1、119.3.3 正方形知识要点基础练知识点 1 正方形的性质1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 (D)A.对角线相等且互相平分B.对边平行且相等C.每一个内角均为直角D.对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角2.正方形 ABCD 的边长是 4 cm,对角线 AC,BD 相交于点 O,则 OA 的长是 (B)A.2 cm B.2 cm C.4 cm D.4 cm2 23.正方形的对角线的长为 6 cm,则正方形的面积为 18 cm2. 4.如图, G 为正方形 ABCD 内一点, AB=AG, AGB=70,连接 DG,那么 BGD= 135 . 知识点 2 正方形的判定5.下列结论错误的
2、是 (C)A.对角线相等的菱形是正方形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形6.黑板上画有一个图形,学生甲说它是多边形,学生乙说它是平行四边形,学生丙说它是菱形,学生丁说它是矩形,老师说这四名同学的答案都正确,则黑板上画的图形是 正方形 . 综合能力提升练27.如图,在正方形 ABCD 外侧,作等边三角形 ADE,AC,BE 相交于点 F,则 BFC 的度数为 (B)A.75 B.60 C.55 D.458.如图,在正方形 ABCD 中, EF 分别是边 CD,AD 上的点,且 CE=DF,AE 与 BF 相交于点
3、O,则下列结论错误的是 (C)A.AE=BF B.AE BFC.AO=OE D.S AOB=S 四边形 DEOF9.如图,把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为 MN,再过点 B 折叠纸片,使点 A 落在 MN 上的点 F 处,折痕为 BE.若 AB 的长为 2,则 EN 的长为 (D)A. B.23 3C.2 D.2 -32 310.(舟山中考)有一张矩形纸片 ABCD,已知 AB=3,AD=2,小明按下图步骤折叠纸片,则线段 DG的长为 (A)A. B.22 2C.1 D.211.如图,正方形 ABCD 的边长为 6,点 E,F 分别在 AB,AD 上,若 CE=3
4、 ,且 ECF=45,则 CF5的长为 (A)3A.2 B.310 5C. D.53 10 103 512.如图,正方形 ABCD 的边长为 6 cm,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 O 的任一直线 EF 分别交边 AB,CD 于点 E,F,则阴影部分的面积是 9 cm2 . 13.如图,直线 l1 l2 l3,正方形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 分别在 l1,l2,l3上, l1,l2之间的距离是 3,l2,l3之间的距离是 4,则正方形 ABCD 的面积为 25 . 14.(义乌中考)如图为某城市部分街道示意图,四边形 ABCD 为正方形,点 G 在对角线 BD 上,GE C
5、D,GF BC,AD=1500 m,小敏行走的路线为 B A G E,小聪行走的路线为B A D E F,若小敏行走的路程为 3100 m,则小聪行走的路程为 4600 m. 15.(泰州中考)如图,正方形 ABCD 中, G 为 BC 边上一点, BE AG 于点 E,DF AG 于点 F,连接DE.(1)求证: ABE DAF;(2)若 AF=1,四边形 ABED 的面积为 6,求 EF 的长 .解:(1)在正方形 ABCD 中, AB=AD, BAD=90,即 DAF+ BAE=90.BE AG,DF AG, AEB= DFA=90, ABE+ BAE=90, ABE= DAF, ABE
6、 DAF.(2)设 EF=x,则 AE=1+x.4由(1)知 ABE DAF,BE=AF= 1,DF=AE=1+x.S 四边形 ABED=S ABE+S AED= BEAE+ AEDF= (1+x)+ (1+x)2=6,解得 x1=-5(不合题意,舍去),12 12 12 12x2=2,EF 的长为 2.16.正方形 ABCD 的边长为 6,点 E,F 分别在 AB,BC 上,将 AD,DC 分别沿 DE,DF 折叠,点 A,C 恰好都落在 P 处,且 AE=2.(1)求 EF 的长;(2)求 BEF 的面积 .解:(1) 正方形 ABCD 的边长为 6, A= C=90,AB=BC=6,根据
7、折叠的性质可得 DPE= DPF=90,AE=PE=2,CF=PF,E ,P,F 三点在同一直线上,设 CF=x,则 PF=x,BF=6-x,EF=x+2,BE=4,在 Rt BEF 中, BE2+BF2=EF2,即 42+(6-x)2=(x+2)2,解得 x=3,EF= 3+2=5.(2)由(1)得 BF=BC-CF=3,BE=4,S BEF= BEBF= 43=6,12 12 BEF 的面积为 6.17.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,O 是 BC 边上的一个动点(与 B,C 点不重合),以 O 为顶点在BC 所在直线的上方作 MON=90.当 MO 经过点 A 时,在 ON 上截取
8、 OE=OA,过 E 点作 EF 垂直于直线 BC,垂足为 F,EH CD 于点 H,求证:四边形 EFCH 为正方形 .5证明: MON=90, EOF=90- AOB.在正方形 ABCD 中, BAO=90- AOB, EOF= BAO,又 EH CD,EF CB, DCF=90, EHC= EFC=90, 四边形 EFCH 为矩形,又 EOF= BAO, EFO= B,OE=OA, EOF OAB,EF=BO ,OF=AB=BC,又 OF=OC+CF ,BC=BO+OC,CF=OB=EF , 四边形 EFCH 为正方形 .拓展探究突破练18.如图, AC 是正方形 ABCD 的对角线,
9、E 为边 CB 上一个动点(点 E 不与点 C,B 重合),连接 AE,点F 在直线 AC 上,且 EF=AE.(1)若 BAE=10,求 CEF 的度数;(2)试探究线段 CD,CE,CF 之间的数量关系,并说明理由 .解:(1) AC 是正方形 ABCD 的对角线, BAC= BCA=45. BAE=10, EAF=35.EF=AE , F= EAF=35. BCA 是 CEF 的外角,6 BCA= F+ CEF,即 45=35+ CEF, CEF=10.(2) CE+CF= CD.2 2理由:由(1)知 BAE= CEF.过点 E 作 ME BC 交 AC 于点 M,易证 AEM FEC,AM=FC ,FM=AC= CD.2FM=MC+CF ,MC+CF= CD.2ME BC, ACB=45, MEC 是等腰直角三角形,MC= CE, CE+CF= CD.2 2 2
