1、教师公开招聘考试小学数学（简易逻辑和数学归纳法）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 命题“对于任意 R， 2460” 的否定是( )（A）不存在 R， 2460（B）不存在 R， 2460（C）存在 R， 2460（D）存在 R， 24602 命题“若 ，则 cos ”的逆否命题是( )（A）若 ，则 cos（B）若 cos ，则 a（C）若 ，则 cos（D）若 cos ，则 3 给出命题“ 若函数 yf()是对数函数，则函数 yf()不过第三象限”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )（A）4（B） 3（C） 2（D）14 设 R，则“2”是“3 2520”的(
2、 ) （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5 已知命题夕：函数 ylog 2(22 1)的定义域为全体实数；命题 q：函数y2 3 为单调递增函数则下列判断正确的是( )（A）p 为真（B）非 q 为假（C） pq 为真（D）pq 为假6 “函数 f()log 2a-1 在定义域内为增函数”是“函数 f()(a 23) 在 R 上为增函数”的( )（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7 如图所示的计算程序中，y 与 之间的函数关系所对应的图象应为( )8 在平面几何中，有“ 垂直于同一条直线
3、的两条直线互相平行” ，其表示为数学符号是：ac，bc，则 ab该推理为( )（A）类比推理（B）合情推理（C）归纳推理（D）演绎推理9 命题“两全等三角形的三边对应相等” 的逆否命题是 ( )（A）三边对应相等的两三角形全等（B）两全等三角形的三边不都对应相等（C）三边不全对应相等的两三角形不全等（D）三边部分对应相等的两三角形不全等10 下列命题中是假命题的是( ) 正方体任意两个面上的两条直线如果不相交就异面 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 在直角坐标系中，直线y2 与圆 2y 22 相切 过两条异面直线外一点有且仅有一条直线与这两条异面直线都垂直（A）（B） （C） （D）
4、11 命题 p：“ 有些四边形是正方形 ”，则 是( )（A）有些四边形不是正方形（B）所有四边形不是正方形（C）所有四边形是正方形（D）有些正方形是四边形12 l、m 分别为平面 、 中的直线，则“l 与 m 垂直 ”是“ 与 垂直” 的( ) （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件13 已知 ya 22a1(a R)，则该抛物线与坐标轴有 2 个交点的充要条件是( )（A）a1（B） a1（C） a0（D）aR14 输入 n6 时，如图所示的程序的执行结果是( )（A）（B）（C）（D）15 观察下图，可推断图中 s( )（A）26（B） 195（C） 204
5、（D）115516 命题“若两直线不相交，则它们平行” 是一个命题的逆命题，则这个命题是 ( )（A）若两直线平行，则它们不相交（B）若两直线不平行，则它们相交（C）若两直线不平行，则它们也不相交（D）两直线不平行必相交17 已知一个命题为真命题，则它的逆命题和否命题的真假为( )（A）都为真（B）都为假（C）一定是一真一假（D）都不一定18 下列命题为真命题的是( )（A）若直线 l 和直线 m 在同一平面内，则两直线一定相交（B）若平面 内的两条直线平行于平面 内的两条直线，则两平面平行（C）若直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则直线 l 与平面 垂直（D）若平面 内的一条直线与平面 垂
6、直，则平面 与平面 垂直19 “ab”是“直线 y 2 与圆( a) 2(yb) 22 相切” 的( )（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件20 “y ”是“y” 的( )（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件21 已知向量 a( 3，1)，b(， 21) ，则 ab 的充要条件是 ( )（A）4（B） 2（C） 0（D）22 下列属于归纳推理的是( )（A）四边形的内角和为 360，则菱形的内角和为 360（B）正方形的面积等于边长的平方，则正方形的体积等于边长的立方（C）三角形的内角和为
7、180，四边形的内角和为 360，五边形的内角和为 540，则凸多边形的内角和为(n2).180（D）菱形的对角线互相垂直，则正方形的对角线也互相垂直二、填空题23 已知命题 P：函数 y 在定义域上为单调递减函数；命题Q： 2aa0 的解集为 R若 PQ 为真，PQ 为假，则 a 的取值范围是_24 命题“若一个数的立方是正数，则这个数是正数” 的逆命题是_25 用数学归纳法证明不等式 1 (n2，nN *)的过程中，由 nk 到 nk1 的过程中，左边增加了_项26 若用分析法证明 (a2)，则索因为_27 “数量积等于零的两个向量平行” ，这个命题是 _(填“真”或“ 假”)命题28 下
8、列条件中，是“ 四边形是平行四边形 ”的充分条件的是 _两组对边分别平行一组对边平行，另一组对边相等对角线互相垂直平分对角线相等29 设 m、n 为正实数有下列命题：若 1，则 mn1； 若m2n 21，则 mn1；若m 3n 31，则m n1； 若1，则mn1其中真命题为 _ ( 填编号)30 已知直线 m、n 分别在面 、 上，则“mn”是“a ”的_条件31 下图是计算 1 的值的一个框图，其中判断框中应填入的是_32 已知 12333 243 3n3 n-13 n(ny)z 对一切 nN*都成立，则_y_ ，z_三、解答题33 写出下列命题的否定和否命题(1)所有能被 6 整除的数都能
