1、第一讲 函数的图象与性质,热点题型1 函数的概念及其表示 【感悟经典】 【典例】1.(2018日照一模)已知函数f(x)= 则f =_.,2.若函数f(x)= (a0且a1)的值域是 4,+),则实数a的取值范围是_.,【联想解题】 1.分段函数,求值注意分段处理. 2.看到分段函数的值域问题,想到其值域是各段函数值取值范围的并集.,【规范解答】1.f =ln =-1,f =f(-1)=e-1= . 答案:,2.当x2时,-x+64,要使得函数f(x)的值域为4,+), 只需f1(x)=3+logax(x2)的值域包含于4,+),故a1, 所以f1(x)3+loga2,所以3+loga24,解
2、得1a2,所以 实数a的取值范围是(1,2. 答案:(1,2,【规律方法】 1.求函数定义域的方法 (1)若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组)即可.,(2)在实际问题或几何问题中除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.,2.求函数值的三个关注点 (1)形如f(g(x)的函数求值,要遵循先内后外的原则. (2)对于分段函数求值,应注意依据条件准确地找出利 用哪一段求解. (3)对于周期函数要充分利用周期性把所求自变量转化 到已知区间上.,3.函数值域的求法 求解函数值域的方法有:公式法、图象法、分离常数法、判别式法、换元法、数形结合
3、法、有界性法等,要根据问题具体分析,确定求解的方法.,【对点训练】 1.已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0mn,且f(m) =f(n),若f(x)在m2,n上的最大值为2,则 =_. 【解题指南】判断分段函数单调性,分类讨论求解最值.,【解析】f(x)=|log3x|= 所以f(x)在 (0,1)上单调递减,在1,+)上单调递增,由0f(m)=f(n),则f(x)在m2,n上的最大,值为f(m2)=-log3m2=2,解得m= ,则n=3,所以 =9. 答案:9,2.函数f(x)= 的定义域为_. 【解题指南】注意分子分母定义域取交集.,【解析】要使函数有意义,则 解得0x2,
4、所 以函数的定义域为(0,2). 答案:(0,2),【提分备选】 1.函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是 ( ) A.-3,1 B.(-3,1) C.(-,-31,+) D.(-,-3)(1,+),【解析】选D.由x2+2x-30(x+3)(x-1)0解得x1.,2.设函数f(x)= f(-2)+f(log212)=( ) A.3 B.6 C.9 D.12,【解析】选C.由已知得f(-2)=1+log24=3,又log2121, 所以f(log212)= =6,故f(-2)+f(log212)=9.,3.已知函数f(x)的定义域为R.当x 时,f =f . 则f(6)=( )
5、A.-2 B.-1 C.0 D.2,【解析】选D.当x 时,f =f ,所以当x 时,函数f(x)是周期为1的周期函数,所以f(6)=f(1),又 函数f(x)是奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2.,4.已知函数f(x)= 则f(x)的最小值是 _.,【解析】当x1时,f(x)0; 当x1时,f(x)2 -6,当x= ,x= 时取到等号.因 为2 -60,所以函数的最小值为2 -6. 答案:2 -6,热点题型2 函数的图象及其应用 【感悟经典】 【典例】1.(2018烟台一模) 函数y= 的图象大 致是 ( ),2.已知函数f(x)= 则下列图象表示的函 数是 ( ),A
6、.y=f(|x|) B.y=f(x-1) C.y=f(-x) D.y=|f(x)|,【联想解题】 1.利用函数性质排除. 2.看到分段函数的解析式,想到分段画出函数的图象,再对照选择支给出答案.,【规范解答】1.选D.易知函数y= 是偶函数,可排 除B,当x0时,y=xln x,y=ln x+1,令y0,得xe-1, 所以当x0时,函数在(e-1,+)上单调递增,结合图象 可知D正确.,2.选B.先作y=f(x)的图象,如图,与已知的图象作对照,可知是原图象向右平移1个单位长度,所以所求图象表示的函数为y=f(x-1).,【规律方法】 作图、识图、用图的技巧 (1)作图:常用描点法和图象变换法
7、.图象变换法常用的 有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范 围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对 应关系.,(3)用图:在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.但是,在利用图象求交点个数或解的个数时,作图要十分准确,否则容易出错.,【对点训练】 1.现有四个函数:y=xsin x;y=xcos x;y= x|cos x|;y=x2x的图象(部分)如下,但顺序被打 乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的 一组是 ( ),A. B. C. D.,【解析】选C.y=xsin x是偶函数,所以图
8、象关于y轴对 称,显然与第一个图对应;y=xcos x为奇函数,图象关 于原点对称,且当x0时,函数值有正有负,所以与第三个 图相对应;y=x|cos x|为奇函数,图象关于原点对称, 且当x0时,函数值恒为正值,所以与第四个图相对应; y=x2x为非奇非偶函数,所以与第二个图相对应.,2.(2018杭州一模)如图,已知l1l2,圆心在l1上、半 径为1 m 的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为 x,令y=cos x,则y与时间t(0t1,单位:s)的函数 y=f(t)的图象大致为 ( ),【解析】选B.如图,设MON=,
9、由弧长公式知x=.,在RtAOM中,|AO|=1-t, cos =1-t, 所以y=cos x=2cos2 -1=2(1-t)2-1.又0t1.,【提分备选】 1.函数y= 的图象大致是 ( ),【解析】选C.由题意得,x0,排除A; 当x0,排除B; 又因为x+时, 0, 所以排除D.,2.函数f(x)=2x-4sin x,x 的图象大致是 ( ),【解析】选D.因为函数f(x)是奇函数,所以排除A, B.f(x)=2-4cos x,令f(x)=2-4cos x=0,得x= ,所 以选D.,热点题型3 函数的性质及其应用 【感悟经典】 【典例】1.(2018宜昌一模)已知函数f(x)=ax-
