不变设变换得到的方程为 x2=ay，原抛物线焦点坐标为( ，0)，则变换后的交点坐标
17、为 =一 2，则经变换后的抛物线方程为 x2=一 2y【知识模块】 解析几何22 【正确答案】 a xbx+ayby+azbz=0【试题解析】 两向量垂直的充要条件为 ab=0，已知 a=(ax， y，a z)，b=(bx，b y，b z)，则 ab=(a x， y，a z)(b x，b y，b z)=axbx+ayby+azbz=0【知识模块】 解析几何三、解答题23 【正确答案】 【知识模块】 解析几何24 【正确答案】 已知 C0 和 x 轴的交点与椭圆的焦点重合， 故 C0 的半径为 c，即x2+y2=c2=a2 一 b2 因为 C0 和 C 均以原点为中心，且关于 x、y 轴对称，
18、所以所得点的横坐标的绝对值相等，纵坐标的绝对值也相等 【知识模块】 解析几何25 【正确答案】 (1)已知点 A(2，2) 在抛物线上， 代入抛物线有 22=2p2=4p，故p=1，抛物线方程为 y2=2x 焦点坐标为 (2)已知点 A(2，2)，O 为坐标原点， 则线段 OA 的斜率为 =1， 所以其垂直平分线的斜率为一 1 线段 OA 的中点坐标为(1，1)， 故线段 OA 的垂直平分线的方程为 y=一 x+2 要求线段 OA 的垂直平分线与抛物线的交点，【知识模块】 解析几何26 【正确答案】 已知圆的方程，可经化简得到：(x 一 2)2+(y+1)2=4，即圆心坐标为(2，一 1)，半
19、径 r=2设其切线方程为 y=kx+b，因为直线过定点 (一 1，一 3)，则一 3=一 k+b，即 b=k 一 3，直线方程可化为 y=kx+k 一 3如图所示： 因为直线与圆相切，则直线到圆心的距离等于半径，根据点到直线距离的方程可知：【知识模块】 解析几何27 【正确答案】 设所求直线的方向向量为 s=(m，n，p)， 平面 1：x+y+z+1=0 的一个法向量为 n1=(1，1，1) ， 平面 2：2x+yz+2=0 的一个法向量为 n2=(2，1，一 1) 因为所求直线与两个平面都平行，则直线的方向向量与两平面的法向量均垂直，取 s=n1n2= 【知识模块】 解析几何28 【正确答案
20、】 (1)已知双曲线上的一点到两焦点的距离之差为 ， 因为圆 C 的圆心在坐标原点，直径长为双曲线的焦距，所以半径为 6，故圆的方程为x2+y2=36【知识模块】 解析几何29 【正确答案】 已知两向量垂直，所以(x，3y 一 3)(4x，y+1)=O，4x 2+3(y 一 1)(y+1)=0， 化简可得到 +y2=1， 故轨迹 E 为以原点为中心、焦点在 y 轴上、长轴长为 2a=2、短轴长为 2b= 的椭圆 (2)因为轨迹 E 为以原点为中心的椭圆，所以过原点的直线与椭圆相交于两点根据椭圆的性质可知，过原点的直线所截得的弦长最短即为与短轴重合时的情况因为椭圆的短轴长为 ，故最短的弦长应为1，所以不存在这样的直线，使得直线与轨迹 E 的两个交点之间的距离为 1【知识模块】 解析几何30 【正确答案】 (1)已知抛物线的焦点到准线的距离为 2，所以 =2，即p=2 ， 又因为 p0，所以 p=2，故抛物线的方程为 x2=4y (2)根据题干可设直线方程为 y=kx 一 3(k0) 联立方程可得 ，化简得到 x2 一4kx+12=0， 当直线与抛物线相切时，此方程只有一个实数解，故=(4k) 2 一412=0，解得 k= 因为直线斜率为正，所以只有当 k ，直线与抛物线有交点 故直线斜率的取值范围为 k 【知识模块】 解析几何
