1、3 简谐运动的回复力和能量,一、简谐运动的回复力 1.简谐运动的动力学定义:如果质点所受的力与它偏离 平衡位置位移的大小_,并且总是指向_, 质点的运动就是简谐运动。,成正比,平衡位置,2.回复力:,平衡位置,平衡位置,-kx,平衡位置,二、简谐运动的能量,1.能量转化: 弹簧振子运动的过程就是_和_互相转化的过 程。 (1)在最大位移处,_最大,_为零。 (2)在平衡位置处,_最大,_最小。 2.遵循规律:在简谐运动中,振动系统的机械能_, 而在实际运动中都有一定的能量损耗,因此简谐运动 是一种_的模型。,动能,势能,势能,动能,动能,势能,守恒,理想化,【预习诊断】 1.请判断下列说法的正
2、误。 (1)回复力的方向总是与速度的方向相反。 ( ) (2)回复力的方向总是与加速度的方向相反。 ( ) (3)做简谐运动的质点,任意时刻回复力(不为零)的方向总与位移的方向相反。 ( ) (4)通过速度的增减变化情况,能判断回复力大小的变化情况。 ( ),提示:(1)。回复力的方向与速度方向可能相同,也可能相反,当振子做加速运动时相同,做减速运动时相反。 (2)。由牛顿第二定律可知,加速度的方向总是与回复力的方向相同。 (3)。回复力是指向平衡位置的,而位移是以平衡位置为起点指向质点所在位置的,所以二者的方向总是相反的。,(4)。速度增大,说明质点正向着平衡位置移动,故回复力正在减小;反之
3、,速度减小,质点正远离平衡位置,回复力正在增大。,2.(多选)一平台在竖直方向上做简谐运动,一物体置于其上一起振动,则有 ( ) A.当平台振动到最低点时,物体对平台的正压力最大 B.当平台振动到最高点时,物体对平台的正压力最小 C.当平台向上振动经过平衡位置时,物体对平台的正压力最大 D.当平台向下振动经过平衡位置时,物体对平台的正压力最小,【解析】选A、B。平台在竖直方向做简谐运动,放在平 台上的物体也在竖直方向上随平台一起做简谐运动,物 体做简谐运动的回复力由它所受的重力mg和平台对它 的支持力FN的合力提供,物体在最高点时,回复力和加速 度均向下且最大,由牛顿第二定律得mg-FN=ma
4、max。所以, 在最高点时,平台对物体的支持力最小,由牛顿第三定 律知,物体对平台的压力也最小。在最低点时,回复力,和加速度均向上且最大,由牛顿第二定律得FN-mg=mamax,所以,在最低点时,平台对物体的支持力最大,由牛顿第三定律知,物体对平台的压力也最大。物体通过平衡位置时,加速度和回复力均为零,则FN=mg,即平台对物体的支持力等于物体的重力,与运动方向没关系。选项A、B正确。,3.(多选)如图所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振子的质量为M,若振子运动到B处时将一质量为m的物体轻轻地放到M的上面,且m和M无相对滑动地一起运动,下列叙述正确的是 ( ),A.振幅不
5、变 B.振幅减小 C.最大动能不变 D.最大动能减少,【解析】选A、C。当振子运动到B处时,M的动能为零,放上m,系统的总能量为弹簧所储存的弹性势能Ep,由于简谐运动过程中系统的机械能守恒,即振幅不变,故A正确。当M和m运动至平衡位置O时,M和m的动能之和,即为系统的总能量,此时动能最大,故最大动能不变,C正确。,知识点一 对回复力和加速度的理解 探究导入: 如图为水平弹簧振子的模型(杆光滑),(1)振子在O点时受到几个力的作用? (2)振子在B点、C点时受到几个力的作用? 提示:(1)振子在O点时受到重力,杆的支持力两个力的作用。 (2)振子在B点、C点时受到重力,杆的支持力和弹簧的弹力三个
6、力的作用。,【归纳总结】 1.回复力的来源: (1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。 (2)回复力可以由某一个力提供,如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力;也可能是几个力的合力,如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力;还可能是某一力的分力。,2.关于k值:公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定。 3.加速度的特点:根据牛顿第二定律得a= 表明弹簧振子做简谐运动时,振子的加速度大小与位移大小成正比,加速度方向与位移方向相反。,4.回复力的规律:因x=Asin(t+),故回复
