1、1专题综合检测练（五）(120 分钟 150 分)第卷(选择题,共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018江西名校学术联盟)已知直线 l 将圆 C:x2+y2-6x+6y+2=0 的周长平分,且直线 l 不经过第 三象限,则直线 l 的倾斜角 的取值范围为 ( )A.90135 B.90120C.60135 D.90150【解析】选 A.依题意,圆 C:(x-3)2+(y+3)2=16,易知直线 l 过圆 C 的圆心(3,-3);因为直线l 不经过第三象限,结合正切函数图象可知,90135.2.(2018浙
2、江省重点中学联考)双曲线 - =1 的离心率是 ( )2924A. B. C. D.132 133【解析】选 D.因为 a=3,b=2,所以 c= = ,所以离心率是 e= = .2+2 1333.(2018绍兴一模)如图,已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的左焦点为 F,A 为虚轴的一2222端点.若以 A 为圆心的圆与 C 的一条渐近线相切于点 B,且 =t (tR),则该双曲线的离心率为 ( )A.2 B. C. D.51+32 1+52【解析】选 D.由题意 b2=ac,所以 c2-a2=ac,解得离心率为 .1+5224.(2018昆明一模)已知直线 l:y= x+m 与圆 C
3、:x2+(y-3)2=6 相交于 A,B 两点,若3ACB=120,则实数 m 的值为 ( )A.3+ 或 3- B.3+2 或 3-26 6 6C.9 或-3 D.8 或-2【解析】选 A.因为ACB=120,半径为 ,所以圆心到直线的距离为 ,所以6= ,解得 m=3+ 或 m=3- .6 65.(2018哈尔滨一模)已知 F1,F2分别为双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点,点 P2222为双曲线 C 右支上一点,直线 PF1与圆 x2+y2=a2相切,且|PF 2|=|F1F2|,则双曲线 C 的离心率为 ( )A. B. C. D.2103 43 53【解析】选 C.因为
4、直线 PF1与圆 x2+y2=a2相切,|PF 2|=|F1F2|,所以|PF 1|=4b,所以|PF 1|-|PF2|=4b-2c=2a,所以 2b=c+a,所以双曲线 C 的离心率为 .536.圆 x2+y2=1 与直线 y=kx-3 有公共 点的充分不必要条件是 ( )A.k-2 或 k2 B.k-22 2 2C.k2 D.k-2 或 k22【解析】选 B.圆 x2+y2=1 与直线 y=kx-3 有公共点 1 k-2 或 k22,所以“k-2 ”是“ 圆 x2+y2=1 与直线 y=kx-3 有公共点”的充分不必要条件.2 237.椭圆 + =1 与双曲线 + =1(120,b0)中心
5、 O(坐标原点)为圆心 ,焦距为直径的圆与双曲线在第一2222象限内交于 M 点,F 1,F2分别为双曲线的左、右焦点,过点 M 作 x 轴的垂线,垂足恰为 OF2的中点,则双曲线的离心率为 ( )A. -1 B. C. +1 D.23 3【解析】选 C.由题意知点 M 的坐标为 M ,代入双曲线方程可得 -(2,32) 3242=1,因为 b2=c2-a2,e= ,所以 e4-8e2+4=0,所以 e2=4+2 ,所以 e= +1.3 39.抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若三角形 OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的面积为 36,则 p的
6、值为 ( )A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选 D.设OFM 的外接圆圆心为 O1,则|O 1O|=|O1F|=|O1M|,所以 O1在线段 OF 的中垂线上,又因为 O1与抛物线的准线相切,所以 O1在抛物线上,所以 O1 ,又圆面积为 36,所以半径为 6,所以 + p2=36,所以 p=8.12410.(2018惠州一模)ABC 中,B= ,A,B 分别是双曲线 E 的左、右焦点,点 C 在 E 上,23且|AB|=|BC|,则 E 的离心率为 ( )A. -1 B. +1 C. D.33+12【解析】选 D.由|BC|=|BA|=2c,则|CA| 2=|BC|2+|BA|2-2|
