1、4 单 摆,【自主预习】 1.单摆的特点 (1)单摆模型:由小球和细线组成,细线的质量与小球 相比可以忽略,小球的_和线的_相比也可以 忽略。忽略摆动过程中所受阻力的作用,是_ 模型。,直径,长度,理想化,(2)单摆的回复力:回复力的来源:摆球的重力沿圆 弧_方向的分力。 回复力的特点:在偏角很小时,摆球所受的回复力 与它偏离平衡位置的位移成_,方向总指向 _,即F=_。,切线,正比,平衡位置,2.单摆的周期 (1)运动规律:单摆在偏角很小时做_运动,其振动图象遵循正弦函数规律。,简谐,(2)探究影响单摆周期的因素: 探究方法:_法。 实验结论。 a.单摆振动的周期与_无关。 b.振幅较小时周
2、期与_无关。 c.摆长越长,周期_;摆长越短,周期_。,控制变量,摆球质量,振幅,越长,越短,(3)周期公式:提出:周期公式是荷兰物理学家 _首先提出的。 公式:T=2 ,即周期T与摆长l的二次方根成 _,与(单摆所在处的)重力加速度g的二次方根 成_。,惠更斯,正比,反比,应用: a.计时器(摆钟)。 原理:单摆的_性。 校准:调节_,可调节钟表的快慢。 b.测重力加速度:由T=2 ,可得g=_,即只要 测出单摆的摆长l和_,就可以求出单摆所在位置的重力加速度。,等时,摆长,周期T,【预习小测】 1.单摆在振动过程中,当摆球的重力势能增大时,摆球的 ( ) A.位移一定减小 B.回复力一定减
3、小 C.速度一定减小 D.加速度一定减小 【解析】选C。单摆在振动过程中,当摆球的重力势能增大时,摆球的位移变大,回复力变大,加速度变大,加速度方向与速度方向相反,速度减小,C正确。,2.振动着的单摆摆球,通过平衡位置时,它受到的回复力 ( ) A.指向地面 B.指向悬点 C.数值为零 D.垂直摆线,指向运动方向 【解析】选C。单摆摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供,摆球通过平衡位置时,它受到的回复力为零,C正确。,3.(多选)下列关于单摆的说法,正确的是 ( ) A.单摆做简谐运动的周期由摆长和当地的重力加速度共同决定 B.单摆摆球经过平衡位置的加速度为零 C.做单摆实验,选择摆球时
4、应选用密度较大的金属球 D.做单摆实验时,单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上,应夹紧在铁夹中,【解析】选A、C、D。单摆的周期公式T=2 ,A正确;单摆摆球经过平衡位置时合外力提供圆周运动的向心加速度,B错误;做单摆实验,为尽量减小空气阻力的影响,应选用密度较大的金属球,C正确;同时为避免摆动过程中摆长不变,单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上,应夹紧在铁夹中,D正确。,主题一 单摆的特点 【互动探究】如图甲所示,在一细线的一端拴一小球,另一端悬挂起来,构成一个实际摆。如图乙所示,细线下悬挂一个沙桶均匀漏出细沙,沿着与摆动方向垂直的方向匀速拖动木板,木板上的沙迹便画出振动的图象。,(1)请说
5、明把实际摆看成单摆时忽略了哪些次要因素。 提示:忽略了细线的质量和伸缩性,忽略了摆动过程中所受的阻力作用。 (2)单摆做简谐运动时,受到重力、拉力和回复力的作用吗? 提示:摆球受重力、拉力,不受回复力作用,回复力只是重力沿切线的分力。,(3)单摆摆动到最低点时,回复力和合外力都等于零吗? 提示:在最低点(即平衡位置)时,回复力为零,但合外力不为零。,(4)摆球经过平衡位置时,摆球处于平衡状态吗?摆球到达最大位移处,v=0,加速度是否等于0? 提示:单摆摆动中,摆球在平衡位置不处于平衡状态,有向心力和向心加速度,回复力为零,合外力不为零。最大位移处速度等于零,但不是静止状态。一般单摆回复力不是摆
