1、1考前回扣一、集合、复数与常用逻辑用语知识方法1.集合的概念、关系及运算(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.(2)集合与集合之间的关系:AB,B CAC,空集是任何集合的子集,含有 n个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n-1,非空真子集数为 2n-2.(3)集合的基本运算交集:AB=x|xA,且 xB.并集:AB=x|xA,或 xB.补集: UA=x|xU,且 xA.重要结论:AB=AA B;AB=AB A.2.四种命题的关系(1)逆命题与否命题互为逆否命题;(2)互为逆否命题的两个命题同真假;(3)当判断原命题的真假比较困难时
2、,可以转化为判断它的逆否命题的真假.3.充分、必要条件若 pq,则 p是 q的充分条件,q 是 p的必要条件;若 pq,则 p,q互为充要条件.4.简单的逻辑联结词命题 pq,只要 p,q有一真,即为真;命题 pq,只有 p,q均为真,才为真;p 和 p为真假对立的命题.5.全称命题与特称命题(1)全称命题 p:xM,p(x), 它的否定p: x0M,p(x 0).(2)特称命题 p:x0M,p(x 0),它的否定p: xM,p(x).6.复数(1)复数的有关概念(2)运算法则加减法:(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)
3、i.除法: = = .易忘提醒1.求解集合运算时,要注意集合端点值的取舍,涉及含参数的集合运算时,要注意集合中元素的“互异性”.2.判断一些命题的真假时,如果不能直接判断,可以转化为判断其逆否命题的真假.3.否命题是既否定条件,又否定结论;而命题的否定是只否定命题的结论.在否定结论时,应将“且”改成“或”,将“或”改成“且”.24.A是 B的充分不必要条件(AB 且 B/ A)与 A的充分不必要条件是 B(BA,且 A/ B)两者的不同.5.只有当两个复数全是实数时,两复数才能比较大小,即当 z1,z2C 时,若 z1,z2能比较大小,它们的虚部均为 0.习题回扣(命题人推荐)1.(集合的运算
4、)若集合 M= x y= ,N=y|y= ,则 M RN= . 答案:x|x0是两个向量 a,b夹角为锐角的必要不充分条件.5.利用循环结构表示算法,第一要准确地选择表示累计的变量,第二要注意在哪一步开始循环,满足什么条件不再执行循环体.6.直到型循环是先执行再判断,直到条件满足才结束循环;当型循环是先判断再执行,若满足条件则进入循环体,否则结束循环.7.合情推理的结论不一定是正确的,要确定其结论的正确性还需证明.习题回扣(命题人推荐)1.(程序框图)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t-1,3,则输出的 s属于( A )(A)-3,4 (B)-5,2(C)-4,3 (D)-2,52.(共线
5、向量)设平面向量 a=(1,2),b=(-2,y),若 ab,则|2a-b|= . 答案:4 543.(数量积的应用)已知向量 a,b满足|a|=1,|b|=4,且 ab=2,则 a与 b的夹角为 .答案:4.(数量积的应用)设 Ox,Oy是平面内相交成 60角的两条数轴,e 1,e2分别是与 x轴、y 轴正方向同向的单位向量,若向量 =xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量 在坐标系 xOy下的坐标.假设 =3e1+2e2,则| |= . 答案:5.(类比推理)设 P是ABC 内一点,ABC 三边上的高分别为 hA,hB,hC,P到三边的距离依次为 la,lb,lc,则有 + + =
6、1;类比到空间,设 P是四面体 ABCD内一点,四顶点到对面的距离分别是 hA,hB,hC,hD,P到这四个面的距离依次是 la,lb,lc,ld,则有 .答案: + + + =1三、不等式与线性规划、计数原理与二项式定理知识方法1.一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2+bx+c0(a0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.2.线性规划(1)判断二元一次不等式表示的平面区域的方法.在直线 Ax+By+C=0(A2+B20)的某一侧任取一点(x 0,y0),通过 Ax0+By0+C的符号来确定 Ax
7、+By+C0(或 Ax+By+C0(a0)的一元二次不等式时,易忽视对系数 a的讨论导致漏解或错解,应分 a0,a0或 b0(0(0且 a1,b0 且 b1,M0,N0).4.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数 对数函数图象单调性 01 时,在 R上单调递增 a1时,在(0,+)上单调递增;00时,01当 x1时,y0函数 值性质 a1 当 x0时,y1;当 x1时,y0;当 01和 01且 a2)必过定点 . 答案:(2,4)4.(对数的运算)(lg 5) 2+lg 50lg 2= . 答案:15.(函数的零点)函数 f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(nN *)内