9、被 3 整除(2)若 a2，b2，则 ab4(3)存在实数 ，使 334 证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式成立35 已知命题 P：函数 f()(a 23a3) 是增函数若 为真命题，求实数 a 的取值范围36 用数学归纳法证明 n3(n1) 3(n2) 3 能被 3 整除四、证明题37 证明：当 nN 时，6 n+27 2n+2 能被 43 整除38 已知 aN+，用数学归纳法证明：当 1 时，(1) a1a教师公开招聘考试小学数学（简易逻辑和数学归纳法）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 命题的否定只否定命题的结论，将全称量词改为特称量词，或将特称量
10、词改为全称量词，再否定结论；而否命题是指将假设和结论都进行否定则题干中的命题的否定为“存在 R， 2460”故答案选 D【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法2 【正确答案】 D【试题解析】 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题叫作互为逆否命题其中一个叫原命题，另一个叫原命题的逆否命题由逆否命题的定义可判断，本题答案选 D【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法3 【正确答案】 C【试题解析】 互为逆否命题的两个命题是等价的，故原命题与逆否命题、逆命题与否命题的真假性相同因原命题为真命题，故逆否命题“若函数 yf()过第三象限，则函数 yf()不是对数函数”也为
11、真命题；逆命题为“若函数 yf()不过第三象限，则函数 yf()是对数函数”为假命题，例如指数函数也不过第三象限，又因为逆命题与否命题同真假，故否命题也为假命题故有两个真命题，答案选 C【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法4 【正确答案】 A【试题解析】 不等式 32520 的解集为 2 或 ，故由“2”能够推出“3 2520”，而由“3 2520”不能够推出 的值一定大于 2，故“2”是“3520”的充分而不必要条件【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法5 【正确答案】 B【试题解析】 “p q”读作“p 且 q”，即命题 p 与 q 同时为真时，“p q”才为真，而其中一个为假，“p q”即为假
12、；“p q”读作“p 或 q”，即只要命题 p 或 q 中有一个为真，“pq” 即为真，而 p 与 q 同为假，“pq”才为假题干中，函数ylog 2(221)的定义域为1，故命题 p 为假命题，A 、C 选项错误；函数 y2 和函数 y3 都是单调递增函数，所以函数 y2 3 也为单调递增函数，故命题 q 为真命题，所以非 q 为假，B 选项正确，D 选项错误故答案选 B【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法6 【正确答案】 D【试题解析】 由“函数 f()log 2a-1 在定义域内为增函数 ”可解得 a1，由“函数f() (a 23) 在 R 上为增函数”可解得 a2 或 a2所以“函数 f
13、()log 2a-1在定义域内为增函数”是“函数 f()一(a 23) 在 R 上为增函数”的既不充分也不必要条件【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法7 【正确答案】 D【试题解析】 由程序图可知 y24，当 0 时，y4；当 y0 时，2，故图像应过点(0，4) 与(2，0) ，故选 D【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法8 【正确答案】 D【试题解析】 题干中的推理是典型的三段论，“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”为大前提， “ac，bc”为小前提，“ab”为结论，故为演绎推理【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法9 【正确答案】 C【试题解析】 一个命题的逆否命题，即该命题的否命题的逆命题，
14、而 A 项为原命题的逆命题；B 项为原命题的否命题；C 项为原命题的逆否命题； D 项虽然属于真命题，但“三边部分对应相等”不是原命题的结论“三边对应相等”的否定形式，故D 项不是原命题的逆否命题，这与 D 项命题是否为真无关故本题选 C【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法10 【正确答案】 A【试题解析】 正方体任意两个面上的两条直线，除了相交、异面之外，也可能平行，如正方体一个面上的两条相对的棱，这两条棱也分别在正方体的另外两个面上，但它们平行，故是假命题； 平行四边形是中心对称图形，其两条对角线的交点即对称中心，但它不是轴对称图形，没有对称轴，故是假命题； 根据命题所述，可求得圆心(0，0