6、球所受合外力,而是重力沿圆弧切线方向的分力,所以加速度一定不等于零。,(5)在乙图中,木板上得到的是什么图象?为什么要匀速拖动木板?该图象反映出沙桶做什么运动? 提示:木板上得到的是一条正弦(余弦)曲线,是沙桶的位移随时间变化的图象;匀速拖动木板,可以保证时间轴的间隔分布均匀;因为简谐运动的图象都是正弦或余弦曲线,所以沙桶的运动为简谐运动。,(6)根据对单摆受力情况的分析,总结单摆可看成做了哪几种运动? 提示:单摆可看成做了两种运动:摆球以悬点为圆心,在竖直平面内做变速圆周运动;摆球以最低点为平衡位置振动,在角度很小时的摆动可看成做简谐运动。,【探究总结】 1.单摆振动的特点: (1)单摆在振
7、动过程中满足机械能守恒。 (2)单摆在振动过程中,不一定做简谐运动,只有当摆角很小(小于10)时才可看成做简谐运动。 (3)判断单摆是否做简谐运动,可分析摆球的受力情况,看回复力是否符合F=-kx。,2.回复力、向心力、合外力的区别与联系:,【典例示范】 当摆角很小时(小于5),单摆的振动是简谐运动,此时单摆振动的回复力是 ( ) A.摆球重力与摆线拉力的合力 B.摆线拉力沿圆弧切线方向的分力 C.摆球重力、摆线拉力及摆球所受向心力的合力 D.摆球重力沿圆弧切线方向的分力,【解题指南】解答本题应注意以下两点: (1)单摆摆角很小时重力沿切线方向的分力是回复力。 (2)向心力是效果力,是摆线的拉
8、力和摆球重力沿摆线方向的分力的合力。,【解析】选D。摆球的回复力不是所受重力和摆线作用于摆球的拉力的合力,也不是摆线拉力和摆球所受重力和沿圆弧运动时的向心力的合力,也不是摆线的拉力沿圆弧切线方向的分力,而是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力。故D正确,A、B、C错误。,【探究训练】 1.关于单摆,下列说法正确的是 ( ) A.摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置 B.摆球受到的回复力是它所受的合力 C.摆球经过平衡位置时,所受的合力为零 D.摆角很小时,摆球所受合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比,【解析】选A。回复力是使摆球回到平衡位置的力,其方向总是指向平衡位置,A正确;摆球受到的回复
9、力是重力沿圆弧切线方向的分力,不是它所受的合力,B错误;摆球经过平衡位置时,回复力为零,但由于摆球做圆周运动,有向心力,故合力不为零,且方向指向圆心,C错误;摆角很小时,跟摆球对平衡位置的位移大小成正比的力是回复力,不是合力,D错误。,2.(多选)(2018泰安高二检测)如图所示为一单摆的摆动图象,则 ( ) A.t1和t3时刻摆线的拉力等大 B.t1和t3时刻摆球速度相等 C.t3时刻摆球速度正在减小 D.t4时刻摆线的拉力正在减小,【解析】选A、D。由振动图象可知t1、t3时刻振动质点在同一位置,速度大小相等,方向不同,但向心力等大,A对B错;t3时刻质点正在向平衡位置运动,速度正在增大,
10、C错;t4时刻正在向最大位移运动,速度减小,拉力减小,D正确。,【补偿训练】 1.振动的单摆通过平衡位置时,关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是 ( ) A.回复力为零,合力不为零,方向指向悬点 B.回复力不为零,方向沿轨迹的切线 C.合力不为零,方向沿轨迹的切线 D.回复力为零,合力也为零,【解析】选A。振动的单摆通过平衡位置时,位移为零,根据回复力F=-kx可知,回复力为零,但由于摆球做圆周运动,有向心力,故合力不为零,且方向指向圆心,故A正确,B、C、D错误。,2.一单摆做小角度摆动,其振动图象如图,以下说法正确的是 ( ),A.t1时刻摆球速度最大,摆球的回复力最大 B.t2时刻