8、,则 n= . 答案:2五、导数的简单应用与定积分知识方法1.导数的几何意义(1)函数 y=f(x)在 x=x0处的导数 f(x0)就是曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x0)处切线的斜率,即k=f(x0).(2)曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x0)处的切线方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0).2.函数的单调性(1)在某个区间(a,b)内,如果 f(x)0(f(x)0和 f(x)f(x0),那么f(x0)是函数的一个极小值,记作 y 极小值 =f(x0).极大值与极小值统称为极值.4.函数的最值将函数 y=f(x)在a,b内的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其
9、中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.5.定积分(1)定积分的性质 kf(x)dx=k f(x)dx; f1(x) f2(x)dx= f1(x)dx f2(x)dx; f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx.(其中 a0在(a,b)上成立是 f(x)在(a,b)上是增函数的充分条件.当 f(x)在(a,b)上是增函数时,应有 f(x)0 恒成立(其中满足 f(x)=0的 x只有有限个),否则答案不全面.5.可导函数 y=f(x)在 x=x0处的导数 f(x0)=0是 y=f(x)在 x=x0处取得极值的必要不充分条件.6.求定积分时应明确定积分结果可负,但曲边形的面积非负.习题回扣(
10、命题人推荐)1.(导数的运算)函数 f(x)=xsin x的导数为 f(x)= . 答案:sin x+xcos x2.(导数几何意义)曲线 y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则 a+b= . 答案:23.(函数的单调性与导数)函数 f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是 . 答案:(-,0),(2,+)4.(函数的极值与导数)函数 f(x)= x3-4x+ 在 x= 处取极大值,其值是 . 13 13答案:-2 5.(定积分) x+ dx= . 31 答案:4+ln 3六、导数的综合应用知识方法1.利用导数解决与函数有关的方程根问题(1)利用导数研究高次式、
11、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路:将问题转化为函数零点的个数问题,进而转化为函数图象交点的个数问题;利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等;画出函数的大致图象;结合图象求解.(2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:在该区间上构造与方程相应的函数;利用导数研究该函数在该区间上的单调性;判断该函数在该区间端点处的函数值异号;作出结论.2.利用导数证明不等式不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.易忘提醒10在解决导数的综合问题时,应注意:(1)树立定义域优先的
12、原则.(2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则.(3)理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程.(4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用.(5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若 f(x)m 恒成立,则 f(x)maxm;若 f(x)m 恒成立,则 f(x)minm.若 f(x)m 有解,则 f(x)minm;若 f(x)m 有解,则 f(x)maxm.七、三角函数的图象与性质、三角恒等变换知识方法1.三角函数定义及诱导公式(1)三角函数的定义设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin =y,cos =x,tan =
13、.各象限角的三角函数值的符号;一全正,二正弦,三正切,四余弦.(2)诱导公式及记忆对于“ ,kZ 的三角函数值”与“ 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.2.“牢记”五组公式(1)同角三角函数关系式平方关系:sin 2+cos 2=1;商数关系:tan = .(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()=sin cos cos sin ;cos()=cos cos sin sin ;tan()= .1(3)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2=2sin cos ;cos 2=cos 2-sin 2=2cos 2-1=1-2sin 2;tan 2= ;212co
