1、1标准仿真模拟练（二）(120 分钟 150 分)第卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.设集合 S=x|x-2,T=x|x2+3x-40,则( RS)T= ( )A.(-2,1 B.(-,-4C.(-,1 D.1,+)【解析】选 C.因为 S=x|x-2,所以 RS=x|x-2,而 T=x|x2+3x-40=x|-4x1,所以( RS)T=x|x1.2.设复数 z 满足 =i,则 = ( )A.-2+i B.-2-iC.2+i D.2-i【解析】选 C.设 z=a+bi(a,bR),由题意知, =i,所以 1+2i=ai-b,
2、则 a=2,b=-1,所以 z=2-i, =2+i.3.若 tan =-3,则 cos2+2sin 2= ( )A. B.195C.- D.-35 75【解析】选 A.tan(+ )= =-3,解得 tan =2,4 1+1-cos2+2sin 2= = = .1+42+19524.在等比数 列a n中,a 3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值为 ( )A.1 B.-12C.1 或- D.-1 或12 12【解析】选 C.根据已知条件得 所以 =3,即 2q2-q-1=0,解得 q=1 或 q=- .125.方程 x+lg x=3 的解 x0 ( )A.(0,1) B.(1,2
3、)C.(2,3) D.(3,+)【解析】选 C.若 x(0,1),则 lg x3,lg x0,则 x+lg x3. 6.函数 f(x)= 的图象关于原点对称,g(x)=lg(10 x+1)+bx 是偶函数,则 a+b= ( )A.1 B.-1C.- D.12 12【解析】选 D.函数 f(x)关于原点对称,且当 x=0 时,f(x)有意义.所以 f(0)=0,得 a=1.又g(x)为偶函数,所以 g(-1)=g(1),得 b=- .所以 a+b= .12 127.分别在区间1,6和1,4内任取一个实数,依次记为 m 和 n,则 mn 的概率为 ( )A. B. C. D.35 25【解析】选
4、A.如图, 则在区间1,6和1,4内任取一个实数,3依次记为 m 和 n,则(m,n)表示的图形面积为 35=15,其中满足 mn,即在直线 m=n 右侧的点表示的图形面积为: (2+5)3= ,故 mn 的概率12P= = .8.定义 d(a,b)=|a-b|为两个向量 a,b 间的“距离”.若向量 a,b 满足:|b|=1;ab;对任意的 tR,恒有 d(a,tb)d (a,b).则 ( )A.ab B.a(a-b)C.b(a-b) D.(a+b)(a-b)【解析】选 C.如图所示,因为|b|=1,所以 b 的终点在单位圆上.设点 B 在单位圆上.点 A 不在单位圆上,则可用 表示 b,用
5、 表 示 a,用 表示 a-b.设 =tb,所以 d(a,tb)=| |, d(a,b)=| |,因为对任意 tR,d(a,tb)d(a,b),所以| |恒成立,所以 ,即 b(a-b).9.已知 x,y 满足 如果目标函数 z= 的取值范围为0,2),则+-10,-2-40,2-20,实数 m 的取值范围为 ( )A. B.(-, 12C. D.(-,0(-, 12)【解析】选 C.由约束条件,作出可行域如图中阴影部分所示,而目标函数 z= 的几4何意义为可行域内的点(x,y)与 A(m,-1)连线的斜率,由 得即 B(2,-1).由题意知 m=2 不符合题意,故点 A 与点 B 不重合,因
6、而当连接AB 时,斜率取到最小值 0.由 y=-1 与 2x-y-2=0,得交点 C ,在点 A 由点 C 向左移(12,-1)动的过程中,可行域内的点与点 A 连线的斜率小于 2,因而目标函数的取值范围满足 z0,2),则 m1,f(0)=4,则不等式 f(x) +1(e 为自然对数的底数)的解集为 ( )A.(0,+) B.(-,0)(3,+)C.(-,0)(0,+) D.(3,+)【解析】选 A.由 f(x) +1,得 exf(x)3+ex.构造函数 F(x)=exf(x)-ex-3,得 F(x)=e xf(x)+exf(x)-e x=exf(x)+f(x)-1.由 f(x)+f(x)1
7、,e x0,可知 F(x)0,即 F(x)在 R 上单调递增.又因为 F(0)=e0f(0)-e0-3=f(0)-4=0.所以 F(x)0 的解集为(0,+).第卷本卷包含必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)613.已知点 A(x1, ),B(x2, )是函数 y=ax(a1)的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 成立.1+22 1+22运用类比思想方法可知,若点 A(x1,sin x1)
