1、专题八 选修4系列,高考导航,热点突破,备选例题,阅卷评析,高考导航 演真题明备考,真题体验,1.(2018全国卷,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0. (1)求C2的直角坐标方程;,解:(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为 (x+1)2+y2=4.,(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.,解:(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1,y轴
2、左边的射线为l2. 由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时, 点A到l1所在直线的距离为2,2.(2018全国卷,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;,(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.,(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,4.(2017全国卷,理23)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,证明:(1)
3、(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.,考情分析,1.考查角度 (1)坐标系与参数方程主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程化为普通方程,两曲线相交问题. (2)不等式选讲主要考查含绝对值不等式的解法,含参不等式恒成立或有解问题以及不等式的证明. 2.题型及难易度 解答题,难度中低档.,热点突破 剖典例促迁移,热点一,坐标系与参数方程,考向1 极坐标方程及其应用 【例1】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为cos =
4、4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;,方法技巧,(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=cos 及y=sin 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验; (2)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角有关的参数方程,经常用到的公式有sin2+ cos2=1,1+tan2=
5、 等;,(3)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性; (4)涉及圆、椭圆上的点到直线距离时,可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,利用点到直线距离公式求解; (5)对于极坐标方程或参数方程应用不够熟练的情况下,可以先化为普通方程,然后求解; (6)极坐标方程为=的直线与曲线相交于M1,M2两点,坐标为(1,),(2, ),则有以下结论: |M1M2|=|1-2|;,(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.,热点二,不等式选讲,考向1 绝对值不等式的解法 【例4】 (2018合肥市质检)已知函数f(x
6、)=|2x-1|. (1)解关于x的不等式f(x)-f(x+1)1;,(2)若关于x的不等式f(x)m-f(x+1)的解集不是空集,求m的取值范围.,考向2 不等式的证明 【例5】 (2018广州市普通高中综合测试)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-1|,不等式f(x)2的解集为M. (1)求M;,(2)证明:当a,bM时,|a+b|+|a-b|1.,方法技巧,(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤: 求零点. 划区间,去绝对值号. 分别解去掉绝对值号的不等式. 取每个结果的并集,注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值. (2)含绝对值不等式恒成立问题,用等价转化思想. 法一,利用三角不等
7、式求出最值进行转化. 法二,利用分类讨论思想,转化成求函数值域. (3)证明不等式常用的方法有综合法;分析法;比较法;利用柯西不等式(二维形式);绝对值三角不等式;平均值不等式.,热点训练4:(2018山西省八校联考)已知函数f(x)=2|x-3|-|x+1|. (1)解不等式f(x)2;,(1)解:当x5, 这与x1,故此时不等式的解集为(1,3; 当x3时,不等式可化为2(x-3)-(x+1)2, 解得x9,故此时不等式的解集为(3,9). 综上,不等式的解集为(1,9).,热点训练5:(2018河北省五个一名校联盟第二次考试)已知函数f(x)=|2x-1|, xR. (1)解不等式f(x
8、)|x|+1;,备选例题 挖内涵寻思路,【例2】 已知函数f(x)=|2x-1|-|x-a|,aR. (1)当a=1时,解不等式f(x)1;,(2)当x(-1,0)时,f(x)1有解,求a的取值范围.,解:(2)当x(-1,0)时,f(x)1有解|x-a|-2x有解2xx-a-2x有解 3xa-x有解, 因为-33x0,0-x1, 所以-3a1,即实数a的取值范围是(-3,1).,【例3】 (2018长沙市名校实验班阶段性测试)设函数f(x)=|x+1|-|x-1|. (1)解不等式f(x)1;,阅卷评析 抓关键练规范,注:第(1)问得分说明: 求出曲线C的直角坐标方程得1分. 对cos 讨论
9、,得出l的直角坐标方程得4分,只写一个得2分. 第(2)问得分说明: 方程组联立,得出关于参数,t的方程得2分. 根据参数t的几何意义,得t1+t2=0,得1分. 由cos ,sin 的关系得斜率的值,得2分.,【答题启示】 (1)一般地,曲线的参数方程转化为直角坐标方程的关键是消参,曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是活用x=cos ,y=sin .本题易忽视cos =0,即l的斜率不存在的情况而失分. (2)直线l的参数方程为 (t为参数),其中为直线l的倾斜角, 0,),直线l必过定点M0(x0,y0).在直线l的参数方程中,|t|表示直线上的动点M(x,y)到定点M0的距离.若直
10、线l与曲线C相交于M1,M2两点,设点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,则有如下结论成立: |M1M2|=|t1-t2|;,若定点M0(x0,y0)为弦M1M2的中点,则t1+t2=0; 若弦M1M2的中点为M,则点M对应的参数tM= . 本题常对参数t的几何意义理解不准而得不出t1+t2=0而失分或无法求解.,【典例2】 (2018全国卷,理23)(10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;,(2)若f(x)1,求a的取值范围.,评分细则: 解:(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.6分 而|x+a|+|x-2|a+2|,
11、且当x=2时等号成立.7分 故f(x)1等价于|a+2|4.8分 由|a+2|4可得a-6或a2,9分 所以a的取值范围是(-,-62,+).10分,注:第(1)问得分说明: 按x与-1,2的大小关系把f(x)写成分段函数,得3分.其中分点可与它的前、后段随意合并,但要做到不漏,每写对一段给1分. 求出不等式的解集,得2分,结果缺少等号扣1分. 第(2)问得分说明: 把所求不等式写成绝对值不等式,得1分. 利用绝对值不等式的性质定理得出|x+a|+|x-2|a+2|,得1分. 把不等式恒成立问题转化为关于参数a的不等式,得1分. 解关于参数a的不等式,得1分. 用集合或区间写出结果,得1分.,【答题启示】 (1)求解形如|x-a|+|x-b|m(或m,或b加以分类讨论),或利用“图象法”加以求解. 本题常因分段错误而失分. (2)根据绝对值不等式|a|+|b|ab|,可得函数f(x)=|x-a|+|x-b|(ab)的最小值为|a-b|;根据绝对值不等式|a|-|b|ab|,可得函数f(x)=|x-a|-|x-b|(ab)的最小值为-|a-b|,最大值为|a-b|. 本题常不能正确运用绝对值不等式的性质求|x+a|+|x-2|的最小值,或不能把不等式恒成立问题转化为参数的不等式而失分. (3)本题易忽略结果是集合或区间形式而失分.,
