1、1第二讲 函数与方程及函数的应用(40分钟 70 分)一、选择题(每小题 5分,共 30分)1.(2018华师一附中一模)已知 f(x)是定义在 R上的奇函数,且 x0时,f(x)=ln x-x+1,则函数 g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)的零点个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 C.当 x0时,f(x)=ln x-x+1,f(x)= -1= ,所以 x(0,1)时,1-f(x)0,此时 f(x)单调递增;x(1,+)时,f(x)0时,f(x) max=f(1)=ln 1-1+1=0.根据 函数 f(x)是定义在 R上的奇函数作出函数 y=f(x)与 y=ex
2、的大致图象,如图,观察到函数 y=f(x)与 y=ex的图象有两个交点,所以函数 g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)有 2个零点.2.函数 f = ln x-x ,若 f 0的解集为 ,且 中只() () (,) (,)有一个整数,则实数 k的取值范围为 ( )A. B.(12-2,13-43C. D.(13-43,122-1 (13-43,122-1)【解析】选 B.f 0 只有一个整数解等价于 kx+4 只有一个大于 1的整数解,设 g = ,则 g = ,可得 g 在 上递减,在() ()-1()2 () (1,)上递增,由图可知,kx+4 只有一个大于 1的整数解只能是 2
3、,所以 -20,g(x)在区间(0,e)上单调递增;当 xe时,g(x)1),方程 t=|x2-1|有两个不等实根,所以原方程有 2个不同的实根.(2)当 k= 时,方程(*)有两个相等正根 t= ,方程 =|x2-1|有四个不等实根,所以原方程有12 124个不同的实根.(3)当 k=0时,方程(*)有两个不等实根 t=0或 t=1,方程 0=|x2-1|有两个不等实根,方程1=|x2-1|有三个不等实根,所以原方程有 5个不同的实根.(4)当 01时,00恒成立,即对于任意 bR,b 2-4ab+4a0恒成立,所以有(-4a) 2-4(4a)0,所以 f(2)0.又因为 f(2)=22+(
4、m-1)2+1,所以 m- .而当 m=- 时,f(x)=0 在0,2上有两解 和 2,所以 m0) 【解析】因为函数 f(x)= 有 3个零点,图象2+2+1,(-20) 如图:所以 a0且 f(x)=ax2+2x+1在(-21或- 2,故选 D.2 282.若直线 ax-y=0(a0)与函数 f(x)= 图象交于不同的两点 A,B,且点 C(6,0),若点 D(m,n)满足 + = ,则 m+n= ( )A.1 B.2 C.3 D.a【解析】选 B.因为 f(-x)= = =-f(x),且直线22(-)+1 2-2+22+1- 2+2-ax-y=0经过坐标原点,所以 A,B关 于原点对称,
5、即 xA+xB=0.yA+yB=0,又 =(xA-m,yA-n), =(xB-m,yB-n), =(m-6,n),由 + = 得,x A-m+xB-m=m-6,yA-n+yB-n=n,解得m=2,n=0,所以 m+n=2,故选 B.(20分钟 20 分)1.(10分)设函数 f(x)=x3- x2+6x-a.(1)对于任意实数 x,f(x)m 恒成立,求 m的最大 值.(2)若方程 f(x)=0有且仅有一个实根,求 a的取值范围.【解析】(1)f(x)=3x 2-9x+6=3(x-1)(x-2).因为 xR,f(x)m,即 3x2-9x+(6-m)0 恒成立,所以 =81-12(6-m)0,即m- ,即 m的最大值为- .34(2)因为当 x0,当 12时,f(x)0; 所以当 x=1时,f(x)取极大值 f(1)= -a;当 x=2时,f(x)取极小值 f(2)=2-a;52故当 f(2)0或 f(1) .522.(10分)已知函数 f(x)= x=- 是函数 y=f(x)的极值(2+2)-,0,f(x) 单调递增,f(x)(2-2 )2 2 2,0).当 b0时,f(x)的大致图象如图(3)所示,则 m(2-2 ) ,+).综上,当 b0,m(2-2 ) ,+).22