7、BC|BA|cosB =12c 2,2a=|CA|-|CB|=2 c-2c,3所以 = = . 3+1211.在ABC 中,AB=BC,cos B=- .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e=( )A. B. C. D.34 37 38【解析】选 C.设|AB|=x0,则|BC|=x,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=x2+x2-2x2 = x2,所以|AC|= x,53由条件知,|CA|+|CB|=2a,AB=2c,所以 x+x=2a,x=2c,所以 e= = = = .53 22833812.已知双曲线 - =1 的离心率为 e=2,右焦点 F 到其渐近线
8、的距离为 .抛物线2222y2=2px 的焦点与双曲线的右焦点 F 重合.过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于 A,B 两点,正三角形 ABC 的顶点 C 在直线 x=-1 上,则ABC 的边长是 ( )A.8 B.10C.12 D.145【解析】选 C.因为双曲线 - =1 的离心率 e=2,所以 =2a= ,因为双曲线右焦点 F 到2222 2其渐近线的距离为 ,所以 = b= ,故 c2-a2=b2= ,即 c2- =|-0|2+2 34c=1.34双曲线的右焦点也即抛物线的焦点为 F(1,0),所以抛物线的方程为 y2=4x,设 AB 的中点为 M,过A,B,M 分别作 AA1,BB1
9、,MN 垂直于直线 x=-1 于 A1,B1,N,设AFx=,由抛物线定义知:|MN|=(|AA1|+|BB1|)= |AB|,因为| MC|= |AB|,12 12所以|MN|= |MC|,因为CMN=90-, 所以 cosCMN=cos(90-)= = ,即 sin = ,又由抛物线定义知|AF|=,|BF|= ,所以|AB|= =12,即正三角形 ABC 的边长为 12.42第卷(非选择题,共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上)13.(2018赣南四校联考)已知圆 过点 A(5,1),B(5,3),C(-1,1),则圆 的圆
10、心到直线l:x-2y+1=0 的距离为_. 【解析】依题意,圆 的圆心是线段 AB 与 AC 垂直平分线的交点,故圆心为(2,2),到直线6l:x-2y+1=0 的距离 d= = .答案:14.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1(a0,b0)的右支与焦点为 F 的抛物线2222x2=2py(p0)交于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的 渐近线方程为_. 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AF|=y 1+ ,|BF|=y2+ ,|OF|= ,所以2 2 2|AF|+|BF|=y1+ +y2+ =y1+y2+p=4|OF|=2
11、p,2 2可得 y1+y2=p,联立方程 ,得 - +1=0,由根与系数的关系得 y1+y2= p,22所以 p=p,则 = , = ,所以双曲线的渐近线方程为 y= x.2212答案:y= x15.已知双曲线 C: - =1(ba0)的右焦点为 F,O 为坐标原点 ,若存在直线过点 F 交双曲2222线 C 的右支于 A,B 两点,使 =0,则双曲线离心率 e 的取值范围是_. 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线的方程为 x=my+c ,联立双曲线方程,消去 x,得(b 2m2-a2)y2+2b2mcy+b4=0,所以 y1+y2=-7,y 1y2= .因为 =x1x2+y
12、1y2=0,即m2y1y2+mc(y1+y2)+c2+y1y2=0,代入整理,得 b4m2-2b2m2c2+c2b2m2-a2c2+b4=0,0m 2=b0),直线 l1:y=- x,直线 l2:y= x,P 为椭圆2222 12 12上任意一点,过点 P 作 PM l1且与直线 l2交于点 M,作 PN l2且与 l1交于点 N,若|PM|2+|PN|2为定值,则椭圆的离心率为_. 【解析】令|PM| 2+|PN|2=t(t 为常数),设 M ,N ,(1,121)由平行四边形知识,得|PM| 2+|PN|2=|OM|2+|ON|2= ( + )=t,54设点 P(x,y),因为 = +=
