1、1专题综合检测练（六）(120 分钟 150 分)第卷(选择题,共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分 ,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018延安一模)设函数 f(x)=xsin x 在 x=x0处取得极值,则(1+ )(1+cos 2x0)的值为( )A.1 B.-1 C.-2 D.2【解析】选 D.f(x)=sin x+xcos x,令 f(x)=0 得 tan x=-x,所以 tan2x0= ,故(1+ )(1+cos 2x0)=(1+tan2x0)2cos2x0=2cos2x0+2sin2x0=2.2.(2018开封一模)过点 A(
2、2,1)作曲线 f(x)=x3-3x 的切线最多有 ( )A.3 条 B.2 条 C.1 条 D.0 条【解析】选 A.由题意得,f(x)=3x 2-3,设切点为(x 0, -3x0),那么切线的斜率为 k=3 -3,则切线方程为 y-( -3x0)=(3 -3)(x-x0),将点 A(2,1)代入可得关于 x0的一元三次方程 2-6 +7=0.令 y=2 -6 +7,则 y=6 -12x0.由 y=0 得 x0=0 或 x0=2.当 x0=0 时,y=70;x0=2 时,y=-10 且 a1) 的定义域是 ( )4-2A.(0,2 B.(0,+)C.0,2 D.-2,2【解析】选 A.由不等
3、式组 解得 00,所以此时 f(x)0,故函数 f(x)在(-,-2)上单调递增.当-20,所以此时 f(x)2 时,y=(1-x)f(x) 0,故函数 f(x)在(2,+)上单调递增.所以函数 f(x)有极大值 f(-2),极小值 f(2).6.已知函数 f(x)= 若 g(x)=f(x)-x-1 有 2 个零点,则实数 a,0,2+1,0,的取值范围为 ( )A.(-,0 B.(-,1)C.1,+) D.(0,+)【解析】选 B.因为 g(x)=f(x)-x-1 有 2 个零点,即 f(x)-x-1=0 有 2 个实数根,所以当 x03时,令 ex-x-1=0,解得 x=0,此时只有一个实
4、数根,当 x0 时,令 f(x)-x-1=0,即 x2+(a-1)x=0,即 xx-(1-a)=0,此时解得 x=1-a,要使得函数 g(x)有 2 个零点,则 1-a0,所以 a0,b0,e 是自然对数的底数,则下列命题正确的是 ( )A.若 ea+2a=eb+3b,则 abB.若 ea+2a=eb+3b,则 abD.若 ea-2a=eb-3b,则 a0,b0,所以 ea+2a=eb+3b=eb+2b+beb+2b.对于函数 y=ex+2x (x0),因为 y=e x+20,所以 y=ex+2x 在(0,+)上单调递增,因而 ab 成立.8.(2018宿州一模)已知 y=f(x)为 R 上的
5、可导函数,当 x0 时,f(x)+ 0,则函数()g(x)=f(x)+ 的零点个数为 ( )1A.1 B.2 C.0 D.0 或 2【解析】选 C.因为函数 y=f(x)在 R 上是可导函数,当 x0 时,f(x)+ 0,即是()令 h(x)=xf(x),即 所以可得或 所以当函数 h(x)在 x0 时单调递增,所以 h(x)h(0)=0,即当 x0 时,h(x)0.同理当 x0.又因为函数 g(x) =f(x)+ 可化为 g(x)=1,所以当 x0 时,g(x)0 即与 x 轴没交点.当 x0,所以函数 g(x)=f(x)+ 的零点个数为 0.19.若函数 f(x)=(x+1)ex,则下列命
6、题正确的是 ( )A.对任意 m- ,都存在 xR,使得 f(x)- ,方程 f(x)=m 总有两个实根12【解析】选 B.因为 f(x)=(x+1)e x=(x+1)e x+ex=(x+2)ex,故函数在区间(-,-2),(-2,+)上分别为减函数与增函数,故 f(x)min=f(-2)=- ,故当 m- 时,总存12 12在 x 使得 f(x)3,其中 kZ.由题意,存在整数 k 使得1-(+12)2不等式 m2 3 成立.当 k-1 且 k0 时,必有 1,此时不等1-(+12)2式显然不能成立,故 k=-1 或 k=0,此时,不等式即为 m23,解得 m2.3411.若对任意的 a ,
