1、考前回扣,一、集合、复数与常用逻辑用语 知识方法 1.集合的概念、关系及运算 (1)集合中元素的特性:确定性、 、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验. (2)集合与集合之间的关系:AB,BCAC,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为 ,真子集数为 ,非空真子集数为 .,互异性,2n,2n-1,2n-2,(3)集合的基本运算 交集:AB=x|xA,且xB. 并集:AB=x|xA,或xB. 补集:UA=x|xU,且xA. 重要结论:AB=AAB; AB=ABA. 2.四种命题的关系 (1)逆命题与否命题互为逆否命题; (2)互为逆否命题的两个命题同真假; (3)当判断
2、原命题的真假比较困难时,可以转化为判断它的逆否命题的真假.,3.充分、必要条件 若pq,则p是q的 条件,q是p的 条件;若pq,则p,q互为 条件. 4.简单的逻辑联结词 命题pq,只要p,q有一真,即为真;命题pq,只有p,q均为真,才为真;p和p为真假对立的命题. 5.全称命题与特称命题 (1)全称命题p:xM,p(x),它的否定p:x0M,p(x0). (2)特称命题p:x0M,p(x0),它的否定p:xM,p(x).,充分,必要,充要,6.复数 (1)复数的有关概念,易忘提醒 1.求解集合运算时,要注意集合端点值的取舍,涉及含参数的集合运算时,要注意集合中元素的“互异性”. 2.判断
3、一些命题的真假时,如果不能直接判断,可以转化为判断其逆否命题的真假. 3.否命题是既否定条件,又否定结论;而命题的否定是只否定命题的结论.在否定结论时,应将“且”改成“或”,将“或”改成“且”.5.只有当两个复数全是实数时,两复数才能比较大小,即当z1,z2C时,若z1,z2能比较大小,它们的虚部均为0.,习题回扣(命题人推荐),答案:x|x0,答案:,答案:3,答案:既不充分又不必要,3.(复数相等)若x,yR,且(x-3y)+(2x+3y)i=5+i,则x-y= .,4.(充要条件)两直线斜率相等是两直线平行的 条件.,答案:,5.(命题真假判断)下列命题是真命题的序号是 . “空集是集合
4、A的子集”的否定;有些整数只有两个正因数;x是无理数,x2也是无理数;“任意两个等边三角形都是相似”的否定.,二、平面向量、框图与合情推理 知识方法 1.平面向量 (1)平面向量的两个重要定理 向量共线定理:向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数,使 . 平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使 ,其中e1,e2是一组基底. (2)两个非零向量平行、垂直的充要条件 若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: aba=b(0) . abab=0 .,b=a,a=1e1+2e2,x1y2-x2y1
5、=0,x1x2+y1y2=0,(4)常用的重要结论: 若直线l的斜率为k,则(1,k)是直线l的一个方向向量;,2.框图 程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构:如图(1)所示;,(2)条件结构:如图(2)和(3)所示;,(3)循环结构:如图(4)和(5)所示.,3.合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理;而类比推理是由特殊到特殊的推理.,易忘提醒 1.注意向量平行与三点共线的区别与联系,当两向量平行且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 2.向量相等具有传递性,向量平行不具有传递性.
