1、1第三讲 导数的简单应用(40分钟 70 分)一、选择题(每小题 5分,共 30分)1.已知直线 y=kx+1与曲线 y=x3+mx+n相切于点 A(1,3),则 n= ( )A.-1 B.1 C.3 D.4【解析】选 C.对于 y=x3+mx+n,y=3x 2+m,而直线 y=kx+1与曲线 y=x3+mx+n相切于点 A(1,3),则有 可解得 n=3. 3+=,+1=3,1+=3,2.函数 f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.无数个【解析】选 A.函数定义域为(0,+),且 f(x)=6x+ -2= ,1 62-2+1由于 x0,g(x)=
2、6x2-2x+1中 =-200恒成立,故 f(x)0 恒成立,即 f(x)在定义域上单调递增,无极值点.3.设函数 f(x)= +ln x,则 ( )2A.x= 为 f(x)的极大值点12B.x= 为 f(x)的极小值点C.x=2为 f(x)的极大值点D.x=2为 f(x)的极小值点【解析】选 D.由函数 f(x)= +ln x求导数得 f(x)=- + = ,函数定义域为2 221(0,+),所以在区间(0,2)上,f(x)0,f(x)是增函数,所以 x=2为 f(x)的极小值点.24.(2018菏泽一模)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d的图象如图所示,则函数 y=log2的单调递
3、减区间为 ( )(2+23+3)A. B.3,+)12,+ )C.-2,3 D.(-,-2)【解析】选 D.因为 f(x)=x3+bx2+cx+d,所以 f(x)=3x 2+2bx+c,由图可知 f(-2) =f(3)=0,所以 解得 令 g(x)=x2+ bx+ ,则 g(x)=x2-12-4+=0,27+6+=0, =-32,=-18. 23 3x-6,g(x)=2x-1,由 g(x)=x2-x-60,解得 x3.当 x0),则 b-a的最大值为 ( )A. B.1 C. D.212 32【解析】选 A.由题意得,ba0,所以 g(x)=2x+2b0 在(a,b)上恒成立,所以问题等价于
4、f(x)=x 2-2a0 在(a,b)上恒成立,所以(x 2-2a)max=b2-2a0,所以 b-ab- b2=- (b-1)2+ ,12 12 12123当且仅当 b=1,a= 时,等号成立,所以 b-a的最大值为 .126.(2018唐山一模)设函数 f(x)与 g(x)是定义在同一区间a,b上的两个函数,若对任意的xa,b,都有|f(x)-g(x)|k(k0),则称 f(x)和 g(x)在a,b上是“k 度和谐函数”,a,b称为“k 度密切区间”.设函数 f(x)=ln x与 g(x)= 在 上是“e 度-1和谐函数”,则 m的取值范围是 ( )A.-e-1,1 B.-1,e+1C.
5、D.1-,1+ 1+1-,1+【解析】选 B.设 h(x)=f(x)-g(x)=ln x- =-m+ +ln x,h(x)=- + =-1 1 121,故当 x 时 ,h(x) +1,所以 h h(e),故函数 h(x)的最大值为 h =-m+e-1.故函数 h(x)在(1) (1)上的值域为-m+1,-m+e-1.由题意,|h(x)|e,即-eh(x)e,所以解得-1m1+e.-+1-,-+-1,二、填空题(每小题 5分,共 10分)7.曲线 y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为_. 【解析】y=e x+xex+2,斜率 k=e0+0+2=3,所以,y-1=3x,即 y=3x+1
6、.答案:y=3x+18.已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a的取值范围是_. 【解析】函数 f(x)=x(ln x-ax),则 f(x )=ln x-ax+4x =ln x-2ax+1, 令 f(x)=ln x-2ax+1=0,得 ln x=2ax-1,因为函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,所以 f(x)=ln x-2ax+1有两个零点,等价于函数 y=ln x与 y=2ax-1的图象有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象,过点(0,-1)作 y=ln x的切线 ,设切点为(x 0,y0),则切线的斜率 k= ,切线方程为 y= x-1. 切点在
7、切10线上,则 y0= -1=0,又切点在曲线 y=ln x上,则00ln x0=0x0=1,即切点为(1,0).切线方程为 y=x-1.再由直线 y=2ax-1与曲线 y=ln x有两个交点,知直线 y=2ax-1位于两直线 y=-1和 y=x-1之间,其斜率 2a满足 00).(1)求函数 f(x)的单调区间.(2)求函数 f(x)在 上的最大值.1,2【解析】(1)f(x)=x-e ax(a0),则 f(x )=1-aeax,令 f(x)=1-ae ax=0,则 x= ln .1当 x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:xln 1 1f(x) + 0 -f(x) 极大值5故函数