14、s2= ,sin2= .1+22 122(4)辅助角公式asin +bcos = sin(+) tan = .2+2(5)关于 与 的正弦、正切、余弦公式211tan = = = .2 1+1sin = ,cos = .2 21+221221+223.“明确”三种三角函数图象、性质及两种图象变换(1)三种函数的图象和性质函数 y=sin x y=cos x y=tan x图象单调性在 - +2k, +2k (kZ) 上2 2单调递增;在 +2k, +2k32(kZ)上单调递减在-+2k,2k(kZ)上单调递增;在2k,+2k(kZ)上单调递减在 -+k, +k (kZ)上单调递增对称性对称中心
15、:(k,0)(kZ);对称轴:x= +k(kZ)对称中心: +k,0 (kZ);对称轴:x=k(kZ)对称中心:,0 (kZ);无对称轴(2)两种三角函数图象变换(以 y=sin x变为 y=sin (x+)(0)为例)先平移后伸缩:y=sin x y=sin(x+)y=sin(x+) y=Asin(x+)(A0,0).先伸缩后平移:y=sin x y=sin x y=sin(x+) y=Asin(x+)(A0,0).易忘提醒1.使用诱导公式时,要根据“口诀”确定符号.2.研究形如 y=Asin(x+)(0)的性质时,要将 x+ 作为一个整体考虑,而当 bcABCsin Asin Bsin C
16、;(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.13易忘提醒1.根据正弦值求角时,应分类讨论.2.判断三角形形状时,应注意等式两边不要约分.3.已知两边及一边的对角,利用正、余弦定理求解时,解的情况可能不唯一.习题回扣(命题人推荐)1.(解三角形)在三角形 ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两个解的序号是 . a=30,b=40,A=30a=25,b=30,A=150a=8,b=16,A=30a=72,b=60,A=135答案:2.(实际应用)一只船以均匀的速度由 A点向正北方向航行,如图,开始航行时,灯塔 C在点 A的北偏东 30方向,行驶 60海里后,测灯塔
17、C在点 B的北偏东 45方向,则 A到 C的距离为 海里. 答案:(60+60 )33.(公式变形)ABC 中,sin Asin Bsin C=1185,则 cos B= . 答案:41554.(解三角形)ABC 中,角 A,B,C所对边分别为 a,b,c,若 A= ,a=1,b= ,则 B= . 3答案: 或23九、等差数列与等比数列知识方法1.等差数列(1)基本公式:通项公式、前 n项和公式.(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,qN *)时,a m+an=ap+aq,当 p=q时,a m+an=2ap.(3)基本方法:基本量方法;定义法证明数列a n为等差数列,其他证明方法均为定义
18、法的延伸;函数方法处理等差数列的前 n项和问题.2.等比数列(1)基本公式:通项公式、前 n项和公式(分公比等于 1和不等于 1).(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,qN *)时,a man=apaq,当 p=q时,a man= .(3)基本方法:基本量方法;定义法证明数列a n为等比数列,其他证明方法均为定义法的延伸.易忘提醒141.b2=ac是 a,b,c为等比数列的必要不充分条件;2.当等比数列的公比不确定时,求前 n项和要分公比等于 1和不等于 1分别进行计算.习题回扣(命题人推荐)1.(等差数列的判定)已知数列a n满足如下条件:a n=an+b(a,b为常数);2a n+
19、1=an+an+2对nN *恒成立;前 n项和 Sn=2n2+3n+2.在上述条件中能够判定 an为等差数列的是 .答案:2.(等差数列的基本运算)已知等差数列a n的前 n项和为 Sn,若 S10=310,S20=1 220,则 Sn= .答案:3n 2+n3.(等比数列的基本运算)已知等比数列a n的前 n项和为 Sn,若 S5=10,S10=50,则 S15= .答案:2104.(等比数列的判定)已知数列a n,bn均为等比数列,则数列:a n+bn;ka n(k为非零常数);a nbn; ;b 3n-2中一定为等比数列的是 . 答案:5.(等差、等比数列的综合)已知a n是公差为 d的