6、 如ab,bc,只有b0时,ac. 3.ab=0不能推出a=0或b=0,因为ab=0时,有可能ab. 4.ab0是两个向量a,b夹角为锐角的必要不充分条件. 5.利用循环结构表示算法,第一要准确地选择表示累计的变量,第二要注意在哪一步开始循环,满足什么条件不再执行循环体. 6.直到型循环是先执行再判断,直到条件满足才结束循环;当型循环是先判断再执行,若满足条件则进入循环体,否则结束循环. 7.合情推理的结论不一定是正确的,要确定其结论的正确性还需证明.,习题回扣(命题人推荐) 1.(程序框图)执行如图所示的程序框图,如果输入的t-1,3,则输出的s属于( ),(A)-3,4 (B)-5,2 (
7、C)-4,3 (D)-2,5,A,2.(共线向量)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若ab,则|2a-b|= .,答案:4,3.(数量积的应用)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且ab=2,则a与b的夹角为.,答案:,答案:,三、不等式与线性规划、计数原理与二项式定理 知识方法 1.一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2+bx+c0(a0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的 解集. 2.线性规划 (1)判断二元一次不等式表示的平面区域的方法.在直线Ax+By+C=0(A2+B20)的某一侧
8、任取一点(x0,y0),通过Ax0+By0+C的符号来确定Ax+By+C0(或Ax+ By+C0)所表示的区域.,(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:画出可行域;根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;求出目标函数的最大值或者最小值. (3)求解实际生活中线性规划问题时,应根据条件确定可行域及目标函数,根据可行域及目标函数特征求最值. 3.基本不等式 (1)已知x,y(0,+),如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值 ;(2)已知x,y(0,+),如果和x+y是定值S,那么当x=y时积xy有最大值 .,4.排列与组合 (1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如
9、果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.,(2)排列数、组合数的公式及性质,5.二项式定理 (1)二项式定理,易忘提醒 1.求解形如ax2+bx+c0(a0)的一元二次不等式时,易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解,应分a0,a0进行讨论.在填空题中不等式的解集一定要写成集合或区间的形式. 2求解线性规划问题时应明确:“直线定界,特殊点定域”,定界时注意是否包含边界.,答案:70,答案:1,5,(2)奇偶性 对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)+f(-x)=0f(x)是奇函
10、数;对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)-f(-x)=0f(x)是偶函数.,(3)周期性 设函数y=f(x),xD. 若T为f(x)的一个周期,则nT(n0,nZ)也是f(x)的周期. 2.关于函数性质常见结论 (1)常见抽象函数的周期.(设函数y=f(x),定义域为D) 若xD,且f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;(a0,下同) 若xD,且f(x+a)= ,则T=2|a|; 若xD,且f(x+a)=f(x+b),则T=|b-a|(ab).,(3)关于奇偶性结论 若奇函数y=f(x)在原点处有定义,则一定有f(0)=0; 若函数y=f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f
11、(|x|); 奇函数在关于原点对称的区间有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间单调性相反. 3.关于指数与对数式的七个运算公式 (1)aman=am+n; (2)(am)n=amn; (3)loga(MN)=logaM+logaN;,(5)logaMn=nlogaM;,4.指数函数与对数函数的图象和性质,5.函数的零点 (1)函数的零点及其与方程根的关系 对于函数f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. (2)零点存在性定理 如果函数y=f(x
12、)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,易忘提醒 1.判断函数奇偶性时,首先考虑函数定义域是否关于原点对称. 2.函数有多个单调区间时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”,它们之间一般用“,”隔开或者用“和”字连接. 3.底数含参数的指数、对数函数单调性,要分底数a1和0a1两种情况讨论. 4.函数的零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标.,答案:(-,-2)(4,+),2.(函数的奇偶性)函数f(x)=x2+(a-1)
13、x+b在定义域(-5,b+2)上是偶函数,则a+b= .,答案:4,3.(指数函数的图象和性质)函数f(x)=3+(a-1)x-2(a1且a2)必过定点 .,答案:(2,4),4.(对数的运算)(lg 5)2+lg 50lg 2= .,答案:1,5.(函数的零点)函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(nN*)内,则n= .,答案:2,五、导数的简单应用与定积分 知识方法 1.导数的几何意义 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率,即k=f(x0). (2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程
