1、13.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【选题明细表】 知识点、方法 题号两直线的交点 1,5,6,9两点间的距离 2,3对称问题 7,11,13综合应用问题 4,8,10,12基础巩固1.两直线 2x+3y-k=0 和 x-ky+12=0 的交点在 y 轴上,那么 k 的值为( C )(A)-24 (B)6(C)6 (D)24解析:在 2x+3y-k=0 中,令 x=0,得 y= ,在 x-ky+12=0 中,令 x=0,得 y= ,所以 = ,解得3k=6.选 C.2.已知点 A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则 a 的值为( C )(A)1 (B)-5(C)
2、1 或-5 (D)-1 或 5解析:因为|AB|= =5,(+2)2+(3+1)2所以 a=-5 或 a=1,故选 C.3.(2018临沂高一测试)已知ABC 的三个顶点是 A(-a,0),B(a,0)和 C( , a),则ABC2的形状是( C )(A)等腰三角形 (B)等边三角形(C)直角三角形 (D)斜三角形解析:因为 kAC= = ,kBC= =- ,kACkBC=-1,所以 ACBC,又|AC|= 322+322 3= |a|.|BC|= =|a|.(2+) 2+( 32) 2 (2) 2+( 320) 2所以ABC 为直角三角形.4.过两直线 l1:3x+y-1=0 与 l2:x+
3、2y-7=0 的交点,并且与直线 l1垂直的直线方程是( B )(A)x-3y+7=0 (B)x-3y+13=0(C)2x-y+7=0 (D)3x-y-5=02解析:直线 l1:3x+y-1=0 与 l2:x+2y-7=0 的交点为(-1,4),与 l1垂直,得斜率为 ,由点斜式得13y-4= (x+1),即 x-3y+13=0,故选 B.135.(2018广东广州荔湾区期末)若直线 y=-2x+3k+14 与直线 x-4y=-3k-2 的交点位于第四象限,则实数 k 的取值范围是( A )(A)-6-2解析:解方程组 得 x=k+6,y=k+2.因为直线 y=-2x+3k+14 与直线 x-
4、4y=-3k-2 的交点位于第四象限,所以 x=k+60,y=k+20,所以-6k-2.故选 A.6.(2018四川雅安期末)不论 k 为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y- (k-11)=0 恒通过一个定点,这个定点的坐标是 . 解析:直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即 k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据 k 的任意性可得 解得21=0,3+11=0, =2,=3,所以不论 k 取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0 都经过一个定点(2,3).答案:(2,3)7.(2018河南鹤壁高一期末)点 P(5,-2)关于直线 x-y+
5、5=0 对称的点 Q 的坐标 .解析:设点 P(5,-2)关于直线 x-y+5=0 对称的点 Q 的坐标为(a,b),则解得 =7,=10,故点 Q 的坐标为(-7,10).答案:(-7,10)8.已知ABC 的顶点坐标 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0, AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求顶点 C 的坐标,及直线 BC 的方程.解:因为 ACBH,所以由 kBH= 得 kAC=-2,12因此 AC 方程为 y-1=-2(x-5),化简得 2x+y-11=0,与 2x-y-5=0 联立,可解得 C 坐标为(4,3),因为 B 在高
6、BH 上,所以设 B 坐标为(2y+5,y),则 AB 中点 M 的坐标为(y+5, ),而 M 在直线 2x-y-5=0 上,所以 2(y+5)- -5=0,解+12 +12得 y=-3,因此 B(-1,-3),所以,由两点式可得 BC 方程为 = 化简得 6x-5y-9=0.+33+3+14+13能力提升9.ABC 的三个顶点分别为 A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线 x=a,将ABC 分割成面积相等的两部分,那么实数 a 的值等于( A )(A) (B)1+(C)1+ (D)2-解析:因为 SABC = ,AC: + =1,即 3x+2y-6=0.92 23由 得 由题意
7、得 a(3- )= ,得 a= 或 a=- (舍).3+26=0,=, =,=632 , 12 94 3 310.直线 y=- x+1 和 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,以线段 AB 为一边在第一象限内作等边ABC,则点 C 的坐标为 . 解析:由题意得 A( ,0),B(0,1),则|AB|=2,3易知 ACx 轴,所以点 C 的坐标为( ,2).3答案:( ,2)311.(2018重庆万州区期末)若ABC 的一个顶点是 A(3,-1),B,C 的角平分线方程分别为 x=0,y=x,则 BC 边所在的直线方程为 . 解析:因为B,C 的平分线分别是 x=0,y=x,所以 AB 与 BC
8、关于 x=0 对称,AC 与 BC 关于 y=x 对称.则 A(3,-1)关于 x=0 的对称点 A(-3,-1)在直线 BC 上,A 关于 y=x 的对称点 A(-1,3)也在直线 BC 上,由两点式得, = ,所求直线 BC 的方程为 2x-y+5=0.答案:2x-y+5=012.矩形 ABCD 的两条边 AB 和 AD 所在直线的方程分别是 x-2y+4=0 和 2x+y-7=0,它的对角线的交点 M 的坐标是(-1,1),求边 BC 和边 CD 所在直线的方程.解:联立方程组 得2+4=0,2+7=0, =2,=3.所以点 A 的坐标为 A(2,3).因为点 M(-1,1)是 AC 的
9、中点,设点 C 的坐标为 C(x0,y0),则有 =-1 且 =1 解得2+02 3+02x0=-4,y0=-1,所以点 C 的坐标为(-4,-1),因为 CDAB,BCAD,所以 kBC=kAD=-2,kCD=kAB= ,124所以直线 BC 的方程是 y-(-1)=-2x-(-4),即 2x+y+9=0,直线 CD 的方程是 y-(-1)= x-(-4),12即 x-2y+2=0.探究创新13.已知两点 A(2,3),B(4,1),直线 l:x+2y-2=0,在直线 l 上求一点 P.(1)使|PA|+|PB|最小;(2)使|PA|-|PB|最大.解:(1)可判断 A,B 在直线 l 的同侧,设 A 点关于 l 的对称点 A1的坐标为(x 1,y1),则有1+22 +21+32 2=0,1312(12)=1, 解得1=25,1=95.由直线的两点式方程得直线 A1B 的方程为 = ,即 y= (x-4)+1,19514254由 得直线 A1B 与 l 的交点为 P( ,- ),由平面几何知识可知,此时+22=0,=711(4)+1 5625|PA|+|PB|最小.(2)由直线的两点式方程求得直线 AB 的方程为 = ,即 x+y-5=0.由 得313242 +22=0,+5=0直线 AB 与 l 的交点为 P(8,-3),此时|PA|-|PB|最大.
