1、2 简谐运动的描述,【自主预习】 1.描述简谐运动的物理量: (1)振幅: 定义:振动物体离开平衡位置的_,用A表 示,国际单位为米。 物理意义:表示振动的_,是标量,是振动系统 能量大小的标志。对于同一振动系统,振幅越大,表 示振动越_,振动能量越大。,最大距离,强弱,强烈,(2)全振动: 定义:振动物体的位移和速度两矢量经过一次往复 运动均返回到_值的振动过程。 说明。 a.不管以哪个位置作为开始研究的起点,弹簧振子完 成一次全振动的时间总是_(选填“相同”或 “不同”)的。 b.振子在一次全振动中通过的总路程为振幅的_。,初始,相同,四倍,(3)周期和频率: 周期:做简谐运动的物体完成一
2、次_所需要的 时间,用T表示。 频率:单位时间内完成全振动的_,用f表示。 单位:在国际单位制中,周期的单位是_,符号为s。 频率的单位是_,符号为_。,全振动,次数,秒,赫兹,Hz,物理意义:周期和频率都是表示物体振动_的 物理量,周期越小,频率_,表示物体振动越快。 周期和频率的关系:互为倒数关系,即T=_。 (4)相位:用于描述周期性运动物体在各个时刻所处 的_。,快慢,越大,不同状态,2.简谐运动的表达式: (1)简谐运动的一般表达式为x=_: 表达式中x表示振动质点相对于_的位移, t表示振动的时间。 A表示简谐运动的_,描述的是振动的_。,Asin(t+),平衡位置,振幅,强弱,称
3、为简谐运动的“圆频率”,它也表示做简谐 运动的物体振动的快慢,与周期T及频率f的关系 为=_=_。 t+表示简谐运动的_,其单位为弧度(rad), 表示t=0时的相位,叫作_。,2f,相位,初相,(2)相位差:是指两个_之差。在实际生活中常用 到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差,它反 映了两个简谐运动的步调差异。,相位,【预习小测】 1.(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是 ( ) A.振幅是矢量,方向从平衡位置指向最大位移处 B.周期和频率的乘积是一个常数 C.振幅增加,周期必然增加,而频率减小 D.做简谐运动的物体,其频率固定,与振幅无关,【解析】选B、D。振幅是
4、标量,A项错误;周期和频率互为倒数,即Tf=1,B项正确;简谐运动的周期、频率由系统本身决定,与振幅没有关系,所以C项错误,D项正确。,2.如图所示,弹簧振子以O为平衡位置在B、C间做简谐运动,则 ( ),A.从BOC为一次全振动 B.从OBOC为一次全振动 C.从COBOC为一次全振动 D.从DCDOB为一次全振动 【解析】选C。由全振动的定义可得,选项C正确。,3.(多选)如图所示为质点的 振动图象,下列判断中正确 的是 ( ) A.质点的振动周期是8 s B.振幅是2 cm C.4 s末质点的速度为负,加速度为零 D.10 s末质点的加速度为正,速度为零,【解析】选A、C。由振动图象可读
5、得,质点的振动周期为8 s,A正确;振幅为2 cm,B错误;4秒末质点经平衡位置向负方向运动,速度为负向最大,加速度为零,C正确;10 s末质点在正的最大位移处,加速度为负值,速度为零,D错误。,主题一 简谐运动的描述 【互动探究】 1.一弹簧振子在B、O、C间做简谐运动,如图所示,若弹簧振子从O向右运动时开始计时,怎样的过程表示一次全振动?弹簧振子的一次全振动经历了多长时间?,提示:弹簧振子从O向右运动时开始计时,从OC OBO的过程为一次全振动。弹簧振子的一次全振动的时间刚好为一个周期。,2.在1中弹簧振子经历一次全振动后,其位移、加速度、速度有何特点? 提示:弹簧振子的位移、加速度、速度
6、第一次同时与初始状态相同。,3.振子离开平衡位置的最大位移就是振幅,这种说法正确吗? 提示:不正确。振幅是一个标量,它是指物体离开平衡位置的最大距离。它既没有负值,也无方向,而最大位移既有大小,也有方向,所以振幅不同于最大位移。,4.弹簧振子一次全振动的过程中,通过的路程是多少? 提示:弹簧振子一次全振动的过程中,通过的路程是振幅的4倍。,5.由问题4我们可以得出“振子在一个周期内通过四个 振幅的路程”的结论。能否根据此结论得出振子在时 间t内通过的路程一定为 4A,为什么?,提示:这个结论不能随意推广。当 为整数或 的奇 数倍时,t时间内通过的路程才为 4A,即上述结论 成立;如果不是整数,
