1、教师公开招聘考试小学数学（数列）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题1 已知数列a n满足 a1=5，a n 一 an+1+2=0(nN+)，则 a10 等于( )（A）一 13（B） 25（C） 23（D）一 152 在 RtABC 中，三边长分别为 a，b，c已知 abc 且 a，b，c 成等比数列，则 a：c=( )（A）3：4（B） ( 一 1)：2（C） 1：( 一 1)（D） ：13 已知某等差数列共有 20 项，其奇数项之和为 25，偶数项之和为 45，则其公差为( )（A）2（B） 3（C） 4（D）54 若已知数列a n的前 n 项和为 Sn=3n 一 n。，则当 n2 时，
2、下列不等式成立的是( )（A）S nna 1na n（B） Snna nna 1（C） na1S nna n（D）na nS nna 15 若 Sn 是等差数列 an的前 n 项和，已知 =( )6 已知 2 既是 a2 与 b2 的等比中项，又是 的值为( )7 看等差数列a n前 4 项的和是 4，前 8 项的和是 24，则 a17+a18+a19+a20 的值是( )（A）67（B） 68（C） 69（D）708 已知等比数列a n的公比为 q，且 a1，a 3，a 2 成等差数列，则 q=( )（A）1 或一（B） 1（C）一（D）一 29 若a n是首项为 1，公比不为 1 的等比数
3、列，已知 9S3=S6，则数列 的前 5 项和为( )10 通过对市场实际情况的调查统计，预测某品牌电视机从年初开始 n 个月内累计的需求量 Sn(万件)近似满足 Sn= (21n 一 n25)(n=1，2，12) ，据此推测本年度内需求量超过 15 万件的月份是( )（A）5 月、6 月（B） 6 月、7 月（C） 7 月、8 月（D）8 月、9 月二、填空题11 已知 Sn 是等比数列 an的前 n 项和，若 S4=4S2，且数列是递增数列，则该数列的公比 q=_12 已知等差数列a n，a 2、a 6 是方程 x2 一 4x 一 12=0 的两个根，则a3+a7=_13 已知a n为等差
4、数列，其前 11 项的和 S11=22，则 a3+a5+a7+a9=_14 已知数列a n，a 2=2，数列b n为等差数列，b n=an+2 一 an 一 n，且 b2=一1，b 5=5，则 a10=_15 已知a n为等差数列，其前 n 项和为 Sn=一 n2+3n，b n为等比数列，其前 n 项和为 Tn=24 n1 一 1，而数列 cn的通项公式为 cn=bn+(一 1)nan+1，其前 n 项和为Un，则 U6=_16 若 Sn 是等比数列的前 n 项和，已知 S3=a2+10a1，且 a5=9，则 a1=_17 (2012四川理科) 记x为不超过 x 的最大整数例如，2=2 ，15
5、=1，一03=一 1设 a 为正整数，数列x n满足 x1=a， xn+1= (nN*)现有下列命题： (1)当 a=5 时，数列x n的前 3 项依次为 5，3，2； (2)对数列x n都存在正整数 k，当 nk 时，总有 xn=xk； (3) 当 n1 时，x n 一 1； (4)对某个正整数k，若 xk+1xk，则 xk= 其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)18 an为等比数列，已知 a1=512，q= ，T n 表示它的 n 项之积即Tn=a1a 2a 3an，则 Tn 取得最大值时 n=_19 在数列a n中，已知 a1=a，a n= (n2)(a0)，则 an=_20 等比递
6、增数列a n的公比为 q，前 n 项和为 Sn，已知 S2=3a2+2，S 4=3a4+2，则q=_三、解答题21 已知a n是等差数列， a1=20，d= 一 2，前 n 项和为 Sn (1)求a n的通项公式 an和前 n 项和 Sn； (2)设b n 一 an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列b n的通项公式和前 n 项和 Tn22 已知数列a n的各项为 1， ， (1)通过观察给出的数列各项，归纳a n的通项公式，并说明是什么数列； (2) 若 bn=a n，T n 为数列b n的前 n 项和，求 Tn23 给定常数 c0，定义函数 f(x)=2x+c+4x+c数列 a1，