7、力F=-kx= -kAsin(t+),可见回复力随时间按正弦规律变化。,【典题过关】 【典例】一轻弹簧下面悬挂一个质量为m 的小球静止后,弹簧被拉长了h,今再用竖 直力拉小球,弹簧又被拉长x,如图所示, 然后由静止释放,若不计空气阻力,小球 做简谐运动吗?请证明你的观点。,【正确解答】如题图所示,设振子的平衡位置为O,向下为正方向,此时弹簧已经有了一个伸长量h,设弹簧的劲度系数为k,由平衡条件得 kh=mg 当振子向下偏离平衡位置的距离为x时,回复力,即合外力为 F=mg-k(x+h) ,将式代入式得:F=-kx,可见小球所受合外力与其位移的关系符合简谐运动的受力特点,即小球做简谐运动。 答案
8、:见正确解答,【过关训练】 1.(多选)做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外,在其他位置时,关于它的加速度方向,下列说法正确的是( ) A.一定与速度方向相同 B.有时与速度方向相同,有时与速度方向相反 C.总是指向平衡位置 D.总是与位移方向相反,【解析】选B、C、D。回复力指使物体回到平衡位置的力,对简谐运动而言,其大小必与位移大小成正比,其方向与位移方向相反,并总是指向平衡位置,而加速度的方向与回复力的方向相同;由于振子的运动具有周期性,故加速度方向与速度方向有时相同,有时相反,故A错,B、C、D对。,2.如图所示,对做简谐运动的弹簧振子M的受力情况分析正确的是 ( ) A.重力、支持力、弹
9、簧的弹力 B.重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 C.重力、支持力、回复力、摩擦力 D.重力、支持力、摩擦力、弹簧的弹力,【解析】选A。弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力,C、D错;回复力为效果力,受力分析时不分析此力,B错;故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力,A正确。,【补偿训练】 1.关于简谐运动,以下说法正确的是 ( ) A.简谐运动公式F=-kx中k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的原长 B.做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向有时相同,有时相反,C.做简谐运动的物体每次经过同一位置时速度一定相同 D.做简谐运动的物体速度方向与位移方向有时相同,有时相反,【解析】选D。公式F=-kx中的k
10、是指回复力正比于位移的比例系数,x是指振子离开平衡位置的位移,A错;加速度方向始终与回复力方向相同,故加速度方向与位移方向总相反,B错;物体经过同一位置时,可能向平衡位置运动,也可能远离平衡位置运动,速度方向与位移方向可能相同,也可能相反,C错、D对。,2.(多选)如图所示,物体m系在两弹簧之间,弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然状态,今向右拉动m,然后释放,物体在B、C间振动,O为平衡位置(不计阻力),则下列判断正确的是 ( ),A.m做简谐运动,OC=OB B.m做简谐运动,OCOB C.回复力F=-kx D.回复力F=-3kx,【解析】选A、D。两弹簧
11、为原长时,m所受的合力为零,此位置为平衡位置。设将m向右拉x,则弹簧1对m产生拉力F1=k1x=kx,弹簧2对m产生压力F2=k2x=2kx,二力均指向平衡位置,合力为回复力,大小为F=F1+F2=3kx,方向与位移方向相反,所以m做简谐运动。回复力F=-3kx,且简谐运动正、负最大位移大小相等,则OC=OB。故A、D正确。,知识点二 简谐运动中各个物理量的变化规律 探究导入: 如图所示,O点为振子的平衡位置,A、A分别是振子运动的最左端和最右端。,(1)振子在振动过程中通过O点时速度最大还是最小? (2)振子在振动过程中由AA点时加速度如何变化? 提示:(1)过O点时速度最大。 (2)由AA
12、加速度先减小后增大。,【归纳总结】 1.位移的变化规律:振动中的位移x都是以平衡位置为起点,因此,方向就是从平衡位置指向末位置的方向,大小就是这两位置间的距离,在两个“端点”时位移最大,在平衡位置位移为零。 2.加速度与回复力的变化规律:加速度a的变化与回复力F的变化是一致的,在两个“端点”最大,在平衡位置为零,方向总指向平衡位置。,3.速度变化规律:速度大小v与加速度a的变化恰好相反,在两个“端点”为零,在平衡位置最大,除两个“端点”外任何一个位置的速度方向都有两种可能。 4.动能变化规律:动能大小与速度大小对应,在两端点为零,在平衡位置最大。 5.势能变化规律:势能大小变化与动能大小变化恰