7、函数 f(x)= x2-ax-2b 与 g(x)=2aln(x-2)的图象均有交12,+ ) 12点,则实数 b 的取值范围是 ( )5A. B.158+2,+ )C. D.(12,1516+122)【解析】选 A.依题意,原问题等价于对任意的 a ,关于 x 的方程 x2-ax-12,+ ) 122aln(x-2)=2b 有解.设 h(x)= x2-ax-2aln(x-2),则 h(x)=x-a- =12,所以 h(x)在(2,a+2)上单调递减,在(a+2,+)上单调递增,当 x2时 h(x)+,当 x+时,h(x)+,h(a+2)=- a2-2aln a+2,记 p(a)=- a2-12
8、 122aln a+2,则 h(x)的值域为p(a),+),故 2bp(a),+)对任意的a 恒成立,即 2bp(a) max,而 p(a)=-a-2ln a-2- +2ln 2-20,x1,e2 1,1)时 f(x)0)上任意一点处的切线的斜率为 k,若 k 的最小值为 4,则此时切点的坐标为_. 【解析】函数 y=x2+aln x(a0)的定义域为x|x0,y=2x+ 2 =4,则 a=2,当且仅 2当 x=1 时“=”成立,将 x=1 代入曲线方程得 y=1,故所求的切点坐标是(1,1).答案:(1,1)14.(2018达州一模)有任意 a,b 满足 00,解得:00.所以 g(x)g(
9、ln 2)=3-2ln 20,所以 g(x)在0,1上单调递增,所以原题中的方程有解必须方程有解.所以 g(0)ag(1).答案:1,e16.对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),给出定义:设 f(x)是函数 y=f(x)的导数,f(x)是函数 f(x)的导数,若方程 f(x)=0 有实数解 x0,则称点(x 0,f(x0)为函数 y=f(x)的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数 f(x)= x3- x2+3x- ,请你根据上面探究结13 12果,计算 f +f +f +f =_. (2
10、 0192020)【解析】由题意可得 f(x)= x3- x2+3x- ,所以 f(x)=x 2-x+3,所以 f(x)=2x-1.令13 12f(x)=0 可得 x= ,所以函数 f(x)的拐点即对称中心为 ,即如果 x1+x2=1,则 f(x1)12+f(x2)=2,所以 f +f +f +f =1 0092+1=2 019.答案:2 019三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(12 分)已知 f(x)=2x- -aln x(aR).1(1)当 a=3 时,求 f(x)的单调区间.(2)设 g(x)=f(x)-x+2aln x,且 g
11、(x)有两个极值点,其中 x10,1,求 g(x1)-g(x2)的最小值.【解析】(1)函数 f(x)的定义域是(0,+),8a=3 时,f(x)=2x- -3ln x,f(x)=2+ - = ,1 123(2-1)(-1)2令 f(x)0,计算得出:x1 或 x2.【解析】(1)由 f(x)= ,f(2)= ,由于函数 f(x)在(2,f(2)处的切线与-2直线 x-y=0 平行,故 =1,解得 n=6.(2)f(x)= (x0),由 f(x)n;-2f(x)0 时,x1,f(x)在1,n)上单调递增,在n,+)上单调递减,故 f(x)在1,+)上的最大值为 f(n)=m-1-ln n.(3
12、)若 n=1 时,函数 f(x)恰有两个零点 x1,x2(01,则 ln t= ,x1= ,21-11于是 x1+x2=x1(t+1)= ,2-1所以 x1+x2-2= ,记函数 h(t)= -ln t,因 h(t)=2(2-12 -) 2-120,所以 h(t)在(1,+)上递增,因为 t1,所以 h(t)h(1)=0,又 t= 1,ln t0,故 x1+x22 成立.2119.(12 分)(2018南京一模)已知函数 f(x)= ,g(x)= x2-2x+2+xf(x). 38(1)求函数 y=g(x)的单调区间.(2)若函数 y=g(x)在e n,+)(nZ)上有零点,求 n 的最大值.
