1、1专题二 数学思想方法概述 数学思想方法既是思想也是方法,“思想”是统领全局的总纲,“方法”是可以具体操作的解题方法,“思想”与“方法”是密不可分的整体.在高考中主要考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等数学思想方法.1.函数思想就是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.方程思想就是将所求的量设成未知数,根据题中的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决.2.数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,主要包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问
2、题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数辅形”,把直观图形数量化,使形更加精确.3.转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问题的一种方法.其应用包括以下三个方面:(1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题;(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.4.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终集合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为
3、整”的数学思想.一、函数与方程思想函数与方程思想在不等式中的应用【例 1】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的可导函数,且对于xR,均有 f(x)f(x),则有( )(A)e2 018f(-2 018)e2 018f(0)(B)e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)e2 018f(0)(D)e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)f(x),并且 ex0,所以 g(x)g(0),g(2 018)f(0), f(0),f(2 018)1.答案:(1)B (2)(1,+)函数与方程思想在数列中的应用【例 2】 (2017全国卷)记 Sn为等比数列a n的前 n 项
4、和.已知 S2=2,S3=-6.(1)求a n的通项公式;(2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解:(1)设a n的公比为 q.由题设可得 1(1+)=2,1(1+2)=6.解得 q=-2,a1=-2.故a n的通项公式为 an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn= =- +(-1)n .23由于 Sn+2+Sn+1=- +(-1)n =2 - +(-1)n =2Sn,43 2+32+23 23故 Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.【思维建模】 数列的通项与前 n 项和都是以正整数为自变量的函数,可用函数与方程思想处理数列问题.涉及特殊数列(等差、等比数列),已知
5、Sn与 an关系问题,应用方程思想列方程(组)求解;涉及最值问题或参数范围问题,应用函数思想来解决.热点训练 2:设公差不为零的等差数列a n的前 5 项和为 55,且 a2, ,a4-9 成等比数6+7列.(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn= ,数列b n的前 n 项和为 Sn,求证:S n0,b0)的右焦点为 F,过点 F 作圆(x-a)22222+y2= 的切线,若该切线恰好与 C 的一条渐近线垂直,则双曲线 C 的离心率为 . 216解析:(1)如图,ABC 为圆锥的轴截面,则 O 为其外接球的球心,设外接球的半径为 R,连接 OB,OA,并延长 AO 交 BC 于点 D,则
6、 ADBC,由题意知,AO=BO=R,BD=1,AD= ,3则在 RtBOD 中,有 R2=( -R)2+12,3解得 R= ,233所以外接球 O 的表面积 S=4R 2= .故选 C.(2)不妨取与切线垂直的渐近线方程为 y= x,由题意可知该切线方程为 y=- (x-c),即 ax+by-ac=0.6圆(x-a) 2+y2= 的圆心为(a,0),半径为 ,216则圆心到切线的距离 d= = = ,2又 e= ,则 e2-4e+4=0,解得 e=2,所以双曲线 C 的离心率 e=2.答案:(1)C (2)2二、数形结合思想利用数形结合思想研究函数零点问题【例 4】 已知函数 f(x)= 若