7、且余数不为 时,则路程不一定 等于 4A。,6.简谐运动的周期(或频率)与振幅的关系是怎样的? 提示:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。,【探究总结】 1.对全振动的理解: (1)振动过程: 如图所示,从O点开始,一次全振动 的完整过程为OAOAO; 从A点开始,一次全振动的完整过 程为AOAOA。,(2)时间:历时一个周期。 (3)路程:振幅的4倍。,2.振幅与位移的关系: (1)在同一简谐运动中振幅是不变的,而位移却时刻变化。 (2)振幅是标量;位移是矢量,其方向是由平衡位置指向振子所在位置。 (3)振幅在数值上等于位移的最大值。,3.振幅与路程的关系:
8、 (1)振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅,在半个周期内的路程一定为两个振幅。,(2)振动物体在 T内的路程可能等于一个振幅,可能大 于一个振幅,还可能小于一个振幅。只有当 T的初始 时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时, T内的路 程才等于一个振幅。,4.振幅与周期的关系: 在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关,振幅越大,振动过程中的最大速度越大,但周期为定值。,【典例示范】 如图所示,一弹簧振子在B、C间做简谐运动,O为平衡 位置,BC间距离为10cm,从B到C运动一次的时间为1s, 则 ( ),A.从B到C振子做了一次全振动 B.振动周期为2s,振幅
9、为5cm C.经过两次全振动,振子通过的路程是20cm D.振子从B点开始,经3s位移是30cm,【解题指南】解答本题应注意以下两点: (1)振子经一个全振动时,x、v、a与初始状态相同。 (2)振子在半个周期内经过的路程是振幅的2倍。 【解析】选B。振子从B到C是半个全振动,其周期为T=2s,振幅为A=5cm,故A错、B对;两个周期内,振子路程为s=8A=40cm,故C错;t=3s=1.5T,振子的路程为s=6A=30cm,从B点开始经3s位移为x=10cm,故D错。,【探究训练】 1.(2018盐城高二检测)一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10cm的A、B两点,历时0.5s,
10、如图所示。过B点后再经过t=0.5s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点,则质点振动的周期是( )A.0.5 s B.1.0 s C.2.0 s D.4.0 s,【解析】选C。根据题意,由振动的对称性可知:AB的中 点(设为O)为平衡位置,A、B两点对称分布于O点两侧, 如图。质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB=0.5s=0.25 s。质点从B向右到达右方极端位置 (设为D)的时间tBD= 0.5s=0.25 s。所以,质点从 O到D的时间:tOD= T=0.25s+0.25 s=0.5 s,所以T=2s。故选C。,2.一竖直悬挂的弹簧振子,下端装有一记录笔,在竖直面内放置有一
11、记录纸。当振子上下振动时,以速率v水平向左匀速拉动记录纸,记录笔在纸上留下如图所示的图象,y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标。由此图求振动的周期和振幅。,【解析】设振动的周期为T,由题意可得:在振子振动 的一个周期内,纸带发生的位移大小为2x0,故T= 设振动的振幅为A,则有:2A=y1-y2,故A= 答案:,【补偿训练】 1.质点沿x轴做简谐运动,平衡位置为坐标原点O。质点经过a点(xa=-5cm)和b点(xb=5cm)时速度相同,所用时间tab=0.2s;质点由b点回到a点所用的最短时间tba=0.4s,则该质点做简谐运动的频率为 ( ) A.1 Hz B.1.25 Hz C.2