10、a-x (a0,a1),且f(1)0,则关于x的不等式f(x)+f(x2-2) 0的解集为 ( ),A.(-2,1) B.(-,-2)(1,+) C.(-1,2) D.(-,-1)(2,+),2.(2018衡水一模)已知函数f(x)=e|x|,函数g(x)=对任意的x1,m(m1),都有f(x-2) g(x),则m的取值范围是 ( ) A.(1,2+ln 2) B. C.(ln 2,2 D.,【联想解题】 1.根据f(x)为奇函数,且在R上递增,化简不等式,解不等式. 2.画出图象,找出节点,数形结合.,【规范解答】1.选A.由函数f(x)=ax-a-x(a0,a1)知 f(x)为奇函数,由f
11、(1)0得a1,所以f(x)在R上递增, f(x)+f 0等价于f(x)f(2-x2),所以x2-x2,解 得-2x1.,2.选D.作出函数y1=e|x-2|和y=g(x)的图象,如图所示,由 图可知当x=1时,y1=g(1),又当x=4时,y1=e24时,由 4e5-x,得e2x-74,即2x-7ln 4,解得 x +ln 2,又m1,所以1m +ln 2.,【规律方法】 函数三个性质的应用 (1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间 上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问 题时可转化到只研究部分(一半)区间上来,这是简化问 题的一种途径.尤其注意偶函数f(x)的质:f(|
12、x|)=f(x).,(2)单调性:可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性. (3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.,【对点训练】 1.已知函数f(x)= 当x1x2时, 0,则a的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选A.当x1x2时, 0,结合函数单调 性的定义可知函数f(x)= 在R上是减函数, 从而可以得到关系式 进而可求出a的取值 范围是 .,2.(2018淄博一模)已知函数f(x)= ,下列关于函 数f(x)的结论: y=f(x)的值域为R; y=f(x)在(0,+)上单调递减; y=f
13、(x)的图象关于y轴对称;,y=f(x)的图象与直线y=ax(a0)至少有一个交点. 其中正确结论的序号是_.,【解析】函数f(x)= = 其图象如图所 示,由图象可知f(x)的值域为(-,-1)(0,+),故 错;f(x)在(0,1)和(1,+)上单调递减,而在(0,+)上 不是单调的,故错;f(x)的图象关于y轴对称,故正 确;由于f(x)在每个象限都有图象,所以与过原点的直,线y=ax(a0)至少有一个交点,故正确.答案:,【提分备选】1.若函数y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(x)的图象的对称轴方程是 ( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2,【解析】选A.
14、因为f(2x+1)是偶函数, 所以f(2x+1)=f(-2x+1)f(x)=f(2-x), 所以f(x)图象的对称轴为直线x=1.,2.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1) 时,f(x)= 则f =_.,【解析】f =f =f =-4 +2=1. 答案:1,逻辑推理函数图象中的数学素养 【相关链接】 1.数形结合的两种情形:(1)借助形的生动性和直观性 来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比 如应用函数的图象来直观地说明函数的性质.,(2)借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.,2.实
15、现数形结合,常与以下内容有关:(1)实数与数轴上的点的对应关系.(2)函数与图象的对应关系.(3)曲线与方程的对应关系.(4)以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等.(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.,【典例】(2018镇海一模)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)2+f(x)+t,tR,则下 列判断不正确的是( ) A.若t= ,则g(x)有一个零点 B.若-2t ,则g(x)有两个零点,C.若t-2,则g(x)有四个零点 D.若t=-2,则g(x)有三个零点,【规范解答】选C.作出函数f(x)的图象如图所示,当t= 时,由f(x)2+f(x)+t
16、=0得f(x)=- ,结合图象知g(x)有一个零点,故A正确;当-2t 时,由 f(x)2+f(x)+t=0知f(x)的一个值小于- ,另一个值 大于- 小于1,结合图象知g(x)有两个零点,故B正确; 当t-2时,由f(x)2+f(x)+t=0知f(x)的一个值小于-2, 另一个值大于1,结合图象知g(x)有三个零点,故C不正 确;当t=-2时,f(x)=1或-2,结合图象知,g(x)有三个零 点,故D正确.,【通关题组】 1.设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)= -2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选C.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 可得b=4,c=2.所以f(x)= 图象如图所示.,方程f(x)=x解的个数即y=f(x)与y=x图象的交点个数.由图知两图象有A,B,C三个交点,故方程有3个解.,2.若函数f(x)= 则当k0时,函数y=f(f(x)+1 的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选D.结合图象分析.当k0时,f(f(x)=-1,则 f(x)=t1 或f(x)=t2(0,1).对于f(x)=t1,存在 两个零点x1,x2;对于f(x)=t2,存在两个零点x3,x4,共存 在4个零点.,