20、等差数列,其前 n项和为 Sn;bn是公比为 q的等比数列,其前 n项和为 Tn.有下列结论: =d; =qm-n;S k,S2k-Sk,S3k-S2k 为等差数列;T k,T2k-Tk,T3k-T2k为等比数列(其中 m,n,k为正整数).其中正确结论的序号是 .解析:中,当 k为偶数时,有 Tk=0的可能,如果 k为奇数,则的结论也正确.答案:十、数列求和及简单应用知识方法1.an,Sn的关系an=2.基本公式等差数列、等比数列求和公式.3.常用裂项公式(1) = - ;(2) = - ;12(3) = - (n2);12(4) = - 等.1+1 4.基本递推关系(1)an+1=an+f
21、(n)(叠加法);15(2) =f(n)(叠乘法);+1(3)an+1=can+d(c0,1,d0)(转化为 an+1+=c(a n+);(4)an+1-qan=pqn+1(p0,q0,1) 转化为 - =p 等.+1+1易忘提醒1.根据 Sn求通项时,不要忘记分类求解.2.裂项求和时注意验证裂项前后的等价性;错位相减求和时,不要忘记检验第一项与后面的项是否组成等比数列,不要忘记最后一项.习题回扣(命题人推荐)1.(由 an与 Sn的关系求 an)已知数列a n的前 n项和 Sn=n2+n+1,则 an= . 答案:2.(逆推数列求和)已知数列a n中,a 1=1,a2=2,an+2=an+1
22、+an,则该数列的前 6项之和是 .答案:323.(转化为等比数列求和)已知数列a n满足 a1=1,an+1=4an+3,则该数列的前 n项和 Sn= . 解析:a n+1+1=4(an+1),an=24n-1-1,所以 Sn= -n= 4n-n- .2(14)14 23 23答案: 4n-n-23 234.(裂项相消法求和)数列 的前 2 017项的和是 . 答案:2 0172 018十一、空间几何体的三视图、表面积与体积知识方法1.棱柱、棱锥(1)棱柱的性质侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等
23、且侧面与对角面是矩形.(2)正棱锥的性质侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高(侧面等腰三角形底边上的高)相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.2.三视图(1)正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的投影图.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高;(2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,
24、高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.163.几何体的切接问题(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线.(2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置,化归为平面几何问题.4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆)(1)表面积公式圆柱的表面积 S=2r(r+l);圆锥的表面积 S=r(r+l);圆台的表面积 S=(r 2+r2+rl+rl);球的表面积 S=4R 2.(2)体积公式柱体的体积 V=Sh;锥体的体积 V= Sh;13台体的体积 V= (S+ +S)h;13球的体积 V= R 3.43易忘提醒在有关体积、表面积的计算应用中注意
25、等积法的应用.习题回扣(命题人推荐)1.(直观图的面积)一个水平放置的平面图形,其直观图的面积是 ,则原图形的面积是 .2答案:42.(多面体)构成多面体的面最少是 . 答案:四个3.(三视图求体积)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为 . 答案:4 34.(球的有关计算)如果两个球的体积之比为 827,那么这两个球的表面积之比为 .答案:495.(棱台的体积计算)已知棱台的上下底面面积分别为 4,16,高为 3,则该棱台的体积为 .答案:28十二、点、直线、平面之间的位置关系知识方法1.直线与平面平行的判定和性质(1)判定判定定理:ab,b,aa.面面平行的性质:,a a.a
26、b,b,a,则 a.17(2)性质:l,l,=m lm.2.直线和平面垂直的判定和性质(1)判定判定定理:ab,ac,b,c,bc=O a.ab,ab.l,l.,=l,a,al a.(2)性质l,a la.l,mlm.3.两个平面平行的判定和性质(1)判定判定定理:a,b,ab=P,a,b.l,l.,.(2)性质:,=a,=bab.4.两个平面垂直的判定和性质(1)判定:a,a .(2)性质:,=l,a,al a.易忘提醒1.平行问题的转化关系2.垂直关系的转化习题回扣(命题人推荐)1.(面面位置关系)三个平面两两相交有三条交线,这三条直线的位置关系是 . 答案:交于一点或者互相平行2.(面面