11、摆球速度为零,悬线对它的拉力最小 C.t3时刻摆球速度为零,摆球的回复力最小 D.t4时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大,【解析】选D。由振动图象知,t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大,此时摆球的速度为零,摆球的回复力最大,A、C错;t2和t4时刻摆球位移为零,正在通过平衡位置,速度最大,由于摆球做圆周运动,由牛顿第二定律得出悬线对摆球拉力最大,故D正确,B错误。,【通法悟道】单摆回复力的确定方法 (1)摆角很小时回复力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比。 (2)单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力,而不是重力与绳的拉力的合力。但在最高点时,回复力的大小等于重力和绳的拉力的合力大
12、小。 (3)摆球在平衡位置时回复力为零,但合力不为零。,主题二 探究单摆与周期的关系 【互动探究】 1.在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中,如何探究单摆周期与振幅、质量、摆长的关系?可以得到什么结论?,提示:应用控制变量法进行比较。例如,比较周期与质量的关系时,可将悬挂在同一高度的两个摆长相同、质量不同的摆球拉到同一高度,同时释放使其做简谐运动,通过实验可观察到这两个摆球的振动是同步的,说明其振动周期与质量无关。同理可以比较周期与振幅的关系、周期与摆长的关系。 实验表明单摆振动的周期与摆球质量无关,在振幅较小时与振幅无关,但与摆长有关,摆长越长,周期越长。,2.利用“探究单摆周期与摆长的关系
13、”测得的摆长和周期的实验数据,可以测定重力加速度: (1)用单摆测重力加速度的实验原理是什么?,提示:单摆在摆角很小时,由单摆周期公式T=2 得,g= 。测得单摆的摆长l和振动周期T,就可以测出当地的重力加速度。,(2)测重力加速度的数据处理方法是怎样的? 提示:平均值法:利用g= 计算各组数据的重力 加速度值,然后求出g的平均值。图象法:分别以l和 T2为纵坐标和横坐标,作出l= 的图象,它应该是过原点的一条直线,根据这条直线可以求出斜率k,则重力加速度g=42k。,3.做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验,思考以下问题: (1)本实验中对单摆的振幅有何要求?摆线和摆球如何选择? 提示:单摆
14、的振幅不能太大,否则单摆的振动不能看成是简谐运动。摆线要尽量选择细些的、伸缩性小些的,并且要尽可能长一些,摆球要尽量选择质量大些的、体积小些的。,(2)如何测量摆长? 提示:用刻度尺测量细线的长度,用游标卡尺测量小球的直径,算出它的半径,两者之和作为摆长的测量值。,(3)如何测量周期?思考测量周期时摆球在哪个位置作为计时的开始与终止更好些? 提示:可测量单摆做多次全振动(如几十次)的时间,然后通过计算求出它的周期的测量值。小球通过平衡位置时作为计时的起点较好,因为小球经过平衡位置时速度最大,即使稍有偏差,时间的误差也较小。,(4)利用测出的周期与摆长,如何探究周期与摆长的定量关系? 提示:首先
15、通过数据分析,对周期和摆长的定量关系作出猜测,然后按照猜测来确定纵坐标轴和横坐标轴,作出图象,通过图象进行分析。如作出的T2-l图象是一条直线,则说明T2与l成正比。,【探究总结】 1.实验原理: 单摆做简谐运动时,其周期T=2 ,故有g= ,因此测出单摆的摆长l和振动周期T,就可以求出当地的重力加速度的值。,2.实验器材: 带孔小钢球一个、细线一条(约1米长)、铁架台、米尺、秒表、游标卡尺。,3.实验步骤:,(1)做单摆:将线的一端穿过小球的小孔,并打一比孔 大的结。然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上,在 平衡位置处做上标记。如图所示。 (2)测摆长:用米尺测出摆线长度l线,用游标卡尺测 量
