1、教师公开招聘考试中学数学（计数原理）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题1 7 人排成前后两排，前三后四，其中 A 一定要在前排， B、C 两人一定要在后排，则排法有( )种（A）39（B） 480（C） 864（D）50402 由 0、1、2、3、4、5 可以组成( )个能被 5 整除且不含重复数字的五位数（A）96（B） 120（C） 216（D）6003 八(3)班的六重唱在学校文艺汇演中获得了一等奖，班主任老师和六名参演学生准备一起合影他们排成一个横排，其中班主任老师要站在边上，而参演学生中甲和乙不能相邻，则共有( )种排法（A）288（B） 480（C） 576（D）9604 将 2
2、 名教师和 6 名学生分成两个小组到 A、B 两个单位进行实习，其中每个小组都有 1 名教师和 3 名学生，则实习的安排方法共有( )种（A）40（B） 80（C） 160（D）2405 7 人排成一列，其中甲必须站在乙的后面，乙必须站在丙的后面，则共有( )种排法（A）96（B） 120（C） 360（D）8406 将 6 颗不同颜色的珠子穿成一条手链，则可穿成( )种不同样式的手链（A）90（B） 120（C） 360（D）7207 在 的展开式中的常数项是( )（A）448（B） 1120（C） 448（D）11208 (x2+x+1)7 的展开式的系数的和为 ( )（A）3 7（B）
3、27（C） 1（D）09 从甲、乙等 8 个同学中挑选 3 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参加，则不同的挑选方法有多少种?( )（A）30（B） 36（C） 56（D）112二、填空题10 已知方程 x+y+z=8，且 x，y，zN +，则该方程解的个数是_11 的展开式的中间项的系数为_12 计算：5 55 53+543225 3332+52343 5=_三、解答题12 某班级进行班委会选举，有 7 名候选人(3 男 4 女)，求在下列不同的要求下，可能的选法数13 选择两名同学作为班长，一男一女；14 选择一名班长，一名副班长；15 选择正、副班长各一人，要一男一女；16
4、选择五名同学组成班委会，男女均不少于 2 人17 已知二项式(2x3) 5，求展开式中系数最大的项18 设 (xR，m N+)，且 x0=1， 求证：C xm+Cxm-1=Cx+1m19 一项由甲、乙等 5 个人参加的相互传球游戏，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外 4 人中的任何一人，经过 n 次传球后，球在甲手中的概率为 Pn请写出 Pn 的递推关系式，并求 Pn教师公开招聘考试中学数学（计数原理）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 本题相当于将 7 人安排到 7 个固定的位置上：先将 A 安排在前排，则有 A31=3 种排法，然后将
5、 B、C 两人排到后排，有 A42=12 种排法，最后将剩余4 人安排到剩下的四个位置上，有 A44=24 种排法，所以共有A31A42A44=31224=864 种排法【知识模块】 计数原理2 【正确答案】 C【试题解析】 若组成五位数的数字中不包含 0，即该五位数由 1、2、3、4、5五个数字组成，则要想其能被 5 整除，则数字 5 须排在个位上，所以此时满足条件的五位数共有 A44=24 个 若组合成五位数的数字中包含 0，如果其中不包含数字 5，则 0 须排在个位上，故此时满足条件的五位数共有 A44=24 个；如果其中同时包含 5，则当 0 在个位上时，共有 C43A44=96 个，
6、当 0 不在个位而 5 在个位时，共能组成 C43A44=96 个数，其中 0 在万位上的有 A43=24 个，故此时满足条件的五位数共有 C43A44 一 A43=72 个所以符合题干要求的五位数共有 24+24+96+72=216个【知识模块】 计数原理3 【正确答案】 D【试题解析】 首先，将除甲乙两人之外的四名学生排成一排，共有 A44 种排法，接着从四个人之间和两端的五个位置中选取两个安排甲乙两人，则共有 A52 种排法，最后班主任老师站在排好的队伍的左侧或右侧所以排法共有 A44A522=960 种【知识模块】 计数原理4 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可得，所求的安排方法可