27、位置关系)如果 ,那么 , 的位置关系是 . 答案:3.(线面位置关系)如果 ,=l,则 l与 的位置关系是 . 答案:l4.(线面位置关系)已知直线 a在平面 外,平面 平面 ,a平面 ,则直线 a与平面 的位置关系是 . 答案:平行5.18(面面平行的性质)如图,已知三个平面 , 互相平行,a,b 是异面直线,a 与 ,分别交于 A,B,C三点,b 与 , 分别交于 D,E,F三点,连接 AF交平面 于 G,连接 CD交平面 于 H,则四边形 BGEH必为 . 答案:平行四边形十三、立体几何中的向量方法知识方法1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线 l的方向向量为 a=(a
28、1,b1,c1),平面 , 的法向量分别为 =(a 2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).(1)线面平行laa=0a 1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直laa=ka 1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行v =va 2=a 3,b2=b 3,c2=c 3.(4)面面垂直v v=0a 2a3+b2b3+c2c3=0.2. 空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线 a,b的方向向量为 a,b,其夹角为 ,则cos =|cos |= (其中 为异面直线 a,b所成的角).|(2)直线和平面所成角的求法如图所示,设直线 l的方向向量为 e,平面 的法向量为 n
29、,直线 l与平面 所成的角为 ,两向量 e与 n的夹角为 ,则有 sin =|cos |= .|(3)二面角的求法利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,即为所求二面角 AB 的平面角.对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如图所示,二面角 l ,平面 的法向量为 n1,平面 的法向量为 n2,=,则二面角 l 的大小为 或 -.19易忘提醒异面直线所成角的范围是 0, ,线面角的范围是 0, ,二面角的范围是0,.习题回扣(命题人推荐)1.(直线的方向向量和平面的法向量)平面 的一个法向量 n=(0,1,-1),如果直线 l平
30、面,则直线 l的单位方向向量是 . 答案: 0, ,-2.(平面的法向量)已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC中的单位法向量是 .答案: , ,3.(空间向量的计算)已知 A(4,-7,1),B(6,2,z),若| |=11,则 z= . 答案:7 或-54.(向量法求线线角)在正方体 ABCD A1B1C1D1中,E 是 C1D1的中点,则异面直线 DE与 AC所成的角的余弦值为 . 答案:5.(向量法求线面角)已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则 AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于 . 答案:十四、直线与圆、圆锥曲线的概
31、念、方程与性质知识方法1.直线:直线的倾斜角和斜率、直线方程的四种特殊形式、直线方程的一般形式、两直线平行关系和垂直关系的判断、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式.2.圆:圆的定义、标准方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圆的充要条件、直线与圆的位置关系(三种,距离判断方法)、圆与圆的位置关系(距离判断方法).3.圆锥曲线圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称 椭圆 双曲线 抛物线定义 |PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)|PF1|-|PF2|=2a(2ab0)- =12222(a0,b0)y2=2px(p0)20图形范围 |x|a,|y|b |x|a x0顶点 (a,0)
32、(0,b) (a,0) (0,0)对称性 关于 x轴、y 轴和原点对称 关于 x轴对称焦点 (c,0) ,02续表名称 椭圆 双曲线 抛物线轴 长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a,虚轴长 2b离心率e=(01)e=1准线 x=-2渐近线 y= x易忘提醒1.椭圆、双曲线的很多问题有相似之处,在复习中要注意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系.2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点),“四线”(两条对称轴、两渐近线),“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系.3.涉及抛物线
