1、12.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质【选题明细表】 知识点、方法 题号线面垂直性质的理解 1,2,4,10面面垂直性质的理解 3,4线面垂直性质的应用 5,6,7,8面面垂直性质的应用 9,11,12基础巩固1.已知直线 l平面 ,直线 m平面 ,有下列四个命题:若 ,则 lm;若,则 lm;若 lm,则 ;若 lm,则 ,其中,正确命题的序号是( C )(A) (B)(C) (D)解析:当 l, 时,l,又 m,所以 lm,故正确;当 ,l 时,l或 l,又 m,则 l 与 m 可能相交、平行、异面,故不正确;因为 lm,l,所以m,又 m,所以 ,故正确;显然
2、不正确.2.已知 a,b 为两条不同的直线, 为两个不同的平面,下列四个命题:ab,ab;ab,ab;a,a;a,a.其中不正确的有( D )(A)1 个 (B)2 个(C)3 个 (D)4 个解析:中 b 有可能成立,所以不正确;中 b 有可能成立,故不正确;中a 有可能成立,故不正确;中 a 有可能成立,故不正确.综上均不正确,故选 D.3.已知直线 m,n 和平面 ,若 ,=m,要使 n,则应增加的条件是( C )(A)n,且 mn (B)n(C)n 且 nm (D)n解析:由面面垂直的性质定理可知选 C.4.已知 m,n 是两条不同直线, 是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )(
3、A)若 , 垂直于同一平面,则 与 平行(B)若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行(C)若 , 不平行,则在 内不存在与 平行的直线(D)若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析:若 , 垂直于同一个平面 ,则 , 可以都过 的同一条垂线,即 , 可以相交,故 A 错;若 m,n 平行于同一个平面,则 m 与 n 可能平行,也可能相交,还可能异面,故 B 错;2若 , 不平行,则 , 相交,设 =l,在 内存在直线 a,使 al,则 a,故 C 错;从原命题的逆否命题进行判断,若 m 与 n 垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知 mn,故 D 正确.5.(2
4、018陕西西安一中月考)在空间四边形 ABCD 中,平面 ABD平面 BCD,且 DA平面 ABC,则ABC 是( A )(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形解析:过点 A 作 AHBD 于点 H,由平面 ABD平面 BCD,得 AH平面 BCD,则 AHBC.又 DA平面 ABC,所以 BCAD,所以 BC平面 ABD,所以 BCAB,即ABC 为直角三角形.故选 A.6.设 , 是两个不同的平面,l 是一条直线,给出四个命题:若 l,则 l;若 l,则 l;若 l,则 l;若 l,则 l.则正确命题的个数为 . 解析:错,可能有 l;错,可能有 l;正确
5、;错,也可能有 l,或 l 或 l与 相交.答案:17.如图所示,三棱锥 P-ABC 的底面在平面 上,且 ACPC,平面 PAC平面 PBC,P,A,B 是定点,则动点 C 运动形成的图形是 . 解析:因为平面 PAC平面 PBC,ACPC,AC平面 PAC,平面 PAC平面 PBC=PC.所以 AC平面 PBC.又 BC平面 PBC,所以 ACBC,所以ACB=90.所以动点 C 运动形成的图形是以 AB 为直径的圆(除去 A,B 两点).答案:以 AB 为直径的圆(除去 A,B 两点)8.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA平面 ABCD.(1)证明:平面 PBD
6、平面 PAC;(2)设 AP=1,AD= ,CBA=60, 求 A 到平面 PBC 的距离.3(1)证明:因为四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,所以 BDAC,因为 PA平面 ABCD,所以 BDPA,因为 ACPA=A,所以 BD平面 PAC,因为 BD平面 PBD,3所以平面 PBD平面 PAC.(2)解:因为 AP=1,AD= ,CBA=60,所以 AC= ,SABC = ( )2= ,3334因为 PC=PB= =2,2+2所以 SPBC = = ,12 3 22( 32) 2 394设 A 到平面 PBC 的距离为 h,因为 = ,所以 h = 1,13 394 13
