1、教师公开招聘考试中学数学（计数原理）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题1 由 0、1、2、3、4、5、6 这 7 个数随意抽出 3 个数组合，能被 3 整除的有( )个（A）68（B） 54（C） 56（D）302 用红、黄、绿、橙四种颜色给图中的三角形涂色，要求相邻的三角形的颜色不能相同，则有( ) 种涂法 （A）360（B） 432（C） 648（D）7563 将赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7 个大小相同、材质相同的球，标上 1-7 号，任取四个球分别放入图中的盒子里，则 A 盒标号是 C 盒标号的 2 倍的放法有( )种 （A）A 77C31A52（B） A77C31C52（C） C3
2、1A52（D）C 31A22A524 从 0、1、2、3、4、5、6 中抽取 4 个数组成一个四位数，则能被 5 整除的数的个数为( )（A）240（B） 200（C） 220（D）1505 现将 10 个苹果分给 7 名小朋友，每名小朋友至少得到 1 个苹果，则共有( )种分法（A）72（B） 84（C） 96（D）1206 若从 09 这十个数字中取出三个，使其和为不小于 10 的偶数，则不同的取法有( )种（A）11（B） 51（C） 75（D）1117 的展开式中的常数项为( ) 8 已知 mN+，(x+y) 2m 展开式的系数的最大值为 a，(x+y) 2m+1 展开式的系数的最大值
3、为 b，若 13a=7b，则 m=( )（A）6（B） 7（C） 8（D）99 有 6 张卡片分别标有数字 1-6，排成 3 行 2 列，3 行中仅有中间行的两张卡片数字之和为 8 的排法有多少种?( )（A）64（B） 80（C） 96（D）72010 大学毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为( ) 二、填空题11 3(1)班有 5 名同学被选中去观看市中小学文艺汇演，主办方预留一排 6 个座位(一排只有 6 个座位) 给这 5 名同学和 1 位带队教师，现需要带队教师安排座位，要求教师要坐在一边，以方便进出，5 名学生中甲和乙要坐在一起，丙和丁
4、不能坐在一起，则可能的座位排法有_种12 19 5_(保留两位有效数字)13 二项式(x 2) 7 展开式的系数和为_三、解答题14 某市市区绿化面积约 100 平方千米，规划 10 年后人均绿化面积至少比现在提高10，如果人口年增长率为 12，则市区绿化面积每年至少应增加多少平方千米?( 精确到 01 平方千米 )15 证明：27 n1 能被 13 整除15 某商场举行抽奖活动，从装有编号为 0，1，2，3 的四个小球的抽奖箱中，每次取出一个后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于 5，则中一等奖；若等于 4，则中二等奖；若等于 3，则中三等奖16 求中三等奖的概率；17 求中奖
5、的概率教师公开招聘考试中学数学（计数原理）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 能被 3 整除的三位数的组合有 12 组，分别是0、1、2，0、1、5，0、2、4，0、3、6，0、4、5，1、2、3，1、2、6，1、3、5，2、3、4，2、4、6，1、5、6，3、4、5，4、5、6前五组数中，每组数能排成C21A22=4 个三位数；后八组数中，每组数能排成 A33=6 个三位数所以一共有54+68=68 种排列方法【知识模块】 计数原理2 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示给三角形编号，1 号有 4 种涂法；2 号有 3 种涂法；3 号有3 种涂法；6 号有
6、3 种涂法因为 4 号的颜色会影响 5 号的涂法，所以将 4 号的颜色分为两类：一类与 3 号颜色相同，涂法有 1 种，此时 5 号的涂法有 3 种，则共有涂法 433133=324 种；一类与 3 号不同，涂法有 2 种，此时 5 号有 2 种涂法，则共有涂法 433223=432 种两种情况相加，则共有 324+432=756 种涂法【知识模块】 计数原理3 【正确答案】 A【试题解析】 因为球有 7 种颜色和 7 个序号，标号的种类有 A77 种；又因为 A 盒标号是 C 盒标号的 2 倍，有 1 和 2、2 和 4、3 和 6 三种，取一种放入 A 盒和 C 盒，取法有 C31 种；从