33、有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.4.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x 1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.习题回扣(命题人推荐)1.(直线与圆相交)已知直线 x+y=a与圆 O:x2+y2=4交于 A,B两点,且AOB=120,则实数 a的值等于 . 答案: 22.(直线与圆相切)“直线 x-y+k=0与圆 x2+y2=2相切”的充要条件是 . 答案:k=
34、2213.(椭圆的离心率)已知椭圆 + =1的左焦点为 F1,右顶点为 A,上顶点为 B.若F 1BA=90,则2222椭圆的离心率是 . 答案:4.(双曲线的渐近线)已知双曲线 - =1的实轴长为 2,焦距为 4,则该双曲线的渐近线方程2222是 . 答案:y= x35.(抛物线方程)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是 .答案:y 2=8x十五、直线与圆锥曲线的位置关系知识方法1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个未知数借助判别式 与 0的关系确定直线与圆锥曲线的关系,特别地,当直线与双曲线的渐近线平行时,该直线与双曲线只有一个
35、交点;当直线与抛物线的对称轴平行时,该直线与抛物线只有一个交点.2.有关弦长问题有关弦长问题应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.(1)斜率为 k的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|= |x2-x1|或|P 1P2|= |y2-y1|,其中求|x 2-x1|与|y 2-y1|时通常使用根与系1+12数的关系,即作如下变形:|x2-x1|= ,(1+2)2412|y2-y1|= .(1+2)2412(2)当斜率 k不存在时,可求出交点坐标,直接计算弦长.3.弦的中点问题有关弦的中
36、点问题应灵活运用“点差法” “设而不求法”来简化运算.易忘提醒1.若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题,一般可利用圆锥曲线的定义去解决.2.在直线与圆锥曲线的问题中,要充分重视根与系数的关系和判别式的运用.3.涉及直线与抛物线 x2=2py(p0)相切问题时,可以借助导数求解.习题回扣(命题人推荐)1.(椭圆的方程)椭圆两焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),P在椭圆上,若PF 1F2的面积的最大值为12,则椭圆方程为 . 答案: + =1225222.(直线与抛物线)过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F且倾斜角为 60的直线 l与抛物线在第一、四象限分别交于 A,B两点,则 = . |答
37、案:33.(直线与抛物线)在直角坐标系 xOy中,点 B与点 A(-1,0)关于原点 O对称.点 P(x0,y0)在抛物线 y2=4x上,且直线 AP与 BP的斜率之积等于 2,则 x0= . 答案:1+ 24.(直线与抛物线)已知抛物线方程 x2=4y,过点 M(0,m)的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且 x1x2=-4,则 m的值为 . 答案:15.(双曲线的离心率)已知双曲线 C: - =1(a0,b0),P为 x轴上一动点,经过 P的直线2222y=2x+m(m0)与双曲线 C有且只有一个交点,则双曲线 C的离心率为 . 答案:十六、圆锥曲线的综合问题知识方法
38、概念曲线 C上点的坐标都是方程 f(x,y)=0的解,以 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C上,则称曲线 C为方程 f(x,y)=0的曲线、方程 f(x,y)=0为曲线 C的方程直接法 把动点坐标直接代入已知几何条件的方法定义法已知曲线类型,求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法(待定系数法)代入法动点 P(x,y)随动点 Q(x0,y0)运动,Q 在曲线 C:f(x,y)=0上,以 x,y表示x0,y0,代入曲线 C的方程得到动点 P轨迹方程的方法参数法 把动点坐标(x,y)用参数 t进行表达的方法.此时 消掉 t即得=(),=(),动点轨迹方程曲线与方程求法交轨法轨迹是由两动直线(
39、或曲线)交点构成的,在两动直线(曲线)中消掉参数即得轨迹方程的方法含义 含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点定点 解法 以曲线系方程对任意参数恒成立的方程组的解为坐标的点即为曲线系 恒过的定点含义 不随其他量的变化而发生数值变化的量定值 解法 建立这个量关于其他量的关系式,最后的结果是与其他变化的量无关含义 一个量变化时的变化范围范围 解法 建立这个量关于其他量的函数关系式或者不等式,求解这个函数的变 化范围或者解不等式含义 一个量在变化时的最大值和最小值热点问题最值 解法 建立目标函数求解易忘提醒1.参数法求轨迹方程时不要忽视参数范围对曲线范围的影响.232.定点、定
