1、教师公开招聘考试小学数学（向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 下列运算正确的为( ) （A）3a5(bc)3(a c) a5bc（B） (5a 10c) (5a5b)2cb（C）非零向量 a、b 不共线，且 k(ab) (kab)，则 k0（D）点 C 在线段 AB 上，若2 如图所示，正三角形 ABC 中，D 为边 AC 的中点，则 ( )（A）0（B） 2（C）（D）3 设向量 a (k1，k3)，a2 ，b 与 a 的夹角为 ，且b3，则 b 的坐标为( ) （A）(0 ，3)（B） (3，0)（C） (0，3)或(3 ，0)（D）(0 ，3)或(3，0)4 已知平面向量 a(
2、 ， 21)，b(3， 2 1)，则 ab( )（A）平行于 轴（B）平行于 y 轴（C）垂直于一、三象限的角平分线（D）垂直于二、四象限的角平分线5 已知向量 a、b 都是非零向量，则 “ab”是“函数 f()(a1)(b1)为一次函数”的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6 平行六面体 ABCDA 1B2C1D1 中，向量 两两的夹角均为 60，且1， 3，则 等于( )（A）4（B） 5（C） 6（D）87 已知向量 a(2，4， 1)，b(1，2，4)，c( ，2，5)，若 a，b，c 三个向量共面，则实数 的值为( )（A）0（B） 1（C
3、） 1（D）38 已知向量 a(1，3)，b(2，m)，a2b(5，0)，则 m( )（A）（B） 3（C）（D）39 在直角坐标系 Oy 上，已知点 P 是线段 AB：y2(11) 的中点，则( ) （A）(1 ，1)（B） (0，2)（C） (1，1)（D）(0 ，4)10 已知点 P(3，1)，其按向量 m(1，1)平移后得到点 P，则 P的坐标为( )（A）(2 ，2)（B） (1，1)（C） (4，0)（D）(2 ，0)11 已知向量 m、n 满足m2，n ，m、n 的夹角为 60，则mn( ) （A）（B）（C） 3（D）212 已知向量 a 是直线 3 4y20 的一个方向向量，
4、则向量 a 可能的取值为( )（A）(3 ，4)（B） (3，2)（C） (2，3)（D）(4 ，3)13 已知四边形 ABCD，若 (2，3)， (6，4)，则四边形 ABCD 的面积S( )（A）12（B） 13（C） 24（D）2614 已知同一平面上的四个点 A、B、C、D，在该平面上取一点 P，使得0，则满足条件的点 P 的个数为( ) （A）0（B） 1（C） 2（D）315 下列说法正确的是( )（A）单位向量都相等（B）若 ab，则 a 与 b 方向相同（C）两个向量平行，则一定有相同的起点（D）若 ab，则 a 与 b 的方向相同或相反16 已知 a(3，1)，b(1，2)，
5、则(a2b)(2a b) ( )（A）25（B） 5（C） 20（D）2517 在平面直角坐标系中，O 点坐标为(0，0)，A 点坐标为(3，4)，将向量 沿顺时针方向旋转 ，得到向量 ，则 的坐标为( )（A）(4，3)（B） (3，4)（C） (4，3)（D）(3 ，4)18 已知向量 a(1，2，3)，b(， 2y2，y)，a 与 b 同向，则 ，y 的值分别为( )（A）1，3（B） 2，6（C） 1，3 或2，6（D）1，3 或 2，619 在直角坐标系 Oy 上，已知 ABC， ，G 为 ABC 的重心，c，则 ( )（A） (abc)（B） (c ab)（C） 3ca b（D）4
6、c2a2b20 下列各组向量中，互相垂直的是( )（A）a(1，1，3)，b (2，0，1)（B） c( 2，1，4)， d(2 ，1，4)（C） e( 1，0，2)， f(0，1，4)（D）g(2，1，1) ， h(1，1，1)21 在空间直角坐标系 Oyz 中，已知两点 A(1， 1，2)、B(2，1，2) ，则的夹角 的正弦值为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题22 已知向量 a(3，1)，b(1，2)，则向量 a 在向量 b 上的投影为_23 已知直角梯形 ABCD 中，AD BC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC上的动点，则 的最小值为_24 在空间直角坐标系中有直三
7、棱柱 ABCABC ， ACBC CC，如图所示则直线 BC与直线 AB的夹角的余弦值为_ 25 已知 2ij， i5j，若 A、B、C 三点共线，则 _26 已知向量 a(1，3)，b(2，4)，且(2amb)(ab)，则 m_27 已知 a( sin，cos)，b(cos ， sin)，ab，则 m_28 已知非零向量 a、b，满足 (ab)(ab)，则a_b(填“”“” 或“”) 29 已知 e1，e 2 是夹角为 的两个单位向量，ae 1 2e2，bke 1e 2若 ab，则实数 k 的值为_30 在四面体 OABC 中， ，D 是 AB 的中点，E 是 CD 的中点，则 _ (用 a