15、)到直线的距离 d 与圆的半径相等，即圆与直线相切，故是真命题； 可作两条异面直线的公垂线，然后过两条异面直线外一点可作一条该公垂线的平行线，且只能作一条，该平行线即所求的垂线，故是真命题所以本题选 A【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法11 【正确答案】 B【试题解析】 本题为特称命题的否定，将特称量词“有些”改为全称量词“所有”，再对其结论进行否定即可，故本题答案选 B【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法12 【正确答案】 D【试题解析】 当“l 与 m 垂直”时，两平面既可以平行也可以相交 (包括斜交和垂直)，故“l 与 m 垂直”不是“ 与 垂直”的充分条件；而当“a 与 垂直”时，两直线
16、可以相交(包括斜交和垂直) 、平行或异面，故“l 与 m 垂直”也不是“ 与 垂直”的必要条件，所以本题选 D【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法13 【正确答案】 A【试题解析】 无论 a 为何值时，ya 22a1 都与 y 轴有一个交点(0，1)，故ya 22a1 与 轴要有一个交点，故4a 24a0，即 a0 或 a1，经检验，a0 时，ya 22a1(aR) 为 y1，与坐标轴只有一个交点(0，1)，不合题意，则 a1 将 a1 代入 ya 22a1 中，则 y 221(1) 2，其与坐标轴有 2 个交点(0，1) 、(1，0) 故本题选 A【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法14 【正确
17、答案】 B【试题解析】 由框图程序可得，输出 S0 【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法15 【正确答案】 C【试题解析】 由前两个正方形可推得中间圆中的数字等于四周 4 个数字的平方和，故 s3 25 27 211 2204【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法16 【正确答案】 A【试题解析】 一般地，两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样两个命题叫作互逆命题，其中一个命题称原命题，另一个就称原命题的逆命题即本题转化为求命题“若两直线不相交，则它们平行”的逆命题求逆命题只需将原命题的条件和结论颠倒位置即可，故本题应选 A另外，考生要注意求逆命题以及否命题、逆否命题
18、时，不受命题真假的影响【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法17 【正确答案】 D【试题解析】 原命题为真命题时，它的逆命题不一定为真，它的否命题也不一定为真，而它的逆否命题一定为真，故本题选 D【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法18 【正确答案】 D【试题解析】 A 选项中，两直线可能相交也可能平行，故 A 选项错误；B 选项中，平面 与平面 也可能是相交或重合，或与平面 斜交，故 B 选项错误；C 选项中，直线 l 在平面 内或与平面 斜交，故 C 选项错误 D 选项正确【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法19 【正确答案】 A【试题解析】 圆心(a，b)，半径 r ，若 ab，圆心 (a，b)
19、到直线 y2 的距离 d r，所以直线与圆相切若直线与圆相切有，解得 ab 或 ab 4故是充分但不必要条件，选 A【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法20 【正确答案】 D【试题解析】 由y不能推出 y，例如51，但是51由 y 也不能推出y，例如 25，但是25故y是 y 的既不充分也不必要条件答案选D【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法21 【正确答案】 D【试题解析】 因为 a，所以 a.b0，故(3，1).(， 21)(3)( 21)0，解得 故答案选 D【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法22 【正确答案】 C【试题解析】 A、D 项为演绎推理，B 项为类比推理，只有 C 项为归纳推理【
20、知识模块】 简易逻辑和数学归纳法二、填空题23 【正确答案】 (1，0)(1，4)【试题解析】 由题干所给条件可知命题 P 和命题 Q 有且仅有一个正确当命题P 为真命题，命题 Q 为假命题时，解得1a0；当命题 P 为假命题，命题 Q为真命题时，解得 1a4故 a 的取值范围为(1，0) (1，4)【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法24 【正确答案】 若一个数是正数，则这个数的立方也是正数【试题解析】 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题其中一个叫原命题，另一个叫原命题的逆命题故命题“若一个数的立方是正数，则这个数是正数”的逆命题是“若一个数是正数
21、，则这个数的立方也是正数”【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法25 【正确答案】 2 k【试题解析】 当 nk 时，不等式左边共有 2k1 项，当 nk 1 时，共有2k+11 项故由 nk 到 nk1 的过程中，左边共增加了 (2k+11)(2 k1)2 k项【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法26 【正确答案】 (a1)(a2)a(a1)(或 a2a 2a 2a)【试题解析】 若证明 ， 只需证明， 即证明 2a12， 即证明 ， 即证明(a 1)(a2)a(a 1)， 即证明 a2a2a 2a 因为上式成立，故原不等式成立 故由上述分析法的证明过程可知，其索因为(a1)(a2)a(a1)或a