16、出摆球的直径d,则单摆的摆长l=l线+ 。,等效摆长:图(1)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来 效果是相同的,所以甲摆的摆长为lsin+ ,这就是 等效摆长。其周期T= 图(2)中,乙在垂直纸面方向摆动时,与甲摆等效;乙在纸面内小角度摆动时,与丙摆等效。,(3)测周期:将单摆从平衡位置拉开一个小于5的角, 然后释放摆球,当单摆振动稳定后,过平衡位置时开始 用秒表计时,测量N次(一般取3050次)全振动的时 间t,则周期T= 。 (4)改变摆长,重复实验多次。,4.数据处理: (1)公式法:将每次实验得到的l、T代入g= 计算重力加速度,然后求平均值。 (2)图象法:作出T2-l图象,由函数T2=
17、,可知T2-l 图象为一条过原点的倾斜直线,其斜率k= ,即重 力加速度g=,5.注意事项: (1)实验所用的单摆应符合理论要求,即:线要细且弹性要小,摆球用密度和质量较大的小球,并且要摆角小于5。 (2)要使单摆在竖直平面内振动,不能使其形成圆锥摆,方法是摆球拉到一定位置后由静止释放。,(3)摆长是指悬线长度与小球半径的总和。 (4)测单摆周期时,应从摆球通过平衡位置时开始计时。 (5)要注意进行多次测量,并取平均值。,【典例示范】 在“用单摆测定重力加速度”的实验中,为防止摆球在 摆动过程中形成“圆锥摆”,实验中采用了如图甲所示 的双线摆。测出摆线长度为L,线与水平横杆夹角为, 摆球半径为
18、r。若测出摆动的周期为T,则此地重力加速 度为 ;某同学用10分度的游标卡尺测量摆球的直径 时,主尺和游标如图乙所示,则摆球的半径r为 mm。,【解题指南】(1)单摆的摆长为l=Lsin+r。 (2)周期公式T=,【解析】由单摆的周期公式T= 可得,重力加速 度g= ,其中摆长l=Lsin+r,则此地的重力加速 度g= 由题图乙知摆球的半径r= 16.0mm=8.0 mm。 答案: 8.0,【探究训练】 1.如图所示,一单摆悬于O点,摆长为L,若在O点的竖直 线上的O点钉一个钉子,使OO= ,将单摆拉至A处释放,小球将在A、B、C间来回振动,若振动中摆线与竖直方向夹角小于5,则此摆的周期是 (
19、 ),【解题指南】解答本题应注意以下两点: (1)单摆摆动过程中左右两侧的摆长不同。 (2)此单摆的周期是摆长为L的半个周期和 的半个周期之和。,【解析】选D。根据T= ,该单摆有 周期摆长 为L, 周期摆长为 L，故T= 故D正确。,2.某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验时,测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期,记录数据如下:,(1)以摆长l为横坐标,周期的平方T2为纵坐标,根据以上数据在图中画出T2-l图线。,(2)此图线的斜率表示什么意义? (3)由此图线求出重力加速度的值。,【解析】(1)T2-l图线如图所示。,（2）因为单摆的振动周期T= 得T2= 所以图线的斜率k= （3）由
20、图线求得斜率k=4, 故g= 9.86 m/s2。 答案：见解析,【补偿训练】如图,蛇形摆是演示单摆周期与摆长关 系的实验装置。现将10个摆球由平衡位置沿x轴正方 向移动相同的一小段位移,然后同时释放,摆球整体看 上去像舞动的蛇。从左向右,10个摆的振动周期依次(选填“增大”“减小”或“不变”);若摆长 最长的摆为秒摆(周期为2s),则其摆长为 m (取g=9.80m/s2,结果保留1位有效数字)。,【解析】根据单摆周期公式T=2 可知,摆长越长, 其振动周期越大,因此从左向右,10个摆的振动周期依 次减小,同时解得摆长L= 答案:减小 1,【通法悟道】用单摆测重力加速度实验的注意事项 (1)摆长是指摆线的长度和摆球半径之和。 (2)单摆的周期为T= ,t指N次全振动所用时间。 (3)注意表盘的读数。秒针转动一圈,分针转动半格。 (4)在T2-l图线中斜率的大小k= ;在l-T2图线中斜 率的大小k=,【课堂小结】,