7、 334解得 h= .31313所以 A 到平面 PBC 的距离为 .31313能力提升9.如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= ,BDCD, 将其沿对角线 BD 折成四面体2A-BCD,使平面 ABD平面 BCD,则下列说法中不正确的是( D )(A)平面 ACD平面 ABD (B)ABCD(C)平面 ABC平面 ACD (D)AB平面 ABC解析:因为 BDCD,平面 ABD平面 BCD,所以 CD平面 ABD,因为 CD平面 ACD,所以平面 ACD平面 ABD,故 A 正确;因为平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= ,所以 ABAD,又 C
8、D平面 ABD,所以 ABCD,故 B 正确;因为 ABAD,ABCD,所以 AB平面 ACD,又因为 AB平面 ABC,所以平面 ABC平面 ACD,故 C 正确;因为 AB平面 ABC,所以 AB平面 ABC 不成立,故 D 错误.故选 D.10.设 m,n 为空间的两条直线, 为空间的两个平面,给出下列命题:若 m,m,则 ;若 m,m,则 ;若 m,n,则 mn;若 m,n,则 mn.4上述命题中,其中假命题的序号是 . 解析:若 m,m,则 与 相交或平行都可能,故不正确;若 m,m,则 ,故正确;若 m,n,则 m 与 n 相交、平行或异面,故不正确;若 m,n,由线面垂直的性质定
9、理知 mn,故正确.答案:11.如图,平行四边形 ABCD 中,BD=2 ,AB=2,AD=4,将BCD 沿 BD 折起到EBD 的位置,使平面 EBD平面 ABD.(1)求证:ABDE;(2)求三棱锥 E-ABD 的侧面积.(1)证明:由题意 AB=2,BD=2 ,AD=4,因为 AB2+BD2=AD2,所以 ABBD.因为平面 EBD平面 ABD,平面 EBD平面 ABD=BD,所以 AB平面 EBD.因为 DE平面 EBD,所以 ABDE.(2)解:由(1)可知 ABBD,因为 CDAB,所以 CDBD,从而 DEBD.在三角形 DBE 中,因为 DB=2 ,DE=CD=AB=2.3所以
10、 SBED = BDDE=2 .12 3又因为 AB平面 EBD,EB平面 EBD,所以 ABBE.因为 BE=BC=AD=4,所以 SABE = ABBE=4.12又因为 DEBD,平面 EBD平面 ABD,所以 DE平面 ABD,而 AD平面 ABD,所以 DEAD.所以 SADE = ADDE=4.12综上,三个面之和为三棱锥 E-ABD 的侧面积,即为 8+2 .3探究创新12.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是DAB=60且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 为等边三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD.(1)求证:ADPB;5(2)若 E 为 BC 的中点,能否在棱
11、 PC 上找到一点 F,使平面 DEF平面 ABCD?并证明你的结论.(1)证明:设 G 为 AD 的中点,连接 PG,BG.因为PAD 为等边三角形,所以 PGAD.在菱形 ABCD 中,DAB=60,G 为 AD 的中点,所以 BGAD.又 BGPG=G,所以 AD平面 PGB.因为 PB平面 PGB,所以 ADPB.(2)解:当 F 为 PC 的中点时,满足平面 DEF平面 ABCD.证明:取 PC 的中点 F,连接 DE,EF,DF.则 EFPB,所以可得 EF平面 PGB.在菱形 ABCD 中,GBDE,所以可得 DE平面 PGB.而 EF平面 DEF,DE平面 DEF,EFDE=E,所以平面 DEF平面 PGB.由(1)得 PG平面 ABCD,而 PG平面 PGB,所以平面 PGB平面 ABCD,所以平面 DEF平面 ABCD.