13、好相反,在两端点最大,在平衡位置为零。,【典题过关】 【典例】(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图象,下列说法正确的是 ( ),A.在第1s内,质点速度逐渐增大 B.在第2s内,质点速度逐渐增大 C.在第3s内,动能转化为势能 D.在第4s内,动能转化为势能,【正确解答】选B、C。质点在第1s内,由平衡位置向正向最大位移处运动,做减速运动,所以选项A错误;在第2s内,质点由正向最大位移处向平衡位置运动,做加速运动,所以选项B正确;在第3s内,质点由平衡位置向负向最大位移处运动,动能转化为势能,所以选项C正确;在第4s内,质点由负向最大位移处向平衡位置运动,势能转化为动能,所以选项D错误。,
14、【过关训练】 (2018德州高二检测)如图甲所示,弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动。O点为平衡位置,以平衡位置O为原点,建立x轴,向右为x轴的正方向。振子的位移x随时间t的变化图象如图乙所示。下列判断正确的是 ( ),A.振子位于M点时开始计时 B.0.4 s和1.2 s时振子的加速度相同 C.1.2 s到1.6 s的振动过程中振子的振幅减小 D.0.8 s时振子运动到O点,动能最大,【解析】选D。由图象乙知,t=0时,振子经过平衡位置, 所以是从平衡位置O点开始计时的,故A错误;由图象乙 知,t=0.4s时,振子的位移为正方向的最大,1.2 s时振 子的位移为负方向的最大,根据a=- 可知
15、,两处的加 速度方向相反,故B错误;弹簧振子的振幅不随时间发生 变化,故C错误;由图乙可知,0.8s时振子经过平衡位置, 速度最大,动能最大,故D正确。,【补偿训练】 1.(多选)如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系,T是振动周期,则下列选项中正确的是 ( ),A.若甲表示位移x,则丙表示相应的速度v B.若丁表示位移x,则甲表示相应的速度v C.若丙表示位移x,则甲表示相应的速度v D.若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v,【解析】选A、B。本题可结合如图所 示的弹簧振子的振动情况具体分析。 在振子从平衡位置(t=0)向右(正方向)运动到正向最大 位移的过程中,其
16、速度为正且由最大值减小到零,A正确; 在振子从负向最大位移处运动,经 周期回到平衡位 置时,振子向右运动,速度为正且增大,B正确;若振子从 正向最大位移向平衡位置运动时,振子的速度为负且逐,渐增大,C错误;若振子从平衡位置向负向最大位移处运动,则振子的速度为负且逐渐减小,D错误。,2.(多选)一弹簧振子做简谐运动,它所受的回复力F随时间t变化的图象为正弦曲线,如图所示,下列说法正确的是 ( ),A.在t从0到2s时间内,弹簧振子做减速运动 B.在t1=3s和t2=5s时,弹簧振子的速度大小相等,方向相反 C.在t2=5s和t3=7s时,弹簧振子的位移大小相等,方向相同 D.在t从0到4s时间内
17、,t=2s时刻弹簧振子所受回复力做功的功率最大,【解析】选A、C。在t从0到2s时间内,回复力逐渐变大,由F=-kx知,位移增大,说明振子逐渐远离平衡位置,做减速运动,故A正确;在t1=3s到t2=5s过程中,回复力先减小为零后反向增加,说明先靠近平衡位置后远离平衡位置,故3 s和5 s时速度方向相同;由于3 s和5 s时回复力大小相等,故位移大小也相等,速度大小也相等,故B错误;在t2=5s和t3=7s时,回复力相等,根据公式F=-kx,位移相同,故C正确;在t从0到4s时间内,t=2s时刻弹簧振子速度为零,根据P=Fv可知,功率为零,故D错误。,知识点三 简谐运动的三大特征 探究导入: 如