8、f(x)的单调递增区间为 ;(-, 1 1)单调递减区间为 .(1 1,+ )(2)当 ln ,1 12即 00时,能够求出f(x)的最大值为 g = -ln a,可设 h(a)= -ln a,该函数在(0,+)上为减函数,并且(1)12 12h(1)0,h(2)0,容易求得函数 t-ln t的最小值为 1,从而得到(x 1+x2)2+(x1+x2)1,解这个关于x1+x2的一元二次不等式即可得出要证的结论.【解析】(1)f(x)= (x0),-22+1所以 x1 时,f(x)0;所以 f(x)的单调减区间为1,+).(2)令 g(x)=f(x)-(2-1)2+-1=ln x- ax2+(1-
9、a)x+1,12所以 g(x)= ,(-+1)(+1)当 a0 时,因为 x0,所以 g(x)0;所以此时 g(x)在(0,+)上是递增函数;又 g(1)=- a+20;32所以 g(x)0 不能恒成立 ,即关于 x的不等式f(x) x2+ax-1不能恒成立;所以这种情况不存在;7当 a0时,g(x)= ;所以当 x 时,g(x)0;(0,1)当 x 时,g(x)0,h(2)= -ln 20,因此 x1+x2 成立 .5-1211.设函数 f(x)= -ax.(1)若函数 f(x)在(1,+)上为减函数,求实数 a的最小值.(2)若存在 x1,x2e,e 2,使 f(x1)f(x 2)+a成立
10、,求实数 a的取值范围.8【解析】(1)由已知得 x0,x1.因为 f(x)在(1,+)上为减函数,故 f(x)= -a0 在(1,+)上恒成立.所以当 x(1,+)时,f(x) max0.又 f(x)= -a=- + -a=- + -a,(1-12)214故当 = ,即 x=e2时,f(x) max= -a.12 14所以 -a0,于是 a ,故 a的最小值为 .14 14 14(2)命题“若存在 x1,x2e,e 2,使 f(x1)f(x 2)+a成立”等价于“当 xe,e 2时,有f(x)minf(x) max+a”.由(1),当 xe,e 2时,f(x) max= -a,所以 f(x)
11、 max+a= .问题等价于“当 xe,e 2时,14有 f(x)min ”.14当 a 时,由(1),f(x)在e,e 2上为减函数.14则 f(x)min=f(e2)= -ae2 ,故 a - .22 14 12当- 0.从而,f(x)的单调减区间是(-,0),单调增区间是(0,+).(2)由已知条件得 ex-(a+1)xb.()若 a+10,设 g(x)=ex-(a+1)x,10则 g(x)=e x-(a+1).当 x(-,ln(a+1)时,g(x)0.从而 g(x)在(-,ln(a+1)上单调递减,在(ln(a+1),+)上单调递增.故 g(x)有最小值 g(ln(a+1)=a+1-(
12、a+1)ln(a+1).所以 f(x) x2+ax+b等价于 ba+1-(a+1)ln(a+1).因此(a+1)b(a+1) 2-(a+1)2ln(a+1).设 h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则 h(a)=(a+1)1-2ln(a+1).所以 h(a)在(-1, -1)上单调递增,在( -1,+)上单调递减,12 12故 h(a)在 a= -1处取得最大值.12从而 h(a) ,即(a+1)b .2 2当 a= -1,b= 时,式成立,12故 f(x) x2+ax+b.12综合得,(a+1)b 的最大值为 .22.(10分)(2018新乡一模)已知函数 f(x)=(x+a
13、)ln x,g(x)= ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线 2x-y-3=0平行.(1)求证:方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根.(2)设函数 m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示 p,q中的较小者),求 m(x)的最大值.11【解析】(1)由题意知,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为 2,所以 f(1)=2,又 f(x)=ln x+ +1,所以 a=1.所以 f(x)=(x+1)ln x.设 h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x- ,当 x(0,1时,h(x)1-1=0,42 42所以存在 x0(1,2),使 h
14、(x0)=0.因为 h(x)=ln x+ +1- ,1 (2-)当 x(1,2)时,0e,所以 01- 0,1所以当 x(1,2)时,h(x)单调递增,所以方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根.(2)由(1)知,方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根 x0,且 x(0,x 0)时, f(x)0,当 x(2,+)时,h(x)0,所以当 x(x 0,+)时,h(x)0,所以当 x(x 0,+)时,f(x)g(x),所以 m(x)=(+1), (0,0,2, (0,+). 当 x(0,x 0)时,若 x(0,1,则 m(x)0;12若 x(1,x 0,由 m(x)=ln x+ +10,可知 00,m(x)单调递增;(2-)x(2,+)时,m(x)0,m(x)单调递减.可知 m(x)m(2)= ,且 m(x0)m(2).42综上可得,函数 m(x)的最大值为 .42
