1、1专题一 客观题的快速解法(限时:45 分钟)一、选择题1.(2018天津卷)已知 a=log2e,b=ln 2,c=lo ,则 a,b,c 的大小关系为( D )1213(A)abc (B)bac(C)cba (D)cab解析:(估值法)因为 lo =log2 3log2 e1,ln 2log2 eln 2,即 cab.故选 D.2.(2018合肥市质检)函数 y=ln(2-|x|)的大致图象为( A )解析:(排除法)令 f(x)=ln(2-|x|),易知 f(x)的定义域为(-2,2),排除 C;因为 f(-x)=ln(2-|-x|)=ln(2-|x|)=f(x),所以 f(x)为偶函数
2、,排除 D;因为 f( )=ln 0,的取值范围是( C )(A)-1,0) (B)0,+)(C)-1,+) (D)1,+)解析:(数形结合)函数 g(x)=f(x)+x+a 存在 2 个零点,即关于 x 的方程 f(x)=-x-a 有 2 个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线 y=-x-a 有 2 个交点,作出直线 y=-x-a 与函数 f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a1,解得 a-1.故选 C.7.(2018湖南省湘东五校联考)已知圆心为 O,半径为 1 的圆上有不同的三个点 A,B,C,其中 =0,存在实数 , 满足 + + = 0,则实数 , 的关系为( A )(A) 2+
3、 2=1 (B) + =111(C)=1 (D)+=1解析:(特例法)取 C 点为优弧 AB 的中点,由平面向量基本定理易得 = ,只有 A 符合,故选 A.48.(2017全国卷)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若= + ,则 + 的最大值为( A )(A)3 (B)2 2(C) (D)2解析:(数形结合)以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线分别为 x,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线 BD 的方程为 2x+y-2=0,点 C 到直线 BD 的距离为= ,
4、212+22圆 C:(x-1)2+(y-2)2= ,45因为 P 在圆 C 上,所以 P(1+ cos ,2+ sin ), =(1,0),255 255=(0,2), = + =(,2),所以+=2+ cos + sin =2+sin(+ )3,255tan =2.故选 A.9.(2018石家庄市模拟)已知在ABC 中,AB=2,C= ,则 AC+ BC 的最大值为( D )3(A)2 (B) (C)3 (D)47 7 7解析:法一 (直接法)根据正弦定理得 = = =4,所以 AC=4sin B,BC=4sin A,则 AC+ BC= 4sin B+4 2 6 3sin A,3又 A+B=
5、 ,56所以 AC+ BC=4sin B+4 sin A3 35=4sin B+4 sin( -B)356=10sin B+2 cos B3=4 sin(B+),7其中 tan = ,所以当 B+= +2k,kZ 时,AC+ BC 取得最大值,为 4 .故选 D.3 7法二 (特例法、排除法)令 AB=AC,则 B=C= ,A= ,BC= AB=2 ,23 3 3此时 AC+ BC=2+ 2 =8,3 3 3因为 2 , ,3 都小于 8,故 AC+ BC 的最大值只能为 4 ,故选 D.7 7 3 710.已知正三角形 ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距
6、离为 1,点 E是线段 AB 的中点,过点 E 作球 O 的截面,则截面面积的最小值是( C )(A) (B)274(C) (D)394解析:所作的截面与 OE 垂直时,截面圆的面积最小.设正三角形 ABC 的高为 3a,则 4a2+1=4,即 a= ,此时 OE2=12+ = ,3474截面圆半径 r2=22- = ,故截面面积为 .故选 C.7494 9411.(2018全国卷)设 F1,F2是双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点,O 是坐标原点.22过 F2作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P.若|PF 1|= |OP|,则 C 的离心率为( C )6(A) (B)2 (C
7、) (D)3 2解析:(数形结合)不妨设一条渐近线的方程为 y= x,则 F2到 y= x 的距离 d= =b, 在 RtF 2PO 中,|F 2O|=c,6所以|PO|=a,所以|PF 1|= a,6又|F 1O|=c,所以在F 1PO 与 RtF 2PO 中,根据余弦定理得 cos POF 1= = -cos 2+2( 6)22POF 2=- ,即 3a2+c2-( a)2=0,得 3a2=c2,6所以 e= = .故选 C. 3二、填空题12.(2018全国卷)曲线 y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 . 解析:(直接法)因为 y= ,所以曲线在(1,0)处的切线的斜率k=y|
8、 x=1=2,故所求切线方程为 y=2(x-1),即 y=2x-2.答案:y=2x-213.在三角形 ABC 中,BC 边上的中垂线分别交 BC,AC 于点 D,E.若 =6,| |=2,则| |= . 解析:(特例法)令ABC=90,如图, =|BD|BC|= |BC|2=6,12所以|BC| 2=12,所以|AC| 2=|AB|2+|BC|2=16,所以|AC|=4.答案:414.(2018全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC 的面积为 . 解析:(直接法)7由 bsin C
9、+csin B=4asin Bsin C,得 sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C.因为 sin Bsin C0,所以 sin A= .12因为 b2+c2-a2=8,cos A= ,2+222所以 bc= ,833所以 SABC = bcsin A= = .12 12 833 12233答案:23315.(2018惠州市二次调研)数列a n的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2an-2,则数列na n的前 5 项和为 . 解析:(直接法)当 n=1 时,a 1=S1=2a1-2,得 a1=2.当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2),得 an=2an-1,则数列a n为等比数列,公比为 2,an=2n,得 nan=n2n,故前 5 项和 T5=2+222+323+424+525=2+8+24+64+160=258.答案:258