8、，b，c 表示)三、解答题31 已知平面内的三个向量 a(3，2) ，b(1，4)，c(5，3)(1)若 kab 与 a2b 共线，求 k 的值；(2)若 ac 垂直于 3ab，求 的值；32 在平面直角坐标系 Oy 中，已知点 A(1，1) ，B(2，3)，C(2，1) (1)求以AC、BC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数 a 满足，求 a 的值33 如图，矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在线段 AB，AD 上，AEEBAF FD4沿直线 EF 将 AEF、翻折成 AEF，使平面 AEF平面BEF (1)求二面角 A一 FDC 的余弦值； (2)点 M、N 分别在线段
9、FD、BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使 C 与 A重合，求线段 FM的长34 在平面直角坐标系 Oy 中，已知点 A(2，0) ，点 B 在直线 6 上，点 M满足 ，求点 M 的轨迹方程 C35 已知向量 a(sin，cos)，b(cos ，cos)， R，设函数 f()a.b， (1)求函数f()的最小值和最小正周期； (2)已知ABC 的三个角 A、B 、C 的对边分别为a、b、C，且 ABC ，c2，f(C)0，若向量 m ( ，sinA)与 n(1，sinB)互相平行，求 A 的值36 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， ， (1)求向量；
10、(2)若 ab2c，求向量 的夹角37 已知平面内的三个向量 a(2，3) ，b(3，1)，c(10，1)(1)求满足 cmanb 的 m、n 的值；(2)求4abc的值38 已知正方体 ABCDA1B1C1D1，E 是棱 DD1 的中点在棱 C1D1 上是否存在一点F，使 B1F平面 A1BE?并证明你的结论39 如图所示，在长方体 ABClDA1B1C1D1 中，E、F 分别是棱 BC、CC 1 上的点，CF AB2CE，AB：AD ：AA 11：2：4 (1) 求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值； (2)证明： AF平面 A1ED教师公开招聘考试小学数学（向量）模拟试卷 1 答
11、案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 根据向量加法的运算律和向量数乘的运算律可得， 3a5(bc)3(a c)3a5b 5c 3a3c5b2e；同理， (5a10c) (5a5b)a2ca b2c b；由 k(ab) (kab)可得，k(a b)(kab)，整理得a(k2k)b(k)，又非零向量 a，b 不共线，所以 ，解得 k0 或k1故 C 项错误；因 C 在 AB 上， 由 故 D项正确【知识模块】 向量2 【正确答案】 A【试题解析】 根据平行四边形法则， 0，所以0【知识模块】 向量3 【正确答案】 C【试题解析】 由 a(k1，k3)和a2 可得，解得 k1，得向量
12、a(2，2) 设向量 b(，y)，由 b 与 a 的夹角为 且 b3 可得，cos y3，又因为 3 ， 联立解得 故向量 b 的 坐标为(03、)或(30)【知识模块】 向量4 【正确答案】 A【试题解析】 由已知条件可得 ab(23，0) ，由于向量纵坐标为 0，所以向量 ab 与 轴平行【知识模块】 向量5 【正确答案】 B【试题解析】 由 ab 可推出 a.b0，由函数 f()(a1)(b 1) 为一次函数可得 a.b0，且 ab所以由 “f()(a1)(b1)为一次函数 ”能推出“a b”，但由“ab”却不能推出 “f() (a1)(b1)为一次函数”从而“ab” 是函数“f()一(
13、a1)(b1)为一次函数”的必要条件【知识模块】 向量6 【正确答案】 B【试题解析】 因为六面体 ABCDA 1B1C1D1 是平行六面体，故答案选 B【知识模块】 向量7 【正确答案】 D【试题解析】 由 a，b ，c 三个向量共面可知，存在实数 m、n 使得 cmanb，由此可得 故答案选 D【知识模块】 向量8 【正确答案】 C【试题解析】 根据向量的加法和数乘运算法则及其坐标表示可得，32m0，解得 m 【知识模块】 向量9 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可知，点 A 的坐标为(1，3)，点 B 的坐标为(1，1)，则 AB的中点 P 的坐标为【知识模块】 向量10 【正确答案
