1、1七 极坐标与参数方程(B)1.(2018顺德区一模)在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),曲线 C1经过坐标变换 后得到的轨迹为曲线 C2.(1)求 C2的极坐标方程;(2)在以 O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标中,射线 = 与 C1的异于极点的交点为 A,与 C2的异于极点的交点为 B,求|AB|.2.(2018日照二模)在直角坐标系 xOy中,直线 l的方程为 x-y-2=0.在以坐标原点 O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 :cos 2=-2cos .(1)求曲线 的直角坐标方程;(2)若点 P的坐标为(-2,-4),直线 l和曲线 相交
2、于 M,N两点,证明:|MN| 2=|PM|PN|.3.(2018六安高三模拟)在平面直角坐标系 xOy中,曲线 C1过点 P(a,1),其参数方程为(t为参数,aR),以 O为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极=+22,=1+22坐标方程为 cos 2+ 4cos -=0.(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)若已知曲线 C1和曲线 C2交于 A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数 a 的值.4.(2018思明区校级模拟)在以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C1的极坐标方程为 =2,正三角形 ABC的顶点都在 C1上
3、,且 A,B,C依逆时针次序排列,点 A的坐标为(2,0).(1)求点 B,C的直角坐标;(2)设 P是圆 C2:x2+(y+ )2=1 上的任意一点,求|PB| 2+|PC|2的取值 范围.31.解:(1)曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),2转化为直角坐标方程为 x2+y2=1,曲线 C1经过坐标变换 后得到的轨迹为曲线 C2.=2,=即 +y 2=1,24故 C2的直角坐标方程为 +y2=1.转化为极坐标方程为 + 2sin2=1.224(2)曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),转化为极坐标方程为 1=1,由题意得到 A(1, ),将 B( 2, )代入坐标方程 + 2sin2=1.
4、224得到 2= ,477则|AB|=| 1- 2|= -1.4772.(1)解:因为 :cos 2=-2cos ,所以 -cos 2=2cos ,所以 sin 2=2cos ,所以曲线 的直角坐标方程为 y2=2x.(2)证明:因为直线 l的方程为 x-y-2=0,所以定点 P(-2,-4)在直线 l上,所以直线 l的参数方程为 (t为参数).将曲线 C的直角坐标方程和直线 l的参数方程联立,得 t2-10 t+40=0(*)2因为 =(-10 )2-4140=400,2所以直线 l和曲线 相交,设交点 M,N所对应参数分别为 t1,t2,t1+t2=10 ,t1t2=40,2则|PM|=|
5、t 1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|,故|MN| 2=|t1-t2|2= + -2t1t22122=(t1+t2)2-4t1t2=(10 )2-4140=40,2又|PM|PN|=|t 1|t2|=|t1t2|=40,3所以|MN| 2=|PM|PN|.3.解:(1)C 1的参数方程 (t为参数,aR)=+22,=1+22消参得普通方程为 x-y-a+1=0,C2的极坐标方程为 cos 2+4cos -=0 两边同乘 得 2cos2+4cos - 2=0即 y2=4x.(2)将曲线 C1的参数方程 (t为参数,aR)代入曲线 C2:y2=4x得 t2- t+1-=+22,=1
6、+22 12 24a=0,由 =(- )2-4 (1-4a)0,得 a0,212设 A,B对应的参数分别为 t1,t2,由题意得|t 1|=2|t2|,即 t1=2t2或 t1=-2t2,当 t1=2t2时, 解得 a= ,1=22,1+2=22,12=2(14),当 t1=-2t2时, 解得 a= ,94综上,a= 或 .944.解:(1)因为曲线 C1的极坐标方程为 =2,所以曲线 C1的直角坐标方程为 x2+y2=4,因为正三角形 ABC的顶点都在 C1上,且 A,B,C依逆时针次序排列,点 A的坐标为(2,0),所以 B点的坐标为(2cos 120,2sin 120),即 B(-1, ),3C点的坐标为(2cos 240,2sin 240),即 C(-1,- ).3(2)因为圆 C2:x2+(y+ )2=1,3所以圆 C2的参数方程 02,=,= 3+,设点 P(cos ,- +sin ),02,3所以|PB| 2+|PC|2=(cos +1) 2+(sin -2 )2+(cos +1) 2+sin2=16+4cos -4 sin 3 3=16+8cos(+ ),所以|PB| 2+|PC|2的取值范围是8,24.