14、为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). 2.函数的单调性 (1)在某个区间(a,b)内,如果f(x)0(f(x)0),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减).,(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤 确定函数f(x)的定义域; 求导数f(x); 在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)f(x0),那么f(x0)是函数的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为 .,极值,4.函数的最值 将函数y=f(x)在a,b内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,易忘提醒 1.曲线y=f(x)“
15、在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”是不同的.前者只有一条,后者则可能有多条. 2.求复合函数y=f(ax+b)的导数时应注意复合函数求导法则,其导数为y= af(ax+b). 3.利用导数研究函数的单调性,首先确定函数的定义域. 4.已知单调性求参数时,应明确f(x)0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上是增函数的充分条件.当f(x)在(a,b)上是增函数时,应有f(x)0恒成立(其中满足f(x)=0的x只有有限个),否则答案不全面. 5.可导函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)=0是y=f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件. 6.求定积分时应
16、明确定积分结果可负,但曲边形的面积非负.,习题回扣(命题人推荐) 1.(导数的运算)函数f(x)=xsin x的导数为f(x)= .,答案:sin x+xcos x,2.(导数几何意义)曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a+b= .,答案:2,3.(函数的单调性与导数)函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是 .,答案:(-,0),(2,+),答案:4+ln 3,六、导数的综合应用 知识方法 1.利用导数解决与函数有关的方程根问题 (1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路: 将问题转化为函数零点的个数问题,进而转化为函数
17、图象交点的个数问题; 利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等; 画出函数的大致图象; 结合图象求解. (2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤: 在该区间上构造与方程相应的函数;,利用导数研究该函数在该区间上的单调性; 判断该函数在该区间端点处的函数值异号; 作出结论. 2.利用导数证明不等式 不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.,易忘提醒 在解决导数的综合问题时,应注意: (1)树立定义域优先的原则. (2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则. (3)理解与不
18、等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程. (4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用. (5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系: 若f(x)m恒成立,则f(x)maxm; 若f(x)m恒成立,则f(x)minm. 若f(x)m有解,则f(x)minm; 若f(x)m有解,则f(x)maxm.,2.“牢记”五组公式 (1)同角三角函数关系式 平方关系:sin2+cos2=1;,3.“明确”三种三角函数图象、性质及两种图象变换 (1)三种函数的图象和性质,易忘提醒 1.使用诱导公式时,要根据“口诀”确定符号.,4.三角函数平移时,若两三角函数名称不一致,需利用诱
19、导公式化为同名函数后再平移. 5.利用三角恒等变换公式研究给角求值或给值求角时,不要忽视角的范围.,答案:三,答案:-2tan ,答案:,4.常用结论 (1)三角形内角和A+B+C=; (2)abcABCsin Asin Bsin C; (3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.,易忘提醒 1.根据正弦值求角时,应分类讨论. 2.判断三角形形状时,应注意等式两边不要约分. 3.已知两边及一边的对角,利用正、余弦定理求解时,解的情况可能不唯一.,答案:,习题回扣(命题人推荐) 1.(解三角形)在三角形ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两个解的序号是 . a=30
20、,b=40,A=30 a=25,b=30,A=150 a=8,b=16,A=30 a=72,b=60,A=135,答案:(60+60 ),2.(实际应用)一只船以均匀的速度由A点向正北方向航行,如图,开始航行时,灯塔C在点A的北偏东30方向,行驶60海里后,测灯塔C在点B的北偏东45方向,则A到C的距离为 海里.,答案:,3.(公式变形)ABC中,sin Asin Bsin C=1185,则cos B= .,九、等差数列与等比数列 知识方法 1.等差数列 (1)基本公式:通项公式、前n项和公式. (2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,qN*)时,am+an=ap+aq,当p=q时,am+
21、an=2ap. (3)基本方法:基本量方法;定义法证明数列an为等差数列,其他证明方法均为定义法的延伸;函数方法处理等差数列的前n项和问题. 2.等比数列 (1)基本公式:通项公式、前n项和公式(分公比等于1和不等于1). (2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,qN*)时,aman=apaq,当p=q时,aman= . (3)基本方法:基本量方法;定义法证明数列an为等比数列,其他证明方法均为定义法的延伸.,易忘提醒 1.b2=ac是a,b,c为等比数列的必要不充分条件; 2.当等比数列的公比不确定时,求前n项和要分公比等于1和不等于1分别进行计算.,习题回扣(命题人推荐) 1.(等差数