13、.(1+2,121-122)所以 x2+4y2=2( + )= t,858此方程即为椭圆方程,即 e= .答案:三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(12 分)过圆 C:x2+y2=4 上的点 M 作 x 轴的垂线,垂足为点 N,点 P 满足 = .当M 在 C 上运动时,记点 P 的轨迹为 E.(1)求 E 的方程.(2)过点 Q(0,1)的直线 l 与 E 交于 A,B 两点,与圆 C 交于 S,T 两点,求|AB|ST|的取值范围.【解析】(1)设 M 点坐标(x 0,y0),N 点坐标(x 0,0),P 点坐标(x,y),由 =
14、可得因为点 M 在圆 C:x2+y2=4 上运动,所以点 P 的轨迹 E 的方程为 + =1.2423(2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=0,此时|AB|=2 ,|ST|=4,3所以|AB|ST|=8 ;3当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组 消去 y,整理得(4k 2+3)x2+8kx-8=0,因为点 Q(0,1)在椭圆内部,所以直线 l 与椭圆恒交于两点,由根与系数的关系,得 x1+x2= ,x1x2= ,-842+3 -842+39所以|AB|= (1-2)2+(1-2)2= ,1+2 (1+2
15、)2-412= 1+2 ( -842+3)2-4( -842+3)= ,461+222+142+3在圆 C:x2+y2=4 中,圆心(0,0)到直线 l 的距离为 d= ,所以|ST|=2 =2 ,42+32+1所以|AB|ST|=8 6=8 8 ,8 ).1- 142+3 2 3又因为当直线 l 的斜率不存在时,|AB|ST|=8 ,3所以|AB|ST|的取值范围是8 ,8 ).2 318.(12 分)(2018湖北省八校联考)如图,圆 O:x2+y2=4,A(2,0),B(-2,0),D 为圆 O 上任意一点,过点 D 作圆 O 的切线分别交直线 x=2 和 x=-2 于 E,F 两点,连
16、接 AF,BE 交于点 G,若点 G形成的轨迹为曲线 C.(1)记 AF,BE 斜率分别为 k1,k2,求 k1k2的值并求曲线 C 的方程.(2)设直线 l:y=x+m(m0)与曲线 C 有两个不同的交点 P,Q,与直线 x=2 交于点 S,与直线 y=-1 交于点 T,求OPQ 的面积与OST 面积的比值 的最大值及取得最大值时 m 的值.10【解析】(1)设 D(x0,y0)(y00),易知过 D 点的切线方程为 x0x+y0y=4,其中 + =4,则 E ,F ,(2,4-200 )所以 k1k2= 4-2004= = =- .-4201620 14设 G(x,y),由 k1k2=-
17、=- 14 -2 +214+y2=1(y0),24故曲线 C 的方程为 +y2=1(y0).24(2)联立 5x2+8mx+4m2-4=0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=- m,x1x2= ,85 42-45由 =64m 2-20(4m2-4)0- b0)的离心率为 ,点2222在椭圆上 .(1,62)(1)求椭圆的标准方程.(2)已知椭圆的左顶点为 A,点 M 在圆 x2+y2= 上 ,直线 AM 与椭圆相交于另一点 B,且AOB89的面积是AOM 面积的 2 倍,求直线 AB 的方程.12【解析】(1)设椭圆的焦距为 2c,由题意得, = , + =1, 12解得
18、 a=2,c= ,所以 b= ,2 2所以椭圆的方程为 + =1.2422(2)方法一:因为 SAOB =2SAOM ,所以 AB=2AM,所以点 M 为 AB 的中点,因为椭圆的方程为 + =1,2422所以 A(-2,0).设 M(x0,y0),则 B(2x0+2,2y0).所以 + = ,89+ =1 ,(20+2)24 (20)22由得 9 -18x0-16=0,解得 x0=- ,x0= (舍去).23 83把 x0=- 代入,得 y0= ,23 23所以 kAB= ,1213因此,直线 AB 的方程为 y= (x+2),12即 x+2y+2=0 或 x-2y+2=0.方法二:因为 S
19、AOB =2SAOM ,所以 AB=2AM,所以点 M 为 AB 的中点,设直线 AB 的方程为 y=k(x+2).由 得(1+2k 2)x2+8k2x+8k2-4=0,24+22=1,=(+2),所以(x+2)(1+2k 2)x+4k2-2=0,解得 xB= .2-421+22所以 xM= = ,+(-2)2yM=k(xM+2)= ,代入 x2+y2= 得 + = ,89(-421+22)2 89化简得 28k4+k2-2=0,即(7k 2+2)(4k2-1)=0,解得 k= ,12所以,直线 AB 的方程为 y= (x+2),12即 x+2y+2=0 或 x-2y+2=0.20.(12 分