40、值、范围、最值问题均与参数有关,不要忽视参数范围的讨论.习题回扣(命题人推荐)1.(双曲线方程)方程 - =1表示双曲线,则 m的取值范围是 . 22 2|3答案:m|2 =1.2,且 s 甲 1.284 5s 乙 0.871 8,所以乙机床生产出的次品比甲机床少,而且更为稳定,所以乙机床的性能较好.答案:乙3.(线性回归方程)有人收集了 10年中某城市的居民年收入 x亿元与某种商品的销售额 y万元的有关数据,由调查数据得到 y对 x的回归直线方程是 =1.447x-15.843.若这座城市居民的年收入达到 40亿元,则这种商品的销售额估计是 万元. 解析:当 x=40时, =1.44740-
41、15.843=42.037.答案:42.0374.(独立性检验)为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下列联表:患病 未患病 总计服用药 10 45 55没服用药 20 30 50总计 30 75 105通过计算 K2说明可有 的把握认为药物有效(P(K 25.024)0.025). 解析:K 2的观测值 k=105(10304520)2555030756.109 15.024,所以有 97.5%的把握认为药物有效.答案:97.5%十九、选修 4系列知识方法1.坐标系与参数方程(1)直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单
42、位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),则 =,=,2=2+2,=(0).(2)圆的极坐标方程28若圆心为 M( 0, 0),半径为 r,则圆的方程为 2-2 0cos(- 0)+ -r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程:当圆心位于极点,半径为 r:=r;当圆心位于 M(a,0),半径为 a:=2acos ; 当圆心位于 M a, ,半径为 a:=2asin .(3)直线的极坐标方程若直线过点 M( 0, 0),且与极轴所成的角为 ,则它的方程为 sin(-)= 0sin( 0-).几个特殊位置的直线的极坐标方程:直线过极点:= 0和 =- 0;直线过点 M(a,
43、0)且垂直于极轴:cos =a; 直线过 M b, 且平行于极轴:sin =b.(4)几种常见曲线的参数方程直线经过点 P0(x0,y0),倾斜角为 的直线的参数方程是 其中 t是参数.=0+,=0+,圆以 O(a,b)为圆心,r 为半径的圆的参数方程是 其中 是参数.=+,=+,当圆心为(0,0)时,方程为 其中 是参数.=,=,椭圆椭圆 + =1(ab0)的参数方程是 其中 是参数.2222 =,=,椭圆 + =1(ab0)的参数方程是 其中 是参数 .2222 =,=,2.不等式选讲(1)绝对值不等式定理 1:如果 a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当 ab0 时,等号成立.
44、定理 2:如果 a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0 时,等号成立.(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c(c0)-cax+bc.|ax+b|c(c0)ax+bc 或 ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式几何意义求解,体现数形结合思想.利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想.29通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.(4)证明不等式的基本方法比较法;综合法;分析法;反证法;放缩法.(5)二维形式的柯西不等式若 a,b,c,d都是实数,则(a 2+b2)(c2+d2)(ac+bd) 2,当且仅当 ad=bc时,等号成立.易忘提醒1.将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数,简称为“消参”.把参数方程化为普通方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.2.“零点分段法”是解绝对值不等式的最基本方法,一般步骤是:(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零,求出相应的根;(2)把这些根按由小到大进行排序,n 个根把数轴分为 n+1个区间;(3)在各个区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集;(4)这些不