7、函数 g(x)=f(x)-ax+a 存在零点,则实数 a 的取值范围为 . 解析:函数 g(x)=f(x)-ax+a 存在零点等价于方程 f(x)-ax+a=0,即 f(x)=a(x-1)有解等价于函数 y=f(x)与 y=a(x-1)的图象有交点.设直线 y=a(x-1)与曲线 y=f(x)在 y 轴右侧相切于(x 0, ),切线方程为 y- = (x-x0),0 00因为切线过点(1,0),所以 (1-x0)=- ,0 0所以 x0=2,所以 a=e2.当直线 y=a(x-1)过点(-2,1)时,a=- ,13所以 a 的取值范围为 a- 或 ae 2.13答案: -,- e 2,+)13
8、【思维建模】 解函数零点个数问题常应用数形结合思想转化为两个函数图象交点个数问题;解函数零点和问题,常应用数形结合思想利用图象的对称性求解.热点训练 4:(1)(2017河北保定市模拟)已知函数 f(x)= 若函数 y=f(x)|2+5+4|,0,2|2|,0, -a|x|恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D)(1,3)(2)(2018石家庄市质检)已知 M 是函数 f(x)=|2x-3|-8sin x(xR)的所有零点之和,则7M 的值为( )(A)3 (B)6 (C)9 (D)12解析:(1)函数 y=f(x)-a|x|
9、恰有 4 个零点,须 y1=f(x)与 y2=a|x|的图象有 4 个不同的交点.如图所示.由图可知,当 y2=-ax(x0,(1)0,即 画出可行域 ,如图0,+2+10,8由 得 A(-3,1),由 得 B(-2,0),由 得 C(-1,0),=0,+2+1=0,所以点(a,b)对应的平面区域为ABC 的内部,ABC 的面积为 SABC = |BC|h= .12 12(2) 的几何意义是点(a,b)和点(1,2)连线的斜率,设 D(1,2),则 kAD= ,kCD=1,21 14由图知 kAD0 时,f(x)单调递增,f(1)=0,若f(x-1)0,则 x 的取值范围为( )(A)x|02
10、 (B)x|x2(C)x|x3 (D)x|x1(2)当 00 可转化为-11,解得 02.故选 A.(2)法一 构造函数 f(x)=4x和 g(x)=logax,当 a1 时不满足条件,当 0 ,所以 a 的取值范围为 ,1 .故12 12 12 12选 B.法二 因为 04x1,所以 00当 即-10,20即 10 时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.+10,20综上,不等式 f(x+1)0 得 a-5.答案:(1)D (2)(-,-5三、化归与转化思想特殊与一般的转化【例 7】 11如图,已知四棱锥 P ABCD 的底面为矩形,平面 PAD平面 ABCD,AD=2 ,PA=PD
11、=AB=2,则四棱2锥 P ABCD 的外接球的表面积为( )(A)2 (B)4 (C)12 (D)8解析:易知 AB平面 PAD,以平面 PAD 为底面,AB 为侧棱,将四棱锥 P ABCD 补充为如图所示的直三棱柱 PAD EBC.直三棱柱 PAD EBC 的外接球就是四棱锥 P ABCD 的外接球,因为 PA=PD=2,AD=2 ,所以APD=90,2所以PAD 外接圆的半径 r= AD= ,12 2又球心到平面 PAD 的距离 h= AB=1,12所以外接球的半径为 R= = ,2+2 3所以外接球的表面积为 S 球 =4R 2=12.故选 C.【思维建模】 化一般为特殊的应用把一般问
12、题特殊化,解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果,既准确又迅速.要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量.热点训练 6:(1)(2017甘肃兰州一诊)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a3+a5+a7=24,则 S9等于( )(A)36 (B)72 (C)144 (D)288(2)过双曲线 - =1 上任意一点 P,引与实轴平行的直线 ,交两渐近线于 R,Q 两点,则 2222的值为( )(A)a2 (B)b2 (C)2ab (D)a2+b2解析:(1)法一 因为a n是等差数列,又 a3+a5+a7=3a5=24,所以 a5=8.S9= =9a5=72.故选 B.法二 不妨设等差
13、数列a n的公差为 0,则由 a3+a5+a7=24,得 a1=an=8,则 S9=9a1=98=72.故选 B.(2)当直线 PQ 与 x 轴重合时,| |=| |=a.故选 A.函数、方程、不等式之间的转化12【例 8】 (2018惠州市二次调研)已知函数 f(x)= 若函数 f(x)的图象上关于原点对称的点有 2 对,则实数 k 的取值范围是( )(A)(-,0) (B) 0,12(C)(0,+) (D)(0,1)解析:依题意,函数 f(x)的图象上存在关于原点对称的点,如图,可作出函数 y=-ln(-x)(x0)的图象,使得它与直线 y=kx-1(x0)的交点个数为 2 即可.当直线
14、y=kx-1 与 y=ln x 的图象相切时,设切点为(m,ln m),又 y=ln x 的导数为 y= ,则 解得 可得切线的斜率为 1,结合图象可知 k(0,1)时,函数 y=ln x1=,=1, =1,=1,的图象与直线 y=kx-1 有 2 个交点,即函数 f(x)的图象上关于原点对称的点有 2 对.故选 D.【思维建模】 函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的