20、)(2018郑州一模)已知抛物线 C 的方程为 x2=4y,F 为其焦点,过抛物线外一点 P作此抛物线的切线 PA,PB,A,B 为切点.且 PAPB.14(1)求证:直线 AB 过定点.(2)直线 PF 与曲线 C 的一个交点为 R,求 的最小值.【解析】(1)设直线 AB 的方程为 y=kx+b,设 A(x1,y1),B(x2,y2),两条切线的斜率分别为 k1,k2,以 A,B 为切点的切线方程分别为 x1x=2y+2y1,x2x=2y+2y2.由 消去 y 得 x2-4kx-4b=0.则 x1+x2=4k,x1x2=-4b.这两条切线的斜率分别为 k1= ,k2= .12 22由这两切
21、线垂直得 k1k2= = =-1,得 b=1.所以直线 AB 恒过定点(0,1).(2)设 P(x0,y0),则由(1)x 1x0=2y0+2y1,x2x0=2y0+2y2,相减x0=2 =2k= ,x0= (x1+x2)=2k,y0= x1x0-y1= =-1,1-21-21+22 12 12当 k=0 时,则 x0=0,可得 ABPF,当 k0 时,则 x00,k AB= ,kPF= ,02同样可得 ABPF.所以 =|AB|AF|=(y1+1)(y1+y2+2).由 y1y2= =1.21221615所以 =(y1+1)(y1+y2+2)= +3y1+3+ .11令 t=y1,则 f(t
22、)=t2+3t+3+ ,(t0).1f(t)=2t+3- = .12所以 f(t)在 上为减函数,在 上为增函数.(12,+ )所以( )min=f = .(或 f(t)=t2+3t+3+ = = = ,当 t= 时取等号.)1 (+12+12)3 (334)3 1221.(12 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 .2222 ( 3,12)(1)求椭圆 C 的方程.(2)若在椭圆上有相异的两点 A,B(A,O,B 三点不共线),O 为坐标原点,且直线 AB,直线 OA,直线 OB 的斜率满足 = kOA kOB (kAB 0),求证:|OA| 2+|OB
23、|2是定值;设AOB 的面积为 S,当 S 取得最大值时,求直线 AB 的方程.【解析】(1)由题可知:a=2b,可设椭圆方程为 + =1,22又因为椭圆过点 ,(3,12)则 + =1,16解得 a=2,b=1,所以椭圆方程为 +y2=1.24(2)设直线 AB 方程为:y=kx+m(k0),A(x 1,y1),B(x2,y2),因为 =kOAkOB(kAB0),所以 k2= = ,1212(1+)(2+)12化简得:km(x 1+x2)+m2=0.因为 A,O,B 三点不共线,所以 m0,则 k(x1+x2)+m=0,()由 可得:(1+4k 2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,由根与
24、系数关系可得 ()且 =16(1+4k 2-m2)0,()将()代入()式得:k +m=0(k0),(- 81+42)解得 k= ,则 ()12 1+2=-2,12=2(2-1)|OA| 2+|OB|2= + + + = + +2= (x1+x2)2-2x1x2+2,3421 34将()式代入得|OA| 2+|OB|2= 4m2-22(m2-1)+2=5.34设点 O 到直线 AB 的距离为 d,则17SAOB = |AB|d= |x1-x2| = 12 121+2 |1+2|m|= |m|,2-2由()()可得:m(- ,0)(0, ),2 2则 SAOB = |m|= 1,2-2当且仅当
25、m=1 时取得最大值,此时直线 AB 的方程为 y= x1.1222.(14 分)(2018石家庄一模)点 P(1,1)为抛物线 y2=x 上一定点,斜率为- 的直线与抛物12线交于 A,B 两点.(1)求弦 AB 中点 M 的纵坐标.(2)点 Q 是线段 PB 上任意一点(异于端点),过 Q 作 PA 的平行线交抛物线于 E,F 两点,求证:|QE|QF|-|QP|QB|为定值.【解析】(1)k AB= = =- , (*)-1+12所以 yA+yB=-2,yM= =-1.+2(2)设 Q(x0,y0),直线 EF:x-x0=t1(y-y0),联立方程组 y2-t1y+t1y0-x0=0,-0=1(-0),2=, 所以 yE+yF=t1,yEyF=t1y0-x0,|QE|QF|=( |yE-y0|)( |yF-y0|)=(1+ )| -x0|,1+21 1+2118同理|QP|QB|=(1+ )| -x0|.由(*)可知:t 1= = =yA+yP,t2= =yB+yP.111所以 t1+t2=(yA+yB)+2yP=-2+2=0,即 t1=-t2 = ,所以|QE|QF|=|QP|QB|,即|QE|QF|-|QP|QB|=0.