18、图所示,物体在A、B之间做简谐运动,O点为平衡位置,C、D两点关于O点对称。,(1)物体经过C、D两点时的位移相等吗? (2)物体经过C、D两点时的速度、加速度相等吗? 提示:(1)物体经过C、D两点时的位移大小相等,方向相反。 (2)物体经过C、D两点时的速度可能相等,也可能不相等;经过C、D两点的加速度大小相等,方向相反。,【归纳总结】 1.瞬时性:做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置,对应不同的位移,由F=-kx可知回复力不同。由牛顿第二定律得a=- x,可知加速度a也不相同,也就是说a、F、x具有瞬时对应性。,2.对称性: (1)物体通过关于平衡位置对称的两点时,加速度(回复力)
19、大小相等,速度大小相等,动能相等,势能相等。 (2)对称性还表现在时间的相等上,如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时,到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。,3.周期性:简谐运动是一种往复的周期性运动,按其周期性可做如下判断: (1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况完全相同。 (2)若t2-t1=nT+ ,则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。,【典题过关】 【典例】如图所示,光滑的水平面上放有一弹簧振子,已知小球质量m=0.5kg,弹
20、簧劲度系数k=240N/m,将小球从平衡位置O向左平移,将弹簧压缩5cm,由静止释放后小球在A、B间滑动,则,(1)在A、B、O三点中哪点小球加速度最大?此时小球加速度为多大? (2)在A、B、O三点中哪点小球速度最大?此时小球速度为多大?(假设整个系统具有的最大弹性势能为0.3J),【正确解答】(1)由于简谐运动的加速度a= 故加速度最大的位置在最大位移处的A或B两点, 加速度大小a= 0.05m/s2=24m/s2,(2)在平衡位置O点小球的速度最大。 根据机械能守恒定律,有Epm= 故vm= m/s=1.1m/s 答案:(1)A点或B点 24m/s2 (2)O点 1.1m/s,【过关训练
21、】 1.做简谐运动的弹簧振子,其质量为m,最大速度为v0, 若从某时刻算起,在半个周期内,合外力 ( ) A.做功一定为0 B.做功可能是0到 之间的某一个值 C.做功一定不为0 D.做功一定是,【解析】选A。经过半个周期后,振动的速度大小不变,由动能定理可知,A选项正确。,2.一根劲度系数为k的轻弹簧,上端固定,下端接一质量为m的物体,让其上下振动,物体偏离平衡位置的最大位移为A,当物体运动到最高点时,其回复力大小为( ) A.mg+kA B.mg-kA C.kA D.kA-mg,【解析】选C。在平衡位置时,回复力为零,有mg=kx0。在下端最大位移位置时,回复力F=k(A+x0)-mg=k
22、A。由对称性可知在最高点时的回复力大小也为kA。故C选项正确。,【补偿训练】 如图所示,A、B叠放在光滑水平地面上,B与自由长度为 L0的轻弹簧相连,当系统振动时,A、B始终无相对滑动, 已知mA=3m,mB=m,当振子距平衡位置的位移x的大小为时,系统的加速度大小为a,求A、B间摩擦力Ff与位 移x的函数关系。,【解析】设弹簧的劲度系数为k,以A、B整体为研究对 象,系统在水平方向上做简谐运动,其中弹簧的弹力作 为系统的回复力,所以对系统运动到距平衡位置 时, 有 k =(mA+mB)a, 由此得k=,当系统的位移为x时,A、B间的静摩擦力为Ff,此时A、 B具有共同加速度a,对系统有 -k
23、x=(mA+mB)a, k= , 对A有Ff=mAa, 结合有Ff=- x。 答案:Ff=- x,【拓展例题】考查内容:对简谐运动的性质的理解 【典例】一轻质弹簧竖直立在地面上,其劲度系数k=400N/m,弹簧的上端与空心物体A连接,物体B置于A内,B的上下表面恰好与A接触,如图所示。A和B的质量均为1kg,先将A向上抬高,使弹簧伸长5cm后从静止释放,A和B一起做竖直方向的简谐运动,已知弹簧的弹性势能决定于弹簧形变的大小,求:(g取10m/s2,阻力不计),(1)物体A的振幅。 (2)B的最大速度。,【正确解答】(1)物体A在平衡位置时,所受合外力为零, 设此时弹簧被压缩x,则有(mA+mB)g=kx,得x = =0.05m=5 cm。开始释放时物体A处在最大位 移处,故振幅h=5cm+5 cm=10 cm。,(2)设物体B的最大速率为v,因为初始位置与平衡位置 的弹性势能相等,故从初始位置到平衡位置,根据机械 能守恒定律有mgh= mv2,v= 1.4m/s,即B的最大 速度为1.4m/s。 答案:(1)10cm (2)1.4 m/s,
