1、1第四讲 导数的综合应用(40分钟 70 分)一、选择题(每小题 5分,共 30分)1.设函数 f(x)= x2-9ln x在区间 a-1,a+1上单调递减,则实数 a的取值范围是 ( )12A.1f(x) 成立,若 f(ln 4)=2,则不等式f(x) 的解是 ( )A.xln 4 B.01 D.0 ,所以 g(x)0 在 R上恒成立,因此 g(x)= 在 R上是增函数,g(ln 4)= = = =1,由 f(x) ,得 g(x)=221,所以 g(x)g(ln 4),由于 g(x)在 R上是增函数,所以 xln 4.34.已知函数 f(x)= x2-x-ln x,则函数 f(x)的最小值为
2、 ( )38A.- -ln B.- -ln 212 23 12C.- D.- +ln 358【解析】选 B.因为 f(x)= x2-x-ln x,所以 f(x)= x-1-38= ,(x0),令 f(x)=0,得 x=2,当 x(0,2)时,f(x)0,所以函数 f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以当 x=2时,f(x)有最小值 f(2)=- -ln 2.125.已知函数 f(x)=x2+ +4ln x,g(x)=kx-1,若 f(x)g(x),则 k的取值范围为 ( )2A.(-,4 B.(-,4)C.(0,4) D.(-,3【解析】选 A.因为 f(x)=x2+ +
3、4ln x,x0,所以 f (x)=2x- + =4,构造函数 h(x)=x3+2x-1,x0,是增函数,h(0)=-1,h = ,所2(3+2-1)2 18以存在唯一的 x0 使得 h(x)=0,所以在区间(0,x 0)上,h(x)0,f(x)0,f(x)是增函数,如图,于是问题转化为过点(0,-1),作曲线 y=f(x)的切线,求斜率 k,设切点为 P(x1,y1),则切线斜率为 f(x 1)4=2x1- + ,所以 2x1- + = ,又 y1= + +4ln x1,所以 x1=1,所以切线方22141221411+11-021程为 y=4x-1,由图象可知 k的取值范围为 k4.6.(
4、2018惠州模拟)已知函数 f(x)=xsin x+cos x+x2,则不等式 f(ln x)+ f 0,所以 f(x)在(0,+)上单调递增,在(-,0)上单调递减,所以 f(ln x)0,故 g(x)0,g(x)为增函数,当 x(1,+)时,h(x)0),h(x)=1- - =1+ = ,(+1)-(1+)2当 a+10,即 a-1时,在(0,1+a)上 h(x)0,所以 h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+)上单调递增.当 1+a0,即 a-1 时,在(0,+)上 h(x)0,所以函数 h(x)在(0,+)上单调递增.综上所述,当 a-1时,h(x)的单调递减区间为 (0,
5、1+a),单调递增区间为(1+a,+);当 a-1时,h(x)的单调递增区间为(0,+).(2)若存在 x01,e,使得 f(x0) ,1+因为 e-1,所以 a .当 1+a1,即 a0 时,h(x)在1,e上单调递增,所以 h(x)的最小值为 h(1),由 h(1)=1+1+a20,不合题意.综上可得所求 a的取值范围是(-,-2) .10.已知函数 f(x)=ax+ln x,aR,(1)求 f(x)的单调区间.(2)设 g(x)=x2-2x+1,若对任意 x1(0,+),总存在 x20,1,使得 f(x1)0).1当 a0 时,由于 x0,故 ax+10,f(x)0,所以 f(x)的单调
6、递增区间为(0,+).当 a0,f(x)单调递增.1在区间 上,f(x)-1-ln(-a),解得 a 时,f(x)0.1 1故当 x= 时,f(x)取得最小值 ,最小值为1f( )= ln +m=- +m=0,得 m= .111 1 1(2)f(x)=ln x+1.设 F(x)=f(a)+f(x)-2f( ),则+2F(x)=f(x)-2f( )=lnx-ln ,+2 +2令 F(x)=0,得 x=a,当 0a时,F(x)0,因此 F(x)在(a,+)上为增函数.从而,当 x=a时,F(x)有极小值 F(a).因为 F(a)=0,ba,所以 F(b)0即 00时,G(x)a,所以 G(b)0
7、在 R上恒成立,所以10f(x)在 R上为增函数.当 a0时,令 f(x)0 得 xln a,令 f(x)0时, f(x)的递增区间为(ln a,+),递减区间为(-,ln a),又 f(0)=e0,当 x+时,f(x)+,所以 f(x)有两个零点 x1,x2,则 f(x)min=f(ln a)=a-aln a=a(1-ln a)e. (3)由(1)知,当 ae时,f(x)有两个零点 x1,x2,且 f(x)在(ln a,+)上递增, 在(-,ln a)上递减,依题意,f(x 1)=f(x2)=0,不妨设 x1f(2ln a-x2), 又 f(x1)=f(x2)=0,即证 f(x2)f(2ln a-x2),(x2ln a). 构造函数 g(x)=f(x)-f(2ln a-x)=ex- -2ax+2aln a(xln a), g(x)=e x+ -2a2 -2a=0,所以 g(x)在(ln a,+)上单调递增,2所以 g(x)g(ln a)=0,从而 f(x)f(2ln a-x),所以 f(x2)f(2ln a-x2),(x2ln a),命题成立.
