1、11.2.2 数列求和及综合应用名校名师创新预测1.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,a1=2,Sn= an,nN *,则 S10= ( )+12A.50 B.55 C.100 D.110【解析】选 D.因为当 n2 时,S n= (Sn-Sn-1),整理得 = ,所以-1+1-1S10=S1 =2 =110.2132 3142532. 设 x=1 是函数 f(x)=an+1x3-anx2-an+2x+1(nN +)的极值点,数列a n中满足 a1=1, a2=2,bn=log2an+1,若x表示不超过 x 的最大整数,则= ( )2 01812+2 01823+ 2 0182 0182
2、019A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.2 020【解析】选 A.由题可知,f(x)=3a n+1x2-2anx-an+2,则 f(1)=3 an+1-2an-an+2=0即 an+2-3an+1+2an=0an+2-an+1=2(an+1-an),a2-a1=1,a3-a2=21=2,a4-a3=22=22,an-an-1=2n-2,累加得 an=2n-1,故 bn=n, + + =2 018 =(112+ 123+ 12 0182 019)2 018 =2 018- =2 017+ ,2 0182 019 12 019所以 =2 017.2 01812+2 01823+
3、2 0182 0182 0193.已知 f(n)表示正整数 n 的 所有因数中最大的奇数,例如:12 的因数有 1,2,3,4,6,12,则 f(12)=3;21 的因数有 1,3,7,21,则 f(21)=21,那么 f(i)的值为( )2A.2 488 B.2 495 C.2 498 D.2 500【解析】选 D.因为 f(n)表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数,所以把正整数 n 分解为n=2mA,其中 mN,A 是奇数,所以分类讨论如下:当 m=0 时,即 n 为奇数时,f(i)=i,i=51,53,99,共 25 个正整数,当 m=1 时,f(i)= ,i=54,58,98,共 1
4、2 个正整数,2当 m=2 时,f(i)= ,i=52,60,100,共 7 个正整数,4当 m=3 时,f(i)= ,i=56,72,88,共 3 个正整数,8当 m=4 时, f(i)= ,i=80,共 1 个正整数,当 m=5 时,f(i)= ,i=96,共 1 个正整数,32当 m=6 时,f(i)= ,i=64,共 1 个正整数,64所以 f(i)=(51+53+99)+ +(54+58+982 )+ + + =1 875+456+133+27+5+3+1=2 500.(56+72+888 )4.在数列a n中,a 1=0,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(nN *),S
5、100=_. 【解析】当 n 为奇数时,a n+2-an=0,所以 an+2=an=0;当 n 为偶数时,a n+2-an=2,所以 an+2=an+2,即偶数项成公差为 2 的等差数列,所以 S100=502+ 2=2 550.答案:2 5505.数列a n为等差数列,a n为正整数,其前 n 项和为 Sn,数列b n为等比数列,且 a1=3,b1=1,数列 是公比为 64 的等比数列,b 2S2=64.(1)求 an,bn.3(2)求证 + + 0,所以 bn+1-bn=1,所以数列 bn是等差数列,且公差为 d=1,设b n的前 n 项和为 Bn,因为 B7=7b1+ 1=42,所以 b1=3,所以 bn=3+(n-1)=n+2(nN *).(2)由(1)知 cn= + = +2 +2=2+2 ,(1- 1+2)所以 Tn=c1+c2+cn=2n+2=2n+2=2n+3-2 ,(1+1+ 1+2)所以 Tn-2n=3-2(1+1+ 1+2)设 Rn=3-2 ,(1+1+ 1+2)则 Rn+1-Rn=2 = 0,(1+1- 1+3)5所以数列R n为递增数列, 所以(R n)min=R1= ,43因为对任意正整数 n,都有 Tn-2na 恒成立,所以 a .