22、列的判定)已知数列an满足如下条件:an=an+b(a,b为常数);2an+1=an+an+2对nN*恒成立;前n项和Sn=2n2+3n+2.在上述条件中能够判定an为等差数列的是 .,答案:,2.(等差数列的基本运算)已知等差数列an的前n项和为Sn,若S10=310,S20= 1 220,则Sn= .,答案:3n2+n,3.(等比数列的基本运算)已知等比数列an的前n项和为Sn,若S5=10,S10=50,则S15= .,答案:210,4.(等比数列的判定)已知数列an,bn均为等比数列,则数列:an+bn; kan(k为非零常数);anbn; ;b3n-2中一定为等比数列的是 .,答案:
23、,解析:中,当k为偶数时,有Tk=0的可能,如果k为奇数,则的结论也正确. 答案:,2.基本公式 等差数列、等比数列求和公式.,4.基本递推关系 (1)an+1=an+f(n)(叠加法);,(3)an+1=can+d(c0,1,d0)(转化为an+1+=c(an+);,易忘提醒 1.根据Sn求通项时,不要忘记分类求解. 2.裂项求和时注意验证裂项前后的等价性;错位相减求和时,不要忘记检验第一项与后面的项是否组成等比数列,不要忘记最后一项.,习题回扣(命题人推荐) 1.(由an与Sn的关系求an)已知数列an的前n项和Sn=n2+n+1,则an= .,答案:,2.(逆推数列求和)已知数列an中,
24、a1=1,a2=2,an+2=an+1+an,则该数列的前6项之和是 .,答案:32,3.(转化为等比数列求和)已知数列an满足a1=1,an+1=4an+3,则该数列的前n项和Sn= .,十一、空间几何体的三视图、表面积与体积 知识方法 1.棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形. (2)正棱锥的性质 侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高(侧面等腰三角形底边上的高)相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底
25、面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.,2.三视图 (1)正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的投影图.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高; (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. 3.几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线. (2)解决柱、锥的内切球问题的关键
26、是找准切点位置,化归为平面几何问题.,4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 圆柱的表面积S=2r(r+l); 圆锥的表面积S=r(r+l); 圆台的表面积S=(r2+r2+rl+rl); 球的表面积S=4R2. (2)体积公式 柱体的体积V=Sh;,易忘提醒 在有关体积、表面积的计算应用中注意等积法的应用.,答案:4,2.(多面体)构成多面体的面最少是 .,答案:四个,答案:4,3.(三视图求体积)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为 .,答案:49,5.(棱台的体积计算)已知棱台的上下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为 .,答案
27、:28,4.(球的有关计算)如果两个球的体积之比为827,那么这两个球的表面积之比为 .,十二、点、直线、平面之间的位置关系 知识方法 1.直线与平面平行的判定和性质 (1)判定 判定定理:ab,b,aa. 面面平行的性质:,aa. ab,b,a,则a. (2)性质:l,l,=mlm. 2.直线和平面垂直的判定和性质 (1)判定 判定定理:ab,ac,b,c,bc=O a.,ab,ab. l,l. ,=l,a,ala. (2)性质 l,ala. l,mlm. 3.两个平面平行的判定和性质 (1)判定 判定定理:a,b,ab=P,a,b. l,l.,. (2)性质:,=a,=bab. 4.两个平
28、面垂直的判定和性质 (1)判定:a,a. (2)性质:,=l,a,ala.,易忘提醒 1.平行问题的转化关系,2.垂直关系的转化,答案:交于一点或者互相平行,2.(面面位置关系)如果,那么,的位置关系是 .,答案:,习题回扣(命题人推荐) 1.(面面位置关系)三个平面两两相交有三条交线,这三条直线的位置关系是 .,答案:l,4.(线面位置关系)已知直线a在平面外,平面平面,a平面,则直线a与平面的位置关系是 .,答案:平行,3.(线面位置关系)如果,=l,则l与的位置关系是.,答案:平行四边形,5.(面面平行的性质)如图,已知三个平面,互相平行,a,b是异面直线,a与,分别交于A,B,C三点,
29、b与,分别交于D,E,F三点,连接AF交平面于G,连接CD交平面于H,则四边形BGEH必为 .,十三、立体几何中的向量方法 知识方法 1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面,的法向量分别为=(a2,b2,c2), v=(a3,b3,c3). (1)线面平行 laa=0 . (2)线面垂直 laa=k . (3)面面平行 v=v .,a1a2+b1b2+c1c2=0,a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2,a2=a3,b2=b3,c2=c3,(4)面面垂直 vv=0 .,a2a3+b2b3+c2c3=0,(3)二面角的求法 利用向量