12、 Hz D.2.5 Hz,【解析】选B。由对称性知,由O到b的时间,由b到最大位移的时间,二者之和为周期的四分之一,则周期可求。由题意可知:a、b点在O点的两侧,相对于O点对称,通过a、b点时速度大小、方向相同;质点由a到b所用时间tab=0.2s,由b点回到a所用最短时间tba=0.4s,表明质点经过b点后还要继续向x轴的正方向运动,振幅大于5cm; 质点做简谐运动的四分之一周期为T= tab+ (tba-tab),解得周期T=2tab+(tba-tab) =20.2+(0.4-0.2)s=0.8 s。频率f= =1.25 Hz。,2.如图所示,将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离x,释放后振子
13、在A、B间振动,且AB=20cm,振子首次由A到B的时间为0.1s,求:,(1)振子振动的振幅、周期和频率。 (2)振子由A到O的时间。 (3)振子在5s内通过的路程及位移大小。,【解析】(1)从题图可知,振子振动的振幅为10cm, t=0.1s= ,所以T=0.2s。由f= 得f=5Hz。 (2)根据简谐运动的对称性可知,振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等,均为0.05s。,(3)设弹簧振子的振幅为A,A=10cm。振子在1个周期内通过的路程为4A,故在t=5s=25T内通过的路程s=4025cm=1 000 cm 5s内振子振动了25个周期,5 s末振子仍处在A点,所以振子偏离平衡
14、位置的位移大小为10cm。 答案:(1)10cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05s (3)1 000 cm 10 cm,【通法悟道】简谐运动对称性的应用 做简谐运动的质点在距离平衡位置等距离的两点上 (1)位移大小相等,方向相反;加速度大小相等,方向相反;速度大小相等,方向可能相同,也可能相反,动能、势能分别相等。 (2)由这两点运动到平衡位置或最大位移处的时间相等。,主题二 简谐运动的表达式 【互动探究】 1.如图所示为某物体做简谐运动的 图象,请根据图象, (1)说明简谐运动的振幅和周期各是多少? (2)写出振动物体的位移随时间变化的关系式。,提示:(1)由图象可知振幅A=5cm,周
15、期T=16s。(2)根据 数学中所学正弦函数y=Asin(x+)的图象可得,该 图象的函数关系式是x=5sin t(cm),此式即为振动 物体的位移随时间变化的关系式。,2.在问题1中简谐运动的表达式能否用余弦函数 表示呢? 提示:能。简谐运动的表达式也可以用余弦函数表示, 本质一样,只是与正弦函数的相位数值不同,相位差 为 ,可写成:x=5cos( )。,3.简谐运动的相位差=2-1的含义是什么? 提示:两个简谐运动有相位差,说明其步调不相同。,4.甲、乙两个简谐运动的相位差=甲-乙= , 甲比乙超前还是落后? 提示:甲比乙超前 个周期或 次全振动,也可以说 是乙比甲滞后 个周期或 次全振动
16、。,5.利用图象和函数表达式描述振动的优缺点是什么?通过简谐运动的图象可以得到哪些物理量? 提示:图象形象、直观;函数表达式精确、抽象,两种方法是从不同的角度描述同一个简谐运动过程。从图象中可以直接找出振幅、周期、振子在各个时刻的位移等。,【探究总结】 (1)对简谐运动表达式的理解: 简谐运动的表达式:x=Asin(t+)。 a.圆频率:表达式中的称作简谐运动的圆频率, 它表示简谐运动物体振动的快慢。与周期T及频率 f的关系为= =2f。,b.表示t=0时简谐运动质点所处的状态,称为初相位 或初相。t+代表做简谐运动的质点在t时刻处在一 个运动周期中的哪个状态,所以代表简谐运动的相位。 从运动