14、】 A【试题解析】 设坐标系的原点为 0，则由已知可得， m(3，1)(1 ，1) (2，2)，故点 P的坐标为(2，2)【知识模块】 向量11 【正确答案】 A【试题解析】 如图，设 ，故本题转化为求OBC 中的边 OC 的长 在 AOBC 中，根据余弦定理，mn 【知识模块】 向量12 【正确答案】 D【试题解析】 由已知可知，直线 34y20 的斜率 k ，故该直线的一个方向向量为 (1， )，则其他方向向量均与(1， )平行，又(4，3)(14， 4)，故本题选 D【知识模块】 向量13 【正确答案】 B【试题解析】 由 (2，3)， (6，4) 可得， 0，则 ，即四边形 ABCD
15、的两条对角线互相垂直，故四边形 ABCD 的面积 S13【知识模块】 向量14 【正确答案】 B【试题解析】 设 A、B、C、D 的坐标分别为( 1， y1)、( 2，y 2)、( 3，y 3)、( 4，y 4)，P 的坐标是(，y) ，由 0 得， 整理得，又因为 A、B、C、D 为已知点，故 、y 的取值是唯一的，故点 P 的存在也是唯一的【知识模块】 向量15 【正确答案】 B【试题解析】 长度等于 1 个单位的向量叫作单位向量，单位向量的模都相等，其方向不一定相同，故 A 选项错误；长度相等且方向相同的两个向量叫作相等向量，故 B 选项正确；两个向量是否平行与起点没有关系，故 C 选项
16、错误；0 与任意向量平行，但其方向是任意的，故 D 选项错误【知识模块】 向量16 【正确答案】 D【试题解析】 a2b (3，1)2.(1，2)(5，5) ，2ab2.(3，1)(1，2)(5， 0)，则 (a2b).(2a b)(5，5).(5 ，0)25 025【知识模块】 向量17 【正确答案】 A【试题解析】 以 O 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则由已知可得，设(5 ，)(cos ，sin )，所以 ，将 的极坐标转化为直角坐标， (5sin，5cos)，又cos ，sin ，则 (4，3)，故答案选 A【知识模块】 向量18 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知 ab
17、，从而 ，解得 当 1，y3 时，向量 b(1，2，3)，当2，y6 时，向量 b(2，4，6)，a 与 b 两向量方向相反，不符合题意，舍去故 ，y 的值分别为 1，3【知识模块】 向量19 【正确答案】 C【试题解析】 G 为ABC 的重心，则 (O 为 ABC 所在平面上的任意一点)，所以 c ，即 3c ab 【知识模块】 向量20 【正确答案】 D【试题解析】 两向量垂直，则两向量的数量积为 0，经计算，g.h(2，1，1).(1， 1，1) 2110，故本题选 D【知识模块】 向量21 【正确答案】 B【试题解析】 由已知可得， ：(1，1，2)， (2，1，一 2)，【知识模块】
18、 向量二、填空题22 【正确答案】 【试题解析】 设向量口和向量 a 的夹角为 b，则cos 向量 a 在向量 b 上的投影为 a.cos 【知识模块】 向量23 【正确答案】 5【试题解析】 如图所示，以 D 为原点， 方向分别为 轴、y 轴正方向建立直角坐标系，则 A 点坐标为(2，0)设 P 点坐标为(0，y 1)，B 点坐标为(1，y 2)则 (2，y 1)， (1，y 2y1)，则 (5 ，3y 24y 1)，又因为 0y1y2，则当 3y24y 10，即 y1 y2时， 有最小值为 5【知识模块】 向量24 【正确答案】 【试题解析】 设 A 点的坐标为(，0，0)，由已知条件知
19、B(0，0，)，C(0， 2，0) ，B(0，2 ，)，所以【知识模块】 向量25 【正确答案】 15【试题解析】 A、B、C 三点共线，即向量 共线，则存在实数 ，使得2ij( i5j)，即 故 15【知识模块】 向量26 【正确答案】 2【试题解析】 由已知可得，2amb(22m，64m)，ab(1，1)，又因为(2a mb) (ab)，故 ，解得 m2【知识模块】 向量27 【正确答案】 k(kZ)【试题解析】 因为 ab，则 a.b sincos sincos sin()0，故 k(kZ)【知识模块】 向量28 【正确答案】 【试题解析】 如图所示，根据向量加法的平行四边形法则， a，
20、 b，则ab， ab ，又因为 (ab) (ab)，则平行四边形 AOBC 的两条对角线互相垂直，故平行四边形 AOBC 是菱形，所以 OAOB ，即ab【知识模块】 向量29 【正确答案】 【试题解析】 因为 ab，所以 a.b0，即(e 12e 2).(ke1e 2)0 (2k1)e1.e22e 220 因为 e1，e 2 是夹角为 的两个单位向量，所以 cose 1，e 2e1.e2 即 k1 (2k1)210，解得k 【知识模块】 向量30 【正确答案】 【试题解析】 如图所示 由题意可得【知识模块】 向量三、解答题31 【正确答案】 (1)kab(3k1，2k4)0，a2b(5，10
