1、高考新动向数学文化面面观（一） 三角函数及解三角形中的数学文化,三角函数是三角学的重要组成部分,是刻画周期现象的一种非常重要的数学模型,是高中数学中很重要的一类函数,解三角形也是非常重要的数学内容,这些内容在高考中都占有很大的比例,常常出现数学文化的背影.,1.(2017浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割 圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任 意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精 确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆 术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S内, S内=_.,【解析】如图,因为是单位圆,所以OA=1,因为六边形 ABCDEF是正六边形,所以
2、OAB是正三角形,所以AB=1, 过点O作OGAB于点G,所以OG=OAsin 60= ,所以 正六边形的面积为6SOAB=6 ABOG= .,答案:,【名师点睛】本题粗略看起来文字量大,其本质为将正六边形分割为6个等边三角形,确定6个等边三角形的面积,其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要,考生面对这方面题目时应多加耐心,仔细分析题目中所描述问题的本质,结合所学进行有目的的求解.,2.(2015陕西高考)如图,某港口一天6时到18时的水 深变化曲线近似满足函数y=3sin +k,据此函数可 知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ( )A.5 B.6 C.8 D.10,【解题指南】本
3、题考查由y=Asin(x+)+k的部分图象确定函数的最大值,可得ymax=3+k,ymin=k-3,整理可求最大值.,【解析】选C.不妨设水深的最大值为M,由题意结合函数图象可得3+k=M k-3=2 解之得M=8.,3.(2018西安八校联考)三世纪中期,魏晋时期的数学 家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和 完善的算法.所谓割术,就是用圆内接正多边形的面积 去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样 的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正 3 072边形,如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序 框图,若输出的n=24,则p的值可以是 ( ),(参考数据:sin 150.
4、258 8,sin 7.50.130 5, sin 3.750.065 4)A.2.6 B.3 C.3.1 D.3.14,【解析】选C.模拟执行程序,可得:n=6,S=3sin 60=,不满足条件Sp,n=12,S=6sin 30=3,不满足 条件Sp,n=24,S=12sin 15120.258 8= 3.105 6,满足条件Sp,退出循环,输出n的值为24.故 p=3.1.,4.(2018江苏高考)某农场有一块农田,如图所示,它的 边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现 规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地
5、块形 状为矩形ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求A,B均 在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.,(1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积,并确定 sin 的取值范围. (2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜, 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43.求当 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.,【解析】(1)设PO的延长线交MN于H,则PHMN,所以 OH=10. 过O作OEBC于E,则OEMN,所以COE=,故OE=40cos ,EC=40sin , 则矩形ABCD的面积为240cos (40sin +10)= 800(4sin cos+cos
6、),CDP的面积为2 40cos (40-40sin )= 1 600(cos -sin cos ). 过N作GNMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则 GK=KN=10. 令GOK=0,则sin 0= ,0 .,当 时,才能作出满足条件的矩形ABCD, 所以sin 的取值范围是 . 答:矩形ABCD的面积为800(4sin cos +cos )平 方米,CDP的面积为1 600(cos -sin cos ), sin 的取值范围是 .,(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43, 设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值 为3k(k0), 则年总产值为4k800(4si
7、n cos +cos )+3k 1 600(cos -sin cos )=8 000k(sin cos + cos ), .,设f()=sin cos +cos , , 则f()=cos2-sin2-sin =-(2sin2+sin-1) =-(2sin -1)(sin +1). 令f()=0,得= , 当 时,f()0,所以f()为增函数;,当 时,f()0,所以f()为减函数, 因此,当= 时,f()取到最大值. 答:当= 时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.,5.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内, B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得 B点和D点的仰角分别为75,30,于水面C处测得B点 和D点的仰角均为60,AC=0.1 km.试探究图中B,D间距 离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离.(计算结 果精确到0.01 km, 1.414, 2.449),【解析】在ACD中,DAC=30, ADC=60-DAC=30,所以CD=AC=0.1, 又BCD=180-60-60=60, 故CB是CAD底边AD的中垂线, 所以BD=BA. 在ABC中, ,即AB= , 因此,BD= 0.33 km. 故B,D的距离约为0.33 km.,
