1、1专题六 函数与导数高频考点真题 回访1.(2018全国卷)函数 f = 的图象大致为 ( )【解题指南】 本题考查了函数的图象与性质的运用,重在考查识图能力,注意应用函数的奇偶性与单调性.【解析】选 B.因为 x0,f(-x)= =-f(x),所以 f(x)为奇函数,舍去 A,因为 f(1)=e-e-10,所以舍去 D;因为 f(x)=(+-)2-(-)24= ,所以 x2,f(x)0,所以舍去 C;因此选 B.2.(2017全国卷)函数 f(x)=ln(x2-2x-8) 的单调递增区间是 ( )A.(-,- 2) B.(-,1)C.(1,+) D.(4,+)【解析】选 D.函数有意义,则
2、x2-2x-80,解得:x4,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(4,+).3. (2017全国卷)已知函数 f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( )A.f(x)在(0,2)单调递增2B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称【解析】选 C.由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以 f(x)的图象关于直线 x=1对称,C正确,D 错误;又 f(x)= - = (00,133+(13)所以 f(x)=3x- 在 R 上是增函数.6.(2018全国卷)设函数
3、f = 则满足 f 0, (2)取值范围是 ( )A. B.(-, -1C. D.【解析】选 D.取 x=- ,则化为 f 2 时,f (x)0.所以 f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.(2)当 a 时,f(x) -ln x-1.1 设 g(x)= -ln x-1,则 g(x)= - . 1当 01 时,g(x)0.所以 x=1 是 g(x)的最小值点.故当 x0 时,g(x)g(1)=0.因此,当 a 时,f(x)0.111.(2018全国卷)已知函数 f = x3-a .13(1)若 a=3,求 f(x)的单调区间.(2)证明:f(x)只有一个零点.【解题指南】本题考
4、查利用导数的有关知识来求解函数的单调区间以及研究函数的零点,意在考查考生的化归与转化能力,分类讨论的思想运用以及求解能力.【解析】(1)当 a=3 时,f(x)= x3-3x2-3x-3,f (x)=x 2-6x-3.13令 f (x)=0 解得 x=3-2 或 3+2 .3 3当 x(-,3-2 )或(3+2 ,+)时,f (x)0;3 3当 x(3-2 ,3+2 )时,f (x)0,所以 f(x)=0 等价于 -3a=0.设 g(x)= -3a,则 g (x)= 0,仅当 x=0 时 g (x)=0,所以 g(x)在(-,+)上单调递增.故 g(x)至多有一个零点.又 f(3a-1)=-6
5、a2+2a- =-6 - 0,故 f(x)有一个零点.13 16 13综上,f(x)只有一个零点.12.(2018全国卷)已知函数 f = .2+-1(1)求曲线 y=f 在点 处的切线方程.(2)证明:当 a1 时,f +e0.【解析】(1)f(x)的定义域为 R,f(x)= ,-2+(2-1)+2显然 f(0)=-1,即点(0,-1)在曲线 y=f(x)上,所求切线斜率为 k=f(0)=2,所以切线方程为 y-(-1)=2(x-0),即 2x-y-1=0.(2)方法一(一边为 0):令 g(x)=-ax2+(2a-1)x+2,当 a1 时,方程 g(x)的判别式 =(2a+1) 20,由
6、g(x)=0 得,x=- ,2,且- 4a+2-10,ex0,所以 f(x)= 0,f(x)+e0,2+-1综上,当 a1 时,f(x)+e0.方法二(充要条件):当 a=1 时,f(x)= .显然 ex0,要证 f(x)+e0 只需证 -2+-1 2+-1e,即证 h(x)=x2+x-1+eex0,h(x)=2x+1+ee x,观察发现 h(-1) =0,x,h(x),h(x)的关系如下x (-,-1) -1 (-1,+)h(x) - 0 +h(x) 极小值 所以 h(x)有最小值 h(-1)=0,所以 h(x)0 即 f(x)+e0.当 a1 时,由知, -e,又显然 ax2x 2,2+-
7、1所以 ax2+x-1x 2+x-1,f(x)= -e,即 f(x)+e0.2+-1 2+-1综上,当 a1 时,f(x)+e0.方法三(分离参数):当 x=0 时,f(x)+e=-1+e0 成立.当 x0 时,f(x)+e0 等价于 -e,2+-1等价于 ax2+x-1-ee x,7即 ax2-ee x-x+1 等价于 a =k(x),等价于 k(x)max1.k(x)= ,令 k(x)=0 得 x=-1,2.x,k(x),k(x)的关系如下x (-,-1) -1 (-1,0) (0,2) 2 (2,+)k(x) + 0 - + 0 -k(x) 极大 值 极大 值 又因为 k(-1)=1,k(2)=- 0,1+34所以 k(x)max=1,k(x)1,x0,综上,当 a1 时,f(x)+e0.【方法技巧】有关切 线方程的三条性质 :设切点为 P(x0,y0),则切点在曲线上,即 y0=f(x0);切线斜率等于切点处的导数,即 k=f(x 0);切点在切线上,即切线方程为 y-y0=k(x-x0).