15、范围.热点训练 7:(1)(2018山东省、湖北省部分重点中学质检)已知函数 f(x)=ln +x2,1+|1|则关于 m 的不等式 f(m-1)-ln 3- 0 的解集为( )14(A) -, ,+12 32(B) 0, ,212 32(C) ,+32(D) -1,12(2)(2018福州市质检)已知函数 f(x)对任意的 xR 都满足 f(x)+f(-x)=0,f x+ 为偶函32数,当 00 时,-log 23-(2-a)=1,解得 a=- ,舍去.12所以 f(a)=-2.故选 A.15(2)由题意得 q2= =9,q=3,3+6+91+4+7当 q=3 时,a 2+a5+a8=3(a
16、1+a4+a7)=6,S9=2+6+18=26;当 q=-3 时,a 2+a5+a8=-3(a1+a4+a7)=-6,S9=2-6+18=14,所以 S9=14 或 26.答案:(1)A (2)14 或 26【思维建模】 数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义,直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论;(2)由除法运算中除数不为零,不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论;(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论.热点训练 9:(1)(2018湖南省湘东五校联考)已知函数 f(x)= g(x)=x2-2x,设 a 为实数
17、,若存在实数 m,使 f(m)-2g(a)=0,则实数 a 的取值范围为( )(A)-1,+)(B)(-,-13,+)(C)-1,3(D)(-,3(2)在等比数列a n中,已知 a3=4,S3=12,则 a1= . 解析:(1)当-7x0 时,f(x)=|x+1|0,6,当 e-2xe 时,f(x)=ln x 单调递增,得 f(x)-2,1,综上,f(x)-2,6.若存在实数 m,使 f(m)-2g(a)=0,则有-22g(a)6,即-1a 2-2a3-1a3.故选 C.(2)设等比数列a n的公比为 q,当 q=1 时,a n=a1,此时 S3=3a1=3a3=12,符合题意.当 q1 时,
18、S 3=a1+a2+a3= + +a3323= + +4=12,即 2q2-q-1=0,解得 q=- 或 q=1(舍去),1216所以 a1= = =16.324(12) 2所以 a1=16 或 4.答案:(1)C (2)16 或 4由图形位置或形状引起的分类讨论【例 11】 (2017全国卷)设 A,B 是椭圆 C: + =1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满2足AMB=120,则 m 的取值范围是( )(A)(0,19,+) (B)(0, 9,+)3(C)(0,14,+) (D)(0, 4,+)3解析:当点 M 为短轴的端点时,AMB 最大;03 时,A(0,- ),B(0, ),
19、M(- ,0).3由题意可知AMO60,所以|OA|3,|- |3, 3,m9.故选 A.【思维建模】 图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论;相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.热点训练 10:已知双曲线的渐近线方程为 y= x,则此双曲线的离心率为 . 34解析:当双曲线的焦点在 x 轴上时, = ,此时离心率为 e= = ,当双曲线的焦点在 y 轴34 54上时, = ,此时离心率为 e= = .34 53答案: 或54 53由变量或参数引起的分类讨论17【例
20、12】 (2018南昌市摸底)设函数 f(x)=2ln x-mx2+1.(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)当 f(x)有极值时,若存在 x0,使得 f(x0)m-1 成立,求实数 m 的取值范围.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+),f(x)= -2mx= ,2(21)当 m0 时,f(x)0,所以 f(x)在(0,+)上单调递增;当 m0 时,令 f(x)0,则 0 ,所以 f(x)在 0, 上单调递增,在 ,+ 上单调递减.(2)由(1)知,当 f(x)有极值时,m0,且 f(x)在 0, 上单调递增,在 ,+ 上单调递减.所以 f(x)max=f =2ln -m +1=-ln m,若存在 x0,使得 f(x0)m-1 成立,则 f(x)maxm-1.即-ln mm-1,ln m+m-10),因为 g(x)=1+ 0,所以 g(x)在(0,+)上单调递增,且 g(1)=0,所以 0m1.所以实数 m 的取值范围是(0,1).【思维建模】 解含参数不等式、方程、函数问题及含参数方程中曲线类型的判定问题,常按参数的取值不同分类讨论.