17、方程中得到的物理量:振幅、周期、圆频率 和初相位,因此可应用运动方程和= =2f对两个 简谐运动比较周期、振幅和计算相位差。,(2)关于相位差=2-1的说明: 取值范围:-。 =0,表明两振动步调完全相同,称为同相。 =,表明两振动步调完全相反,称为反相。 0,表示振动2比振动1超前。 0,表示振动2比振动1滞后。,【典例示范】(多选)如图,轻弹簧 上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐 运动。以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式 为y=0.1sin(2.5t)m。t=0时刻,一小球从距物块h高 处自由落下;t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高 度。取重力加速度的大小g=1
18、0 m/s2。以下判断正确 的是 ( ),A.h=1.7 m B.简谐运动的周期是0.8 s C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D.t=0.4 s时,物块与小球运动方向相反,【解析】选A、B。t=0.6s时,物块的位移为 y=0.1sin(2.50.6)m=-0.1 m;则对小球h+|y|=gt2,解得h=1.7 m,选项A正确;简谐运动的周期是 T= =0.8 s,选项B正确;0.6 s内物块运动的 路程是3A=0.3 m,选项C错误;t=0.4 s= ,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小球运动方向相同,选项D错误。,【探究训练】 1.(多选)(2018广元高二检测)某质点
19、做简谐运动,其 位移随时间变化的关系式为x=Asin t,则质点( ),A.第1 s末与第3 s末的位移相同 B.第1 s末与第3 s末的速度相同 C.第3 s末至第5 s末的位移方向都相同 D.第3 s末至第5 s末的速度方向都相同,【解析】选A、D。根据x=Asin t可求得该质点振动周期为T=8s,则该质点振动图象如图所示,图象的斜率为正表示速度为正,反之为负,由图可以看出第1s末和第 3 s末的位移相同,但斜率一正一负,故速度方向相反,选项A正确、B错误;第3 s末和第5 s末的位移方向相反,但两点的斜率均为负,故速度方向相同,选项C错误、D正确。,2.(2018潼关高二检测)一物体沿
20、x轴做简谐运动,振幅为8cm,频率为0.5Hz,在t=0时,位移是4cm,且向x轴负方向运动。 (1)试写出用正弦函数表示的振动方程。 (2)求10s内通过的路程是多少。,【解析】(1)简谐运动振动方程的一般表达式为 x=Asin(t+)。根据题目条件,有:A=0.08m, =2f=rad/s。所以x=0.08sin(t+)m。将 t=0,x=0.04m,代入得0.04=0.08sin,解得初相位 = 或= ,因为t=0时,速度方向沿x轴负方 向,即位移在减小,所以取= 。故所求的振动方 程为x=0.08sin(t+ )m。,(2)周期T= =2s,所以t=5T,因1T内的路程是4A, 则通过
21、的路程s=54A=208cm=1.6m 答案:(1)x=0.08sin(t+ )m (2)1.6m,【补偿训练】 1.简谐运动的表达式是x=Asin(t+),其中简谐运动的相位是 ( ) A.A B. C. D.t+ 【解析】选D。x=Asin(t+)中A是振幅,是圆频率,t+是相位,是初相位,故D正确。,2.一物体沿x轴做简谐运动,振幅为12cm,周期为2s。当t=0时,位移为6cm,且向x轴正方向运动,求: (1)初相位。 (2)t=0.5s时物体的位置。,【解析】(1)设简谐运动的表达式为x=Asin(t+) A=12cm,T=2s,= ,t=0时,x=6cm。 代入上式得,6=12sin(0+) 解得sin= ,= 或 因这时物体向x轴正方向运动,故应取= , 即其初相为 。,(2)由上述结果可得x=Asin(t+)cm=12sin(t+ )cm 所以x=12sin( + )cm=12sin cm=6 cm 答案:(1) (2)6 cm,【通法悟道】简谐运动表达式的应用 (1)确定简谐运动质点在不同时刻的位移。 (2)比较两个简谐运动的振动步调。 (3)由表达式画出简谐运动的位移时间图象。,【课堂小结】,