30、求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,即为所求二面角-AB-的平面角.对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求. 如图所示,二面角-l-,平面的法向量为n1,平面的法向量为n2,=,则二面角-l-的大小为或-.,2.(平面的法向量)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC中的单位法向量是 .,习题回扣(命题人推荐) 1.(直线的方向向量和平面的法向量)平面的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l平面,则直线l的单位方向向量是 .,答案:7或-5,4.(向量法求线线角)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
31、E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为 .,答案:,5.(向量法求线面角)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于 .,答案:,十四、直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质 知识方法 1.直线:直线的倾斜角和斜率、直线方程的四种特殊形式、直线方程的一般形式、两直线平行关系和垂直关系的判断、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式. 2.圆:圆的定义、标准方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圆的充要条件、直线与圆的位置关系(三种,距离判断方法)、圆与圆的位置关系(距离判断方法).,3.圆锥曲线 圆锥曲线的定义、标准方
32、程与几何性质,|PF1|+|PF2|=2a(2a,|F1F2|),|PF1|PF2|=2a(2a,|F1F2|),y2=2px(p0),|x|a,|y|b,|x|a,x0,(a,0)(0,b),(a,0),(0,0),(c,0),易忘提醒 1.椭圆、双曲线的很多问题有相似之处,在复习中要注意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系. 2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点),“四线”(两条对称轴、两渐近线),“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系. 3.涉及抛物线有关的最值问题,
33、一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 4.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.,2.(直线与圆相切)“直线x-y+k=0与圆x2+y2=2相切”的充要条件是 .,习题回扣(命题人推荐) 1.(直线与圆相交)已知直线x+y=a与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,且AOB= 120,则实数a的值等于 .,答案:k=2,答案:y2=8x,5.(抛物
34、线方程)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是 .,十五、直线与圆锥曲线的位置关系 知识方法 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个未知数借助判别式与0的关系确定直线与圆锥曲线的关系,特别地,当直线与双曲线的渐近线平行时,该直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行时,该直线与抛物线只有一个交点.,(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接计算弦长. 3.弦的中点问题 有关弦的中点问题应灵活运用“点差法”“设而不求法”来简化运算. 易忘提醒 1.若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题,一般可利用圆锥曲线的定义去解决. 2.在直线
35、与圆锥曲线的问题中,要充分重视根与系数的关系和判别式的运用. 3.涉及直线与抛物线x2=2py(p0)相切问题时,可以借助导数求解.,习题回扣(命题人推荐) 1.(椭圆的方程)椭圆两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),P在椭圆上,若PF1F2的面积的最大值为12,则椭圆方程为 .,答案:3,答案:1+,3.(直线与抛物线)在直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,0)关于原点O对称.点P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,且直线AP与BP的斜率之积等于2,则x0= .,4.(直线与抛物线)已知抛物线方程x2=4y,过点M(0,m)的直线交抛物线于A(x1, y1),B(x2,y2)两点,且x
36、1x2=-4,则m的值为 .,答案:1,答案:,十六、圆锥曲线的综合问题 知识方法,易忘提醒 1.参数法求轨迹方程时不要忽视参数范围对曲线范围的影响. 2.定点、定值、范围、最值问题均与参数有关,不要忽视参数范围的讨论.,答案:2,答案:m|2m3或m-3,答案:2,3.(直线与抛物线)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .,十七、概率、随机变量及其分布列 知识方法 1.随机事件的概率 (1)事件的概率范围:0P(A)1;必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0.,2.互斥事件与对立事件 (1)对立事件是互斥
37、事件,互斥事件未必是对立事件; (2)如果事件A,B互斥,那么事件AB发生(即A,B中有一个发生)的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(AB)=P(A)+P(B).这个公式称为互斥事件的概率加法公式.,4.相互独立事件同时发生的概率 若A,B为相互独立事件,则P(AB)=P(A)P(B).,7.离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi的概率为P(X=xi)=pi,则称表:,为离散型随机变量X的分布列. (2)离散型随机变量X的分布列具有两个性质: pi0,p1+p2+pi+pn=1(i=1,2,3,n). (3)E(X)=x