22、2a2a 2a【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法27 【正确答案】 假【试题解析】 数量积等于零的两个向量是互相垂直的【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法28 【正确答案】 【试题解析】 两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角分别相等，以上的条件满足其中一个即可判定四边形为平行四边形，故是充分条件，同时也是必要条件；而 是判定菱形的条件，而菱形属于平行四边形，故也是“四边形是平行四边形 ”的充分条件，但不是必要条件；对于来说，它推不出“四边形是平行四边形 ”，例如等腰梯形，但“四边形是平行四边形”可以推出，故 是必要条件；而既推不出“四边形是平行四边形”
23、，“四边形是平行四边形”也推不出，故 是既不充分也不必要条件所以本题应填【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法29 【正确答案】 【试题解析】 中取 m 4，n ，验证原命题错误；中 m2n 21 (mn)(mn) 1 mn ，又 m0，n0，m 2n 21，故 m1，mn1，所以 1原命题正确；中设 mn，则 nm 0，(mn)3m 3 3m2n3mn 2n 313mn(n m) 1，所以 mn 1原命题正确；中取 m1，n4，则mn31，原命题错误故真命题为【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法30 【正确答案】 既不充分也不必要【试题解析】 当 mn 时，面 、 可能平行也可能相交；当 时，直线
24、 m、n可能平行也可能异面，故“mn”是“”的既不充分也不必要条件【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法31 【正确答案】 i3(或 i4)【试题解析】 由框图可知，每执行 1 个循环，S 均加上 ，已知要加到 ，故要取到 i4，而在每个循环一开始 i 均要递增 1，即条件式应最大取到 3，故应为i3 或 i【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法32 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知等式对一切 nN*都成立，故当 n1，2，3 时等式都成立代入可得【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法三、解答题33 【正确答案】 (1)命题的否定：存在能被 6 整除的数，不能被 3 整除否命题：不能被 6 整除的数
25、都不能被 3 整除(2)命题的否定：若 a2，b2，则 ab4否命题：若 a2，b2，则 ab4(3)命题的否定：对任意实数 ，都有 3否命题：不存在实数 ，使 3【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法34 【正确答案】 (1)当 n2 时，不等式左边1 右边，不等式成立 (2)假设当 nk(n2)时，原不等式成立，即 当 nk1 时，故当 nk1 时，不等式也成立 综合(1)(2)可知，对一切大于 1 的自然 n 不等式都成立【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法35 【正确答案】 由函数 f()(a 23a3) 是增函数可得 a23a 31，解得 a4或 a1所以当 为真命题时， 1a4故实数 a
26、 的取值范围为1，4【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法36 【正确答案】 (1)当 n1 时，n 2(n1) 3(n 2)3182736 能被 3 整除 (2)假设 nk(k1，k N*)时命题成立，即 k3(k1) 3(k2) 3 能被 3 整除 当 nk1 时， (k1) 3(k 2) 3(k3) 3(k1) 3 (k2) 3k 39k 227k27 k 3(k 1) 3(k2) 3 9(k23k3) 因为 k3(k1) 3(k2) 3 和 9(k22k3)分别能被 3 整除，故 k3(k1) 3(k2) 39(k 23k 3)，即(k 1) 3(k2)3(k 3)3 也能被 3 整除 由
27、(1)(2)可知命题成立【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法四、证明题37 【正确答案】 当 n0 时，6 2743 能被 43 整除； 假设 nk，即 6k+27 2k+1能被 43 整除， 则 nk+1 时， 6 k+37 2k-36.67 2.72k+1 6(6 k+27 2k+1)(496)72k+1 6(6 k+27 2k+1)43.7 2k+1 因为 6k+27 2k+1 与 43.72k+1 均能被 43 整除， 故6(6k+27 2k+1)43.7 2k+1 也能被 43 整除，即 6k+3 72k+3 能被 43 整除， 所以nk1 时，命题成立， 所以当 nN 时命题成立【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法38 【正确答案】 当 a1 时，11 ； 设当 ak 时，(1 ) k1k， 则ak1 时，又因为 10， (1) k+1(1)(1) k(1)(1k)1(k1)k 21(k1)， 即当 ak1 时，(1) k1 1(k1) 成立， 所以当1 时，aN +，(1) a1a【知识模块】 简易逻辑和数学归纳法
