1、1第二讲 概率及其与统计的综合应用(25分钟 50 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.中华好诗词是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目,旨在弘扬中国古代诗词文化,观众可以选择从 A,B,C和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看,若甲、乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目,则甲、乙两人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是 ( )A. B. C. D.38 14【解析】选 B.甲、乙两人从 A,B,C和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有 44=16(种)等可能情况,其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的情况有 23=6(种),所以所求概率为: = .382.如果一个三
2、位数的各位数字互不相同,且各位数字之和等于 10,则称此三位数为“十全十美三位数”(如 235),任取一个“十全十美三位数”,该数为奇数的概率为 ( )A. B. C. D.1320 12【解析】选 C.十全十美三位数分为以下 2类:(1)含有 0:0,1,9;0,2,8;0,3,7;0,4,6,因为数字 0不能排在首位,所以数字 0只能排在个位或十位,其余两个数字排在余下的两个位置,所以这一类的十全十美三位数共有 422=16个.其中奇数有 4个.(2)不含有数字 0:1,2,7;1,3,6;1,4,5;2,3,5,所以这一类的十全十美三位数共有432=24个.其中奇数有 16个,所以共有十
3、全十美三位数 16+24=40个,其中奇数有4+16=20个,所以任取一个十全十美三位数,该数为奇数的概率为 = .2040123.在边长为 2的正方形中随机取一点,则该点来自正方形的内切圆及其内部的概率是 ( )A. B. C. D.12 4 2 42【解析】选 D.正方形的面积为 4,内切圆的面积为 ,所以所求的概率为 .44.若在区间-3,3内任取一个实数 m,则使直线 x-y+m=0与圆(x-1) 2+(y+2)2=4有公共点的概率为 ( )A. B. C. D.13 35 223【解析】选 C.圆心(1,-2)到直线 x-y+m=0的距离为 d= ,因为直线与圆有|1+2+|2公共点
4、,所以 2,解得-3- 2 m-3+2 ,又因为 m-3,3,所以|1+2+|2 2 2所求的概率为 = .2265.在区间 上随机取一个数 x,则(sin x+cos x)1, 的概率是 ( )2A. B. C. D.23 34 12 13【解 析】选 B.因为 x ,由 sin x+cos x= sin 1, ,所以2 (+4) 2x ,所以所求的概率为 = .34二、填空题(每小题 5分,共 15分)6.在矩形 ABCD中,AB=4,AD=3,若向该矩形内随机投一点 P,那么使得ABP 与ADP 的面积都不小于 2的概率为_. 【解析】因为在矩形 ABCD内随机投一点 P,所以基本事件空
5、间的度量为矩形的面积 43=12,设三角形 ABP的高为 h1,由 4h12 得 h11,设 三角形 ADP的高为 h2,由1233h22 得 h2 ,所以使得三角形 ABP与三角形 ADP的面积都不小于 2的 P对应的区域(如图)为阴影部分,它的面积为 ,所以所求的概率为 = .49答案:497.一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄在20,60内的顾客中,随机抽取了 180人,调查结果如表:年龄(岁)类型20, 30)30, 40)40, 50)50, 60使用 45人 30人 15人 15人未使用 0人 10人 20人 45人某机构从被调查的使用移动
6、支付的顾客中,按年龄分层抽样的方式抽取 7人作跟踪调查,并给其中 2人赠送额外礼品,则获得额外礼品的 2人年龄都在20,30)内的概率为_. 【解析】按年龄分层抽样时,抽样比例为 = ,所以应从20,30)内745+30+15+15抽取 3人,从30,40)内抽取 2人,从40,50)内抽取 1人,从50,60)内抽取 1人.记选出年龄在20,30)内的 3人为 A,B,C,其他 4人为 a,b,c,d,7个人中选取 2 人赠送额外礼品,有以下情况:AB,AC,Aa,Ab,Ac,Ad,BC,Ba,Bb,Bc,Bd,Ca,Cb,Cc,Cd, ab,ac,ad,bc,bd,cd.共有 21种不同的
7、情况,其中获得额外礼品的 2人都在20,30)内的情况有 3种,4所以,获得额外礼品的 2人年龄都在20,30)内的概率为 = .17答案:178.为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况,从这两所学校中分别随机抽取 30名高三年级的地理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图所示:从样本中甲、乙两校高三年级学生地 理成绩不及格(低于 60分为不及格)的学生中随机抽取 2人,则至少抽到一名乙校学生的概率为_. 【解析】由茎叶图可知,甲校有 4位同学成绩不及格,分别记为:1,2,3,4;乙校有 2位同学成绩不及格,分别记为:5,6.则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能:(
8、1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),总共有 15个基本事件.记“至少包含乙校一名学生成绩不及格”的事件为 A,则 A包含 9个基本事件,如下:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),( 3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).所以,P(A)= = .35答案:35三、解答题9.(10分)2017 年 5月 27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与 AlphaGo的人机大战中中盘弃子认输,至此柯洁与 AlphaGo的三场比赛全部结束,
9、柯洁三战全负,这次人5机大战再次引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查,根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于 40分钟的学生称为“围棋迷”.(1)请根据已知条件完成下面 22列联表,并据此资料你是否有 95%的把握认为“围棋迷”与性别有关?非围棋迷 围棋迷 合计男女 10 55合计(2)为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平,从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取 5名学生组队参加校际交流赛,首轮该校需派两名学生出赛,若从 5名学生中随机抽取 2人出赛,求 2人恰好一男一女的概率.【解析】(1)由频
10、率分布直方图可知,(0.020+0.005)10100=25,所以在抽取的 100人中,“围棋迷”有 25人,从而 22列联表如下非围棋迷 围棋迷 合计男 30 15 45女 45 10 55合计 75 25 100K2=(-)2(+)(+)(+)(+)= = 3.030,因为 3.03029%,所以甲公司的影响度高.(2)甲公司年旅游总收入10,20)的人数为 0.0110100=10(人);年旅游总收入20,40)的人数为(0 .025+0.035)10100=60(人);年旅游总收入40,60的人数为(0.02+0.01)10100=30(人);故甲公司导游的年平均奖金 = =2.2(万
11、元).110+602+303100(3)由已知得,年旅游总收入在50,60的人数为 15人,其中甲公司 10人,乙公司 5人.按分层抽样的方法甲公司抽取 6 =4人,记为 a,b,c,d;从乙公司抽取 6 =2人,记为 1,2.则10156人中随机抽取 2人的基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),(c,d),(c,1),(c,2), (d,1),(d,2),(1,2)共 15个.参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有:(a,1),(a,2),(b,1),(b,2), (c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2)共 9个.设事件 A为“参加座谈的导游中有乙公司导游”,则 P(A)= = ,35所以所求概率为 .35