38、1p1+x2p2+xipi+xnpn为X的均值或数学期望(简称期望),反映X的平均水平.,(5)性质 E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数); XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p); X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).,P(-2X+2)=0.954 5; P(-3X+3)=0.997 3.,易忘提醒 1.事件互斥与事件相互独立的区别 事件互斥是指在一次试验中,两个事件或多个事件不可能同时发生,而事件的相互独立,只要它们互不影响就可以称为相互独立. 2.独立重复试验的条件 满足独立重复试验的条件有两个,一是每一次试
39、验的结果只有两个,二是在相同条件下,试验可以重复. 3.正态分布的计算主要是通过3原则以及正态曲线的性质:曲线关于x=对称进行计算.,习题回扣(命题人推荐) 1.(条件概率)100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,则第二次抽出正品的概率是 .,2.(相互独立试验的概率)天气预报,在元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,则在这段时间内至少有一个地方降雨的概率是 .,答案:0.44,3.(数学期望)现要发行10 000张彩票,其中中奖金额为2元的彩票1 000张,10元的彩票200张,50元的彩
40、票50张,100元的彩票50张,1 000元的彩票5张,1张彩票可能中奖金额的均值是 元.,解析:设X表示1张彩票的中奖金额,则它的分布列为,所以E(X)=00.869 5+20.1+100.02+500.005+1000.005+1 000 0.000 5=1.65. 答案:1.65,十八、统计案例 知识方法 1.抽样方法 抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种,这三种抽样方法各自适用不同特点的总体,但无论哪种抽样方法,每一个个体被抽到的概率都是相等的,都等于样本容量和总体容量的比值,并且都是不放回的抽样.(2)各小长方形的面积之和等于1.,3.用样本的数字特征估计总体的数字特征
41、 (1)众数、中位数、平均数,易忘提醒 1.随机抽样的方法有三种,其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况,当总体中的个体数量较多且差别不大时要使用系统抽样,当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样.系统抽样最重要的特征是“等距”,分层抽样最重要的特征是总体中个体有明显的“层次”,各层抽样比相等.,习题回扣(命题人推荐) 1.(抽样)一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,从中抽出一个容量为28的样本,则男运动员抽取 人.,答案:16,2.(数据的数字特征)甲乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3
42、 1 1 0 2 1 1 0 1 通过计算这两组数据的平均数与标准差进行比较, 台机床的性能较好.,答案:乙,3.(线性回归方程)有人收集了10年中某城市的居民年收入x亿元与某种商品的销售额y万元的有关数据,由调查数据得到y对x的回归直线方程是=1.447x-15.843.若这座城市居民的年收入达到40亿元,则这种商品的销售额估计是万元.,答案:42.037,4.(独立性检验)为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下列联表:,通过计算K2说明可有 的把握认为药物有效(P(K25.024)0.025).,答案:97.5%,十九、选修4系列 知识方法 1.坐标系与参数方程 (1)直角坐
43、标与极坐标的互化,当圆心位于M(a,0),半径为a: ; 当圆心位于M（a, ）,半径为a:=2asin . (3)直线的极坐标方程 若直线过点M(0,0),且与极轴所成的角为,则它的方程为sin(-)= 0sin(0-). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: 直线过极点:=0和=-0;,=2acos ,直线过点M(a,0)且垂直于极轴: ; 直线过M(b, )且平行于极轴:sin =b.,cos =a,2.不等式选讲 (1)绝对值不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(
44、a-b)(b-c)0时,等号成立.,(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c(c0) . |ax+b|c(c0) . (3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式 求解,体现数形结合思想. 利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想. 通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想. (4)证明不等式的基本方法 比较法;综合法;分析法;反证法;放缩法. (5)二维形式的柯西不等式 若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2) ,当且仅当 时,等号成立.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,几何意义,(ac+bd)2,ad=bc,易忘提醒 1.将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数,简称为“消参”.把参数方程化为普通方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性. 2.“零点分段法”是解绝对值不等式的最基本方法,一般步骤是:(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零,求出相应的根;(2)把这些根按由小到大进行排序,n个根把数轴分为n+1个区间;(3)在各个区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集;(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.,