7、a 2，a 3，满足an+1=f(an)，n N+ (1) 求证：对任意 nN+，都有 an+1 一 anc； (2)是否存在 a1，使得 a1，a 2，a n，成等差数列?若存在，求出所有这样的 a1；若不存在，说明理由24 为保护环境，某市计划在若干年间用电力型和混合动力型公交车更换掉燃油型公交车 8000 辆每增加一辆新车，则淘汰一辆旧车计划第一年投入电力型公交车 64 辆和混合动力型公交车 200 辆，以后每年投入的电力型公交车比上一年增加50，投人的混合动力型公交车则比上一年多 m 辆(1)求经过 n 年，该市被更换的公交车总数 T(n)；(2)若该市计划 8 年内完成全部更换，求
8、m 的最小值25 若数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 =n+2(nN*) (1)求数列a n的通项公式； (2)设 bn= 对所有 nN*都成立的最小正整数 m26 若数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=1，a n+1= Sn，(n1，nN +)， (1) 求数列an的通项公式； (2)求 a2+a4+a6+2n 的值27 在等差数列a n中，a 1+a3=8，且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项，求数列a n的首项、公差及前 n 项和28 设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=1， ，nN * (1)求 a2 的值； (2)求数列a n的通项公式； (3) 证明
9、：对一切正整数 n，有教师公开招聘考试小学数学（数列）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由题可知a n为等差数列，公差为 2，又 a1=5，得到 an=5+2(n 一 1)=2n+3，因此 a10=23【知识模块】 数列2 【正确答案】 B【试题解析】 由题可知 【知识模块】 数列3 【正确答案】 A【试题解析】 由题可知，奇数项和偶数项分别有 10 项，且相邻奇偶项相差一个公差，因此可知 S 偶 一 S 奇 =10d=4525=20，解得 d=2【知识模块】 数列4 【正确答案】 C【试题解析】 由题可知，S n=3n 一 n，则 Sn1=3(n 一 1)一
10、(n 一 1)。=5n 一 n。一4，因此以 an=Sn 一 Sn1=42n，na n=4n 一 2n，又 a1=2，则 na1=2n因为当 n2时，na n 一 Sn=n(1 一 n) 0，所以 nanS n，又 Sn 一 na1=n(1n)0，所以Sn na1，因此 na1S nna n【知识模块】 数列5 【正确答案】 B【试题解析】 设a n的首项为 a1，公差为 d，则Sn=na1+ ，得 3S3=S6，即 3(3a1+3d)=6a1+15d，解得a1=2d，因此 【知识模块】 数列6 【正确答案】 D【试题解析】 由题可知【知识模块】 数列7 【正确答案】 B【试题解析】 在等差数
11、列中，若前 n 项和为 Sn，则数列S n+pSn(p 为常数，S0=0)也是等差数列由题可知 S4 一 S0=4，S 8 一 S4=244=20，则数列S n+4 一 Sn)是首项为 S4S0=4，公差为 d= =4 的等差数列，因此a17+a18+a19+a20=S20 一 S16=(S4 一 S0)+(n 一 1)d=4+416=68【知识模块】 数列8 【正确答案】 A【试题解析】 由题a n为等比数列，因此 a2=a1q，a 3=a1q2，又 a1，a 3，a 2 成等差数列，则 2a3=a1+a2，即 2a1q2=a1+a1q，解得 q=一 或 q=1【知识模块】 数列9 【正确答