8、,B(x2,sin x2)是函数 y=sin x(x(0,)的图象上任意不同两点,则类似地有_成立. 【解析】对于函数 y=ax(a1)的图象上任意不同两点 A,B,依据图象可知 ,线段 AB 总是位于A,B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 成立;对于函数 y=sin 1+22 1+22x(x(0,)的图象上任意不同的两点 A(x1,sin x1),B(x2,sin x2),线段 AB 总是位于 A,B两点之间函数图象的下方,类比可知应有 b0)的离心率为 ,以原点 O 为圆心,椭2222圆 C 的长半轴长为半径的圆与直线 2x- y+6=0 相切.2(1)求椭圆 C 的标准方程.(2)已
9、知点 A,B 为动直线 y=k(x-2)(k0)与椭圆 C 的两个交 点,问:在 x 轴上是否存在定点E,使得 + 为定值 ?若存在,试求出点 E 的坐标和定值 ;若不存在,请说明理由.2【解析】 (1)由 e= ,得 = ,即 c= a, 又以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x2+y2=a2,且该圆与直线 2x- y+6=02相切,所以 a= = ,代入得 c=2,所以 b2=a2-c2=2,所以椭圆 C 的6标准方程为 + =1.262212(2)由 得(1+3k 2)x2-12k2x+12k2-6=0.26+22=1,=(-2),设 A(x1,y1),B(x2,y2)
10、,则 x1+x2= ,x1x2= .根据题意,假设 x 轴上存在定点 E(m,0),使得 + =( + ) = 2为定值,则 =(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(k2+1)x1x2- (2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2)= ,要使上式为定值,即与 k 无关,只需 3m2-12m+10=3(m2-6),解得 m= ,此时, + =m2-6=- ,73 2 59所以在 x 轴上存在定点 E ,使得 + 为定值,且定值为- .2 5921.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=ln x- ax2-bx.12(1)当 a=b= 时,求 f(x)的
11、最大值 .12(2)令 F(x)=f(x)+ ax2+bx+ (00)13当 00,此时 f(x)单调递增;当 x1 时,f(x)0,x0,所以 x1= 0,g(x)在(x 2,+)单调递增,当 x=x2时,g(x 2)=0,g(x)取最小值 g(x2).14则 即22-2 2-22=022-2-=0. 所以 2mln x2+mx2-m=0,因为 m0,所以 2ln x2+x2-1=0 (*).设函数 h(x)=2ln x+x-1,因为当 x0 是,h(x)是增函数,所以 h(x)=0 至多有一解.因为 h(1)=0,所以方程(*)的解为 x2=1,即 =1,解得 m= .+2+42 12请考
12、生在第 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程点 是曲线 =2(0)上的动点,(2,0), 的中点为 Q.(1)求点 Q 的轨迹 C 的直角坐标方程.(2)若 C 上点 处的切线斜率的取值范围是 ,求点 横坐标的取值范围.【 解析】(1)由 =2(0),得 + =4(y0),22设 P(x1,y1),Q(x,y),则 x= ,y= ,即 x1=2x-2,y1=2y,代入 + =4(y0),2121得(2x-2) 2+(2y)2=4,所以(x-1) 2+y2=1(y0). (2)轨迹 C 是一个以(1,0)为圆
13、心,1 半径的半圆,如图所示,设 M(1+cos ,sin ),设点 M 处切线 l 的倾斜角为 ,由 l 斜率范围15,可得 ,而 =- ,23 56所以 ,所以 1+cos ,32 2+32所以,点 M 横坐标的取值范围是 .23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲设函数 f(x)=|x+1|+|x-4|-a.(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的最小值.(2)若 f(x) +1 对任意的实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.4【解析】 (1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|+|x-4|-1|x+1-(x-4)|-1=4,所以 f(x)min=4.(2)f(x) +1 对任意的实数 x 恒成立|x+1|+|x-4|-1a+ 对任意的实数 x 恒成立 a+4 44,4当 a0 时,a+ 2 =4,4 4当且仅当 a= ,即 a=2 时上式取等号,此时 a+ 4 成立.4 4综上,实数 a 的取值范围为(-,0)2.