21、)，由 kab 与 a2b共线可得 10 (3k1)5(2k4)0，解得 k (2)a c(35，23)，3ab(8，2)，由 ac 垂直于 3ab 可得 8(35)2(23)0，解得 【知识模块】 向量32 【正确答案】 (1)设以 AC、BC 为邻边的平行四边形为 ACBD，则 AB、CD 为平行四边形 ACBD 的两条对角线，又 (21，11)(1，0)，(2 2，13) (4，4) ，故 (3，4)，所以 5同理 (5 ，4)，所以 故两条对角线的长分别为 5， (2)由可得 一 0，又因为 (4，4)， (1，1)，即 4a4 a0，解得 a4故 a 的值为 4【知识模块】 向量33
22、 【正确答案】 (1)如下图建立空间直角坐标系，因为 AEEB AF FD4，所以 AEAFEB，过 A点作 AH 垂直 EF 于 H，则 EHFH，又 AH 平面AEF，平面 AEF平面 BEF，平面 AEF平面 BEFEF ，所以 AH平面 BEF 又 AE EBAF FD 4，所以 F(4，0，0)，A(2 ，2，2 )，C(10，8，0) ，D(10， 0，0)，则 (6，0，0) 设平面 AFD 的法向量n( ，y，z) 所以 取 z ，则 n(0，2， ) 又平面 FDC 的一个法向量为 m(0，0，1)，所以 cos ，故二面角 AFDC 的余弦值为 (2)连接 AM，CM 设
23、FM(06)，则 M 点的坐标为(4 ，0，0) 由于翻折后点 C 与点 A重合， 所以 ， 又(6，8，0) ， 所以 经检验，当 FM 时，点 N在边 BC 上，所以 FM 【知识模块】 向量34 【正确答案】 设 M 的坐标为(，y)，则由 可知，B 的坐标为(6， y) 因为 0， 又(6 ，0)(2，y)(82，y)， (4，y)， 所以(8 2，y).( 4，y) 328y 20，即 y28 32， 所以点 M 的轨迹方程C：y 2 832【知识模块】 向量35 【正确答案】 (1)f()a.b sincoscos 2， 又因为 sin(2 )1，1 ， 故fmin() ， 而 f
24、()最小正周期 T (2)因为 f(C)0，即 ， 而 ABC ，故 C ，所以 2C ，即 C ， 又因为向量 m( ，sinA) 与向量 n(1，sinB)互相平行，则 ， 根据三角形正弦定理， ， 根据三角形余弦定理 c2a 2 b22abcosC，则 43b 2b 24b 2，即 b1，a ， 所以在 RtABC 中，sinA ， 则 A 【知识模块】 向量36 【正确答案】 (1)， (2)如图所示，连接 AC、BD 相交于 F，连接 FD1 由于 ED1 BF，则四边形 BED1F 为平行四边形， 故 ， 设 为向量 的夹角，又c b， 则 cos ， 因为 a、b、c 互相垂直，
25、则有又a b2c ， 所以 cos又 0， 故 arccos 【知识模块】 向量37 【正确答案】 (1)由题意可得(10，1) m(2，3)n(3，1)，即 (2)因为 a(2，3)，b(3，1)，C(10，1)，所以4abc( 5，10) ，故4abc【知识模块】 向量38 【正确答案】 在棱 C1D1 上存在一点 F，使 B1F平面 A1BE 如下图，以 A 点为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2a，则 A1(0，0，2a)，B1(2a，0，2a)，B(2a，0，0)，E(0，2a ，a)，则 (0，2a，a) ，(2a，0，2a) 设平面 A1BE 的法向量n(， y，z
26、) ，则 n. 2ayaz 0，n. 2a 2a0 当 z1 时，1，y ，法向量 n(1， ，1) 假设在棱 C1D1 上存在点 F(t，2a，2a)(0t2a)使 B1F平面 A1BE， 则 n即(t2a) 2a 00，解得 ta F 点的坐标为(a ，2a，2a)，为 C1D1 中点 故在棱 C1D1 上存在一点 F，使 B1F平面 A1BE【知识模块】 向量39 【正确答案】 (1)由已知条件建立空间直角坐标系，如下图所示，长方体的棱AB 为 轴，棱 AD 为 y 轴，棱 AA1 为 z 轴设 B 点坐标为(1，0，0)，因为AB：AD：AA 11：2：4，则 D(0，2，0)，A 1(0，0，4)，又 CFAB 2CE ，所以 E(1， ， 0)，F(1，2，1)所以 故异面直线EF 和 DA1 所成的角的余弦值为 cos(2)根据(1)得， (0， 2，4)， ，所以01(2)2410， 11 2(4)10，故， 即 DA1AF，A 1EAF，又因为 DA1 平面 A1ED，A 1E平面 A1ED，且 DA1A1EA 1，所以 AF平面 A1ED【知识模块】 向量