12、案】 A【试题解析】 【知识模块】 数列10 【正确答案】 C【试题解析】 由题可知每月需求量满足 an=Sn 一 Sn1= ，解得 6n9 ，又 nN+，因此当 n=7 或 8 时，即 7 月和 8 月两个月需求量超过15 万件【知识模块】 数列二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 数列是递增数列，所以 q1，故等比数列a n的前 n 项和 Sn=【知识模块】 数列12 【正确答案】 0 或 8【试题解析】 解方程 x2 一 4x 一 12=0 得，x 1=6，x 2=一 2，若 a2=一 2，a 6=6，则 a6 一 a2=4d=6 一(一 2)=8，即 d=2，所以 a3+a7=(
13、a2+d)+(a6+d)=一2+2+6+2=8； 若 a2=6， a6=一 2，则 a6a2=4d=一 26=一 8，即 d=一 2，所以a3+a7=(a2+d)+(a6+d)=6+(一 2)+(一 2)+(一 2)=0【知识模块】 数列13 【正确答案】 8【试题解析】 已知a n为等差数列，则 S11= 11=22，即 a1+a11=4，又因为a1+a11=a3+a9=a5+a7，所以 a3+a5+a7+a9=4+4=8【知识模块】 数列14 【正确答案】 42【试题解析】 由b n为等差数列，b 2=1，b 5=5 可得，d= =2，b 1=b2 一 d=一 12=一 3，则 bn=b1
14、+(n 一 1)d=一3+2(n1)=2n 一 5，所以 an+2 一 an=bn+n=3n 一 5，由叠加法得，(a 10 一 a8)+(a8 一a6)+(a6 一 a4)+(a4 一 a2)=19+13+7+1=40，即 a10 一 40+a2=40+2=42【知识模块】 数列15 【正确答案】 2041【试题解析】 由已知可得，c 1=b1a2，c 2=b2+a3，c 3=b3 一 a4，c 6=b6+a7，故U6=c1+c1+c6=b1+b2+b6a2+a3 一+a 7=T6 一(a 2+a4+a6)+(a3+a5+a7)=T6+3(a5 一a4)，又等差数列a n的前 n 项和 Sn
15、= =n2+3n，a 1=S1=2，故公差 d=2，等比数列b n的前 n 项和 Tn=24 n1 一 1，故 T6=245 一 1=2047，所以U6=T6+3(a5 一 a4)=T6+3d=2047+3(一 2)=2041【知识模块】 数列16 【正确答案】 【试题解析】 由题可得 S3=a1+a2+a3=10a1+a2，因此 a3=9a1，又 a3=a1q2 可得q=3，又已知 a5=a1q4=81a1=9，所以 a1= 【知识模块】 数列17 【正确答案】 (1)(3)(4)【试题解析】 对于(1)，当 a=5 时，x 1=5，x 2= =2，命题(1)为真；对于 (2)，若 a=3，
16、则 x1=3，x 2=2，x 3=1，x 4=2，x 5=1，x 6=2，x 7=1，此时数列从第二项起各项以 2，1 为周期重复出现，因此命题(2)不成立；对于(3)，由题干可知 xnN，当 n=1 时，x 1=【知识模块】 数列18 【正确答案】 9 或 10【试题解析】 由题 an=512( )n1，当 an1 时，T n 随 n 增大而减小，又当 n=10时，a 10=512( )9=1，则当 n9 时，a n1，当 n10 时，0a n1，所以当行为9 或 10 时，T n 取最大值【知识模块】 数列19 【正确答案】 【试题解析】 由题可知 ，则b2=2+b1，b 3=3+b2，b
