1、第3讲 导数的综合应用,高考导航,热点突破,备选例题,高考导航 演真题明备考,真题体验,1.(2018全国卷,理21)已知函数f(x)=ex-ax2. (1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1;,(1)证明:当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1, 则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 当x1时,g(x)0, 所以g(x)在(0,+)上单调递减. 而g(0)=0,故当x0时,g(x)0,即f(x)1.,(2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.,2.(2017全国卷,理21)已知函数f(x)=x-1-al
2、n x. (1)若f(x)0,求a的值;,考情分析,1.考查角度 考查利用导数知识证明不等式、根据不等式恒成立确定参数范围,考查利用导数知识研究函数零点个数、根据函数零点个数确定参数取值范围、证明函数零点的性质等. 2.题型及难易度 解答题,属于难题或者较难题.,热点突破 剖典例促迁移,热点一,导数与不等式,考向1 导数方法证明不等式 【例1】 (2018郑州二模)已知函数f(x)=ex-x2. (1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;,(1)解:f(x)=ex-2x,由题设得f(1)=e-2,f(1)=e-1, 所以f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1.,考向2 根据不等式确
3、定参数取值范围 【例2】 (2018咸阳一模)已知f(x)=ex-aln x(aR). (1)求函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;,(2)当a=-1时,若不等式f(x)e+m(x-1)对任意x(1,+)恒成立,求实数m的取值范围.,方法技巧 (1)对于f(x)g(x)在区间D上恒成立,只需f(x)-g(x)min0即可,而f(x) g(x)在区间D上恒成立,此时h(x)=f(x)-g(x)在区间D上未必存在最小值,需要根据具体情况,或者研究h(x)的单调性或者通过放缩或者通过引进第三方不等式灵活处理;(2)在区间D上,若x0使得f(x0)g(x0)成立,则只需x0,使得h(x)=f(
4、x)-g(x)0成立,如果h(x)存在最小值,则只需h(x)min0即可,如果h(x)不存在最小值,只需h(x)大于或者等于 h(x) 值域的下确界;(3)如果在区间D上f(x1)g(x2)恒成立,则只需f(x)ming(x)max,如果f(x),g(x)有不存在最值的,则需要确定其值域,再根据值域得出结论.【不等式的类型很多,但其基本思想是化归,即化归为函数的最值、值域的上下界,据此得出参数满足的不等式】,热点训练1:(2018河南一模)知:f(x)=(2-x)ex+a(x-1)2(aR). (1)讨论函数f(x)的单调区间;,(2)若对任意的xR,都有f(x)2ex,求a的取值范围.,热点
5、二,导数与函数的零点,考向1 确定函数零点的个数 【例3】 (2018湖北武汉调研)已知函数f(x)=ex-ax-1(aR,e=2.718 28是自然对数的底数). (1)求f(x)的单调区间;,解:(1)f(x)=ex-a, 当a0时,f(x)0, f(x)的单调递增区间为(-,+),无减区间; 当a0时,f(x)的单调减区间为(-,ln a),增区间为(ln a,+).,方法技巧 确定函数f(x)零点个数的基本思想是数形结合,即根据函数的单调性、极值、函数值的变化趋势,得出函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数,其中的一个技巧是把f(x)=0化为g(x)=h(x),通过研究函数g(x),h
6、(x)的性质,得出两个函数图象交点的个数.,考向2 根据函数零点的个数确定参数取值范围 【例4】 (2018河南南阳一中三模)设函数f(x)=x2-mln x,g(x)=x2-x+a. (1)当a=0时,f(x)g(x)在(1,+)上恒成立,求实数m的取值范围;,(2)当m=2时,若函数h(x)=f(x)-g(x)在1,3上恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围.,方法技巧 根据函数零点个数确定参数取值范围的基本思想也是数形结合,即根据函数的单调性、极值、函数值的变化趋势大致得出函数y=f(x)的图象,再根据零点个数确定函数y=f(x)的图象交点的个数,得出参数满足的不等式,求得参数的取值范围
7、,一个基本的技巧是把f(x)=0化为g(x)=h(x),据f(x)零点个数确定函数y=g(x),y=h(x)图象的交点个数,得出参数满足的不等式,求得参数的取值范围.,热点训练2:(2018河北石家庄二中模拟)已知函数f(x)=xex-(x+1)2. (1)当x-1,2时,求f(x)的最大值与最小值;,(2)讨论方程f(x)=ax-1的实根的个数.,解:(2)f(x)-ax+1=xex-x2-(a+2)x =x(ex-x-a-2), 所以f(x)=ax-1x=0或ex-x-a-2=0, 设g(x)=ex-x-a-2, 则g(x)=ex-1, x0时,g(x)0,x0,即a-1时,g(x)=0没
8、有实根, 方程f(x)=ax-1有1个实根;,当-a-1=0,即a=-1时,g(x)=0有1个实根为零,方程f(x)=ax-1有1个实根; 当-a-1-1时,g(x)=0有2个不等于零的实根,方程f(x)=ax-1有3个实根. 综上可得,a-1时,方程f(x)=ax-1有1个实根; a-1时,方程f(x)=ax-1有3个实根.,热点训练3:(2018衡水金卷高三大联考)已知函数f(x)=ln x-2x2+3,g(x)= f(x)+4x+aln x(a0). (1)求函数f(x)的单调区间;,(2)若关于x的方程g(x)=a有实数根,求实数a的取值范围.,备选例题 挖内涵寻思路,(2)若g(x)
9、=(x-t)2+(ln x-at)2,若对任意x1(1,+),存在t(-,+),x2(0,+),使得f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围.,解:(2)由(1)知,f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增, 所以当x1时f(x)f(2)=0, 又g(x)=(x-t)2+(ln x-at)20, 所以对任意x1(1,+),存在t(-,+),x2(0,+),使得f(x1)g(x2)成立, 存在t(-,+),x2(0,+),使得g(x2)0成立, 存在t(-,+),x2(0,+),使得g(x2)=0成立. 因为(x-t)2+(ln x-at)2表示点(x,ln x)与点(t,at
10、)之间距离的平方,【例2】 (2018福建宁德5月质检)已知函数f(x)=x3-3ax2+4(aR). (1)讨论f(x)的单调性;,(1)解:f(x)=3x2-6ax=3x(x-2a), 令f(x)=0,则x=0或x=2a, 当a=0时,f(x)0,f(x)在R上是增函数; 当a0时,令f(x)0,得x2a, 所以f(x)在(-,0),(2a,+)上是增函数; 令f(x)0,得x0, 所以f(x)在(-,2a),(0,+)上是增函数;,令f(x)0时,f(x)在(-,0),(2a,+)上是增函数,在(0,2a)上是减函数. 当a0时,f(x)在(-,2a),(0,+)上是增函数,在(2a,0
11、)上是减函数.,(2)若函数f(x)有三个零点,证明:当x0时,f(x)6(a-a2)ea.,(2)证明:由(1)可知,当a=0时,f(x)在R上是增函数, 所以函数f(x)不可能有三个零点; 当a0, 所以函数f(x)不可能有三个零点, 当a0时,f(x)的极小值为f(2a)=4-4a3, 要满足f(x)有三个零点,则需4-4a31, 当x0时,要证明:f(x)6(a-a2)ea等价于要证明f(x)min6(a-a2)ea, 即要证:4-4a36(a-a2)ea, 由于a1,故等价于证明:1+a+a2 aea,【例3】 (2018聊城二模)已知函数f(x)=2tln x,g(x)=x2-k(tR,kR). (1)当k=1时,若曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点,求t的取值范围;,
