1、1六 导数(A)1.(2018湖南怀化模拟)设 M是由满足下列条件的函数 f(x)构成的集合:“方程 f(x)-x=0有实数根;函数 f(x)的导数 f(x)满足 00且关于 x的方程 f(x)=m有两解 x1,x2(x12a.4.(2018德阳模拟)已知函数 f(x)=ln (x+1).(1)当 x(-1,0)时,求证:f(x)0.21.(1)解:函数 f(x)= + 是集合 M中的元素.4理由如下:因为 f(x)= + cos x,1214所以 f(x) , 满足条件 00,所以 f(x)为增函数,所以 f(x2)f(x3)-x3,所以 00,x(0,1),所以 m 1(x)在(0,1)上
2、单调递增,则当 x(0,1)时,m 1(x)m 1(0)=0,所以 m1(x)在(0,1)上也为增函数,所以 x(0,1)时,1=m1(0)0,m2(x)为增函数,1且 m2( )=- ,m2(1)=0,1 1所以- m 2(x)0,则当 x(0,a)时,f(x)0,函数 f(x)单调递增.若 a=0,则当 f(x)=2x0 在 x(0,+)内恒成立,函数 f(x)单调递增.若 a0,函数 f(x)单调递增.(2)证明:要证 x1+x22a,只需证 a.1+22设 g(x)=f(x)=- +2x-a,2因为 g(x)= +20,22所以 g(x)=f(x)为单调递增函数.所以只需证 f( )f
3、(a)=0,1+22即证- +x1+x2-a0,221+2只需证- + (x1+x2-a)0.(*)21+2又-a 2ln x1+ -ax1=m,-a2ln x2+ -ax2=m,21 22所以两式相减,并整理,得- + (x1+x2-a)=0. 1 212把 (x1+x2-a)= 代入(*)式, 1 212得只需证- + 0,21+2 1 2125可化为- +ln 0,所以 (t)在其定义域上为增函数,所以 (t)q(0)=0,即 xln (x+1)=f(x)恒成立.记 m(x)=x+ln (-x+1),则 m(x)=1+ = ,11 1在(-1,0)上,m(x)0,即 m(x)在(-1,0)上递增,所以 m(x)ln (x+1)得,e -xh(0)=0,即 g(x)g(-x),而-1g(-x1),g(x1)=g(x2)=0,所以 g(x2)g(-x1),由题知,-x 1,x2(0,+),g(x)在0,+)上递增,所以 x2-x1,即 x1+x20.