17、 n=n+bn1，因此等式两边分别相加得 bn=b1+(2+3+n)=【知识模块】 数列20 【正确答案】 【试题解析】 由题可知 ，两式相减得到a1q2+a1q3=3a1q3 即 2q2 一 q3=0，解得 q= 或 q=一 1(舍)【知识模块】 数列三、解答题21 【正确答案】 (1)a n是等差数列，a 1=20，d= 一 2， 则 an=a1+(n1)d=20 一 2(n一 1)=222n， S n=na1+ =n2+21n (2)因为b nan是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 则 bn 一 an=(b1a1)qn1=12n1=一 2n1， 即 b1 一 a1=20， b 2a2
18、=21， b 3a3=22， b n 一 an=2n1 上述等式左右分别加和得，T n 一 Sn=1+2+22+2n1， 则 Tn=Sn+ =一 n2+21n+2n1【知识模块】 数列22 【正确答案】 (1)观察数列a n各项，可得【知识模块】 数列23 【正确答案】 (1)因为 c0，故 x一 c 时，f(x)=2(x+c+4)一(x+c)=x+c+8， 则an+1 一 an=f(an)一 an=an+c+8 一 an=c+8c ； 当c 一 4c一 c 时，f(x)=2(c+x+4)+(c+x)=3x+3c+8，则 an+1 一 an=f(an)一 an =3an+3c+8 一 an=2
19、an+3c+82(一 c 一 4)+3c+8=c； 当 x一 c 一 4 时，f(x)= 一 2(x+c+4)+(x+c)=一 xc 一 8， 则 an+1 一an=f(an)an=一 an 一 c 一 8an=一 2an 一 c 一 8一 2(一 c 一 4)一 c 一 8=c 所以，对于任意 nN+，都有 an+1 一 anc (2)假设存在 a1，使得 a1，a 2，a n，成等差数列 则由(1)及 c0 可得，a n+1a n，即a n为无穷递增数列 又因为a n为等差数列，所以存在正数 N，当 nN 时，a n一 c，此时 an+1=f(an)=an+c+8， 则公差d=c+8 当
20、an一 c 一 4 时，a 2=f(a1)=一 a1c 一 8， 又因为 a2=a1+d=a1+c+8，两式联立，得 a1=c 一 8，a 2=0， 则当 n2 时，因为a n为无穷递增数列，故ana2=0c， 即当 n2 时，a n+1an=f(an)一 an=c+8 成立，又 a2a1=c+8， 故a n为无穷等差数列，首项 an=一 c 一 8，公差 d=c+8； 当一 c 一 4a1一 c 时，a2=f(a1)一 3a1+3c+8， 又因为 a2=a1+d=a1+c+8，两式联立，得 a1=一 c，a 2=8，应舍去； 当 a1一 c 时，因为 ana1，则在 nN+时，均有 an+1
21、an=f(an)一 an=c+8，故an为无穷等差数列 综上所述，存在 a1，使得 a1，a 2，a n，成等差数列，a1 的取值范围为 一 c 一 8)c，+) 【知识模块】 数列24 【正确答案】 (1)设 an、b n 分别是第 n 年某市投入的电力型公交车和混合动力型公交车的数量，则由题意可知，a n是首项 a1=64，公比 q=1+50=；b n是首项 a1=200，公差 d=m 的等差数列，其前 n 项和 Tn=200n+ 所以经过 n 年，该市被更换的公交车总数 S(n)=Sn+Tn=(2)若计划 8 年内全部更换完，则 T(8)8000， 又因为 mN+故mmin=116【知识
22、模块】 数列25 【正确答案】 (1)因为 Sn=n(n+2)，S n1=(n 一 1)(n+1)，则 an=SnSn1=2n+1(n2)， 当 n=1 时，a 1=S1=3，所以数列a n的通项公式 an=2n+1则满足条件的最小正整数为 12【知识模块】 数列26 【正确答案】 (1)(2)由上述结论可知 a2+a4+a6+a2n 是首项为 的等比数列，项数为n，因此 Sn=a2+a4+a2n= 【知识模块】 数列27 【正确答案】 由题意可知 ，已知数列a n为等差数列，设公差为d，则 ，因此数列a n的首项为 4，公差为 0，前 n 项和 Sn=4n+ 0=4n；或首项为 1，公差为 3，前n 项和 Sn=n+ 【知识模块】 数列28 【正确答案】 【知识模块】 数列