7、剩余的球中取两个分别放入 B、 D 中，取法有 A52 种所以一共有 A77C31A52 种放法，答案选 A.【知识模块】 计数原理4 【正确答案】 C【试题解析】 只有当个位是 0 或 5 时，该四位数才能被 5 整除当个位是 0 时，有 A63=120 种情况；当个位为 5 时，则要求千位不能为 0，此时有 C51A52=100 种情况，因此共有 120+100=220 种情况【知识模块】 计数原理5 【正确答案】 B【试题解析】 可将 10 个苹果排成一排，它们之间有 9 个空位，将 6 个隔板插入其中的 6 个空位中，能将 10 个苹果分成 7 份，且每份至少有 1 个苹果，所以共有C
8、96=84 种分法【知识模块】 计数原理6 【正确答案】 B【试题解析】 若要使三个数字之和为偶数，则要满足取出的三个数都是偶数或只有一个是偶数若三个数都是偶数，则取法有 C53 种，若只有一个是偶数，则取法有 C51C52 种，故取出三个数，和为偶数的取法共有(C 53+C51C52)种，这其中和小于10 的有：0、2、4，0、2、6，0、1、3，0、1、5，0、1、7，0、3、5，2、1、3，2、1、5，4、1、3，共 9 种，故符合条件的取法共有 C53+C51C52 一 9=51 种【知识模块】 计数原理7 【正确答案】 C【试题解析】 二项展开式的通项为题干求展开式的常数项，令 3一
9、 k=0，解得 k=3，故常数项为【知识模块】 计数原理8 【正确答案】 A【试题解析】 因为(x+y) 2m 展开式的系数的最大值为 a，则 a=C2mm，(x+y) 2m=1 展开式的系数的最大值为 b，则 b=C2m+1m=C2m+1m+1又因为 13a=7b，则13C2mm=7C2m+1m+1，即 解得 m=6故选 A.【知识模块】 计数原理9 【正确答案】 A【试题解析】 中间行卡片数字之和为 8 的情形有两种，一种是 3 和 5，一种是 2和 6，当为其中一种时，卡片的排法有 2A44=48 种，一共有 248=96 种；又因仅有中间行的数字之和为 8，即上下两行中，每行两数字之和
10、都不能为 8，故还需减去其他行存在两数字之和为 8 的情况，所以所求的排法有 962C21A22A22A22=64(种)【知识模块】 计数原理10 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可得，五人排成一排，且甲、乙相邻的排法，可采用捆绑法，共有 A22A44=48 种 若要甲和丙也相邻，也可用捆绑法，首先将甲、乙、丙三者进行排列，根据条件要甲站在中间，乙、丙分别站在甲的左右两边，则有 A22=2 种排法，然后将他们视为一个整体，与其他两人进行排列，则有 A33=6 种排法，故既甲、乙相邻又甲、丙相邻的排法共有 A22A33=12 种，所以所求概率【知识模块】 计数原理二、填空题11 【正确答案】
11、 48【试题解析】 首先用捆绑法，将甲和乙看成一个整体，与戊进行排列，有 A22 种排法，其中甲和乙的排序也有 A22 种，故甲、乙和戊三人的排法共有 A22A22 种；又由于丙和丁不能坐在一起，采用插空法，将丙和丁插入甲乙整体与戊排列后的三个空中(包括左右两侧) ，有 A32 种插法；插好后再将带队教师安排在最左侧或最右侧即可故座位的排法共有 A22A22A32C21=2262=48 种【知识模块】 计数原理12 【正确答案】 2476【试题解析】 19 5=(201) 5 =C5025(01) 0+C5124(01) 1+C5223(01)2+C5322(01) 3+ C5421(01)
12、4+C5520(01) 5 =328+08004+0001-000001 =2476099 2476【知识模块】 计数原理13 【正确答案】 1【试题解析】 (x2) 7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，令 x=1，有 a0+a1 +a2+a3+a4+a5+a6+a7=(1) 7=1，即系数和为1【知识模块】 计数原理三、解答题14 【正确答案】 设市区绿化面积应每年增加 x 平方千米，该市人口为 m 人依题意可知， 整理得，x111012 1010=11(1+001 2) 1010，又(1+001 2)10=1+C1010012+C 1020012
13、2+C10100012 101+100012=112，故x23(平方千米) 答：市区绿化面积每年至少要增加 23 平方千米【知识模块】 计数原理15 【正确答案】 原式=(26+1) n1 =C n026n+Cn126n-1+Cnn-126+Cnn2601 =Cn0(132)n+Cn1(132)n-1+Cnn-1(132)=13Q 其中 QN*， 所以 27n1 能被 13整除【知识模块】 计数原理【知识模块】 计数原理16 【正确答案】 设“ 中三等奖 ”的事件为 A，“中奖 ”的事件为 B，“中一等奖“的事件为 C，“中二等奖” 的事件为 D 因为“ 中三等奖”的情况有 4 种，故其概率【知识模块】 计数原理17 【正确答案】 “ 中一等奖 “的情况有 2 种，其概率 “中二等奖” 的情况有 3 种，其概率 则由互斥事件的加法公式得， “中奖” 的概率【知识模块】 计数原理