7、看成从 2 名教师中选出 1 名和从 6名学生中选出 3 名到 A 单位实习，其余人到 B 单位实习，所以共有 C21C63=40 种安排方法【知识模块】 计数原理5 【正确答案】 D【试题解析】 可将原题理解为，一列 7 个位置，先任选出 4 个位置安排除甲乙丙三人外的其他四人，则有 A74=840 种排法，而剩余的三个位置用于安排甲乙丙三人，又因为他们三人的前后顺序是一定的，故只有 1 种排法，所以符合题意的排法共有8401=840 种【知识模块】 计数原理6 【正确答案】 B【试题解析】 对于环排问题，一般来说，将 n 个不同元素作环形排列，应共有(n一 1)!种排法，在本题中，是将 6
8、 颗不同颜色的珠子进行环形排列，则排法共有5!=120 种【知识模块】 计数原理7 【正确答案】 D【试题解析】 根据通项公式可得，因为求常数项，故令 82r=0，即r=4，所以 T2=C8428-4(1) 4=1120【知识模块】 计数原理8 【正确答案】 A【试题解析】 根据二项式定理可知，当 x=1 时，(x 2+x+1)7 的值即是所求的系数和，故(x 2+x+1)7=37【知识模块】 计数原理9 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可知，不同的挑选方法为 C83C 63=5620=36 种【知识模块】 计数原理二、填空题10 【正确答案】 21【试题解析】 该题目可以理解为，将 8
9、个相同的球放入 3 个不同的盒子中，且不能有盒子为空，于是可将 8 个球排成一排，将两个隔板插入 8 个球之间的 7 个空中，且每个空只插入一个隔板，则有 种插法，故原题目中方程的解也是21 个【知识模块】 计数原理11 【正确答案】 1120【试题解析】 因为 故当 时，T 5 为展开式的中间项所以 所以第五项的系数为 1120考生需注意，题目所求的是中间项还是中间项的系数【知识模块】 计数原理12 【正确答案】 32【试题解析】 原式=C 5055(3) 0+C5154(3) 1+C5253(3) 2+C5352(3) 3+C5451(3)4+C5550(3) 5=(53) 5=25=32
10、【知识模块】 计数原理三、解答题【知识模块】 计数原理13 【正确答案】 由题意可知，从 3 名男生中选 1 人，再从 4 名女生中选 1 人，故有 C31C41=34=12 种选法【知识模块】 计数原理14 【正确答案】 由题意可知，从 7 名候选人中选择 2 人担任不同的职务，故有A72=76=42 种选法【知识模块】 计数原理15 【正确答案】 由题意可知，从 3 名男生中选 1 人，再从 4 名女生中选 1 人，2人分别担任班长或副班长之职，故有 C31C41A22=342=24 种选法【知识模块】 计数原理16 【正确答案】 由题意可知，从 7 名候选人中选择 5 人，但要去掉只有
11、1 名男生的情况，故有 种选法【知识模块】 计数原理17 【正确答案】 该二项式展开式的通项为 Tr+1=C5r(2x)5-r(3)r(r=0，1，2， 3，4，5) ， 因为偶数项的系数为负值， 所以最大值在奇数项中取得，奇数项的系数分别为： P 1=C5025(3) 0=32， P 3=C5223(3) 2=720， P 5=C542(3)4=810， 则展开式中系数最大的项为第五项 T5=C542(3) 4x=810x【知识模块】 计数原理18 【正确答案】 由已知 可得 故 Cxm+Cxm-1=Cx+1m 得证【知识模块】 计数原理19 【正确答案】 由甲、乙等 5 个人参加相互传球游
12、戏，经过 n 次传球，则有 4n 种传球方法，假设球在甲手中的传球方法有 an 种，球不在甲手中的传球方法有 bn 种，则 an+bn=4n 第 n 一 1 次传球后，如果球在甲的手中，则第 n 次传球后，球一定不在甲的手中，此时球从甲手中传出去有 4 种可能第 n 一 1 次传球后，如果球不在甲的手中，则第 n 次传球后，球有可能传到甲的手中经过 n 次传球后，如果球传到甲的手中，则可知第 n 次传球的方向是确定的(一定是传向甲)所以第 n 次传球后球在甲手中的传球方法 an 等于第，n1 次传球后球不在甲手中的方法 bn-1又由 an+bn=4n 可推出 an-1+bn-1=4n1 ，所以 an-1+an=4n1 此式子变形后为：因为开始时球在甲手中，所以第一次传球后，球在甲手中的方法 a1=0由此可得： 公比为一 1 的等比数列由此可知 故 因为总的传球方法是 4n 种，所以第 n 次传球后，球在甲手中的概率递推关系式：【知识模块】 计数原理