13、【解析】(1)由题知 g(x)的定义域为(0,+).因为 g(x)= ,所以函数 g(x)的单调递增区间为 和(3-2)(-2)42,+),g(x)的单调递减区间为 .(2)因为 g(x)在 x 上的最小值为 g(2),且23,+ )g(2)= 22-4+2+ln 2=ln 2- = 0,38 1211故 g(x)在 x 上没有零点 .23,+ )从而,要想使函数 g(x)在e n,+)(nZ)上有零点,并考虑到 g(x)在 上单调递增,且在 上单调递减,故只需 en0,38g(e-2)= - +2+ln e-238 1422= 0 时, 0, 得 01,由 f(x)0,得 0,因而 h(x)
14、在 ,+)上单调递减.所以 h(x)的最大值为 h( )= ,32 32 32所以 ,故 a2 -1.从而实数 a 的取值范围为(2 -1,+).21.(12 分)(2018山东省实验中学一模)已知函数 f(x)=x-1-aln x.(1)若 f(x)0,求 a 的值.(2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n, 0,由 f(x)=1- = 知,当 x(0,a)时,f(x)0 .所以 f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.故 x=a 是 f(x)在(0,+)的唯一最小值点.由于 f(1)=0,所以当且仅当 a=1 时,f(x)0.故 a=1.(2)由(1)知当 x(1,+)时
15、,x-1-ln x0.13令 x=1+ ,得 ln 2,(1+12)(1+122)(1+123)所以整数 m 的最小值为 3.22.(14 分)(2018 洛阳一模)已知 a 为实数,函数 f(x)=aln x+x2-4x.(1)是否存在实数 a,使得 f(x)在 x=1 处取得极值?证明你的结论.(2)设 g(x)=(a-2)x,若x 0 ,使得 f(x0)g(x 0)成立 ,求实数 a 的取值范围.【解析】(1)函数 f(x)的定义域为(0,+),f(x)= +2x-4= .假设存在实数 a,使 f(x)在 x=1 处取极值,则 f(1)=0,所以 a=2,此时,f(x)= ,当 x0 时
16、,2(-1)2f(x)0 恒成立,所以 f(x)在(0,+)上单调递增,所以 x=1 不是 f(x)的极值点.故不存在实数 a,使得 f(x)在 x=1 处取得极值.(2)由 f(x0)g(x 0),得(x 0-ln x0)a -2x0,记 F(x)=x-ln x(x0),所以 F(x)= (x0),-1所以当 01 时,F(x)0,F(x)单调递增.所以 F(x)F(1)=10,所以 a ,记 G(x)= ,x ,20-200-0 2-2-所以 G(x)= =.(-1)(-2+2)(-)2因为 x ,所以 2-2ln x=2(1-ln x)0,所以 x-2ln x+20,所以 x 时,G(x
17、)0,G(x)单调递增,所以 G(x)min=G(1)=-1,所以 aG(x) min=-1.故实数 a 的取值范围为-1,+).【提分备选】1.已知定义在 R 上的函数 y=f 满足:函数 y=f(x+1)的图象关于直线 x=-1 对称,且当 x时,f +xf bc B.bacC.cab D.acb【解析】选 A.易知 f(x)的图象关于 y 轴对称,设 F(x)=xf(x),当 x(-,0)时,F(x)=f(x)+xf(x)1,12 1214所以 F F(ln 2)F ,( 12) (1214)即 abc.2.设函数 f =ln x- ax2-bx,若 x=1 是 f 的极大值点 ,则 a
18、 的取值范围为 ( )12A. B.(-1,+ )C. D. (-, -1)【解析】选 B.因为 f(x)=ln x- ax2-bx,12所以 x0,f(x)= -ax-b,1由 f(1)=0 得 b=1-a,所以 f(x)= -ax+a-1=- ,1当 a0 时,由 f(x)=0,得 x=1,当 00,此时 f(x)单调递增;x1 时,f(x)1,解得-1-1.13.设函数 f(x)=ex(x3-3x+3)-aex-x(x-2),若不等式 f(x)0 有解,则实数 a 的最小值为( )16A.1- B.2- C. -1 D.1+e21 1 1【解析】选 A.因为 f(x)=ex(x3-3x+
19、3)-aex-x0,所以 ax 3-3x+3- ,令 g =x3-3x+3- ,g =3x2-3+ = -1,故当 x 时,g 0,故 g 在 x 上是减函数,在 x上是增函数,故 g =g =1-3+3- =1- .(1)1 14.已知 aR,若 f(x)= ex在区间 上只有一个极值点,则 a 的取值范围为(+) (0,1)( )A.a0 B.a1 C.a1 D.a0【解析】选 A.易得 f(x)=e x ,设 h(x)=x3+x2+ax-a,则 h(x) (3+2+-2 )=3x2+2x+a,当 a0 时,h(x)0 在(0,1)上恒成立,即函数在(0,1)上为增函数,而 h(0)=-a
20、0,则函数 h(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点 x0,使 f(x 0)=0,且在(0,x 0)上,f(x)0,故 x=x0为函数 f(x)在(0,1)上唯一的极小值点;当 a=0 时,h(x)=3x 2+2x0 在区间(0,1)上恒成立,则函数 h(x)在区间(0,1)上为增函数,又 h(0)=0,所以 h(x)0 在区间(0,1)上恒成立,17所以 f(x)在区间(0,1)上无极值;当 a0 成立,即 f(x)0 成立,故函数 f(x)在区间(0,1)上为单调增函数,所以函数 f(x)在区间(0,1)上无极值,综上,a0.5.已知定义在 上的函数 f ,满足:(1)f 0;(2)f 0 在(0,+)上恒成立,则函数 g(x)在(0,+)上单调递增,所以 g(1)0,所以 h(2),即 ,(1)2 (2)4又因为 f(x)0,所以 ,即 ,(1)(2)24 (1)(2)12所以 0 可得:- x ,即函数 f 在区间 上是增函数,在区间()3 3 (-3,3)和区间 上是减函数,观察所给选项,只有 A 选项符合题意.
