1、1专题 5.2 椭圆轨道上运行天体【题型概览】在椭圆轨道上运行天体中，可以是天体在同一轨道上不同位置的速度、加速度、能量等的比较，可以是不同轨道上运动周期或对应位置的速度、加速度、能量等的对比；可以是一个天体从一轨道到另一轨道的变轨，可以是两不同轨道上飞行器的对接，还可以是人造天体的发射与回收等【题型通解】1.在不同轨道是的运行时间或运行周期的比较，着眼点是开普勒第三定律例 1.如图所示，从地面上 A 点发射一枚远程弹道导弹，在引力作用下，沿 ACB 椭圆轨道飞行击中地面目标B，C 为轨道的远地点，距地面高度为 h.已知地球半径为 R，地球质量为 m 地 ，引力常量为 G.设 距地面高度为 H
2、 的圆轨道上卫星运动周期为 T0，不计空气阻力。下列结论正确的是(A)导弹在 C 点的速度大于(B)导弹在 C 点的加速度等于(C)地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点(D)导弹从点 A 运动到 B 点的时间一定小于 T0【答案】【解析】借用开普勒第一定律知地心在导弹椭圆轨道的一个焦点上，点是椭圆轨道上的远地点，则导弹到达点后要在万有引力作用下做近心运动，即导弹在点所受到的万有引力大于其所需向心力，有 hRGmvc地 ，错误正确。导弹在点时只受到万有引力作用，由牛顿第二定律知 ，即 2)(a地 ，正确。由于此椭圆轨道的半长轴小于离地高度为 h 的圆形轨道的半径，根据开普勒第三定律知其周期必小于该圆
3、轨道的周期，且导弹从运动到的时间又小于一个周期，故正确。2.椭圆轨道上，天体在某处的加速度与向心加速度一般不同，比较加速度时可直接利用牛顿第二定律；比2较向心加速度时若利用牛顿第二定律则外力需是垂直于该处速度方向的分力，若利用向心加速度表达式时，速度是该处的瞬时速度，半径是该处的曲率半径例 2.右图为两颗人造卫星绕地球运动的轨道示意图，为圆轨道，为椭圆轨道，AB 为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，C、D 为两轨道交点。己知轨道上的卫星运动到 C 点时速度方向与 AB 平行，则下列说法正确的是A两颗卫星的运动周期相同 ADBCB卫星在轨道的速率为 v0，卫星在轨道 B 点的速率为 vB，
4、则 v0vBC两个轨道上的卫星运动到 C 点时的加速度相同D两个轨道上的卫星运动到 C 点时的向心加速度大小相等【答案】AC3.卫星变轨时从低轨道（半长轴或半径短的轨道）向高轨道变轨， 发动机需施加动力使卫星加速，卫星机械能增大；反之则需减速飞行器实施对接时，由于同一轨道上的飞行器运行角速度相同。不能直接对接，需先使后方飞行器减速进入低轨道，行当时刻再加速回到原轨道以运行至同一位置进行对接。 4.比较卫星在轨道上的线速度时，可抓住切点处的变轨，从发动机做功情况确定卫星动能变化、速度变化情况。从能量变化情况不易比较时可借助圆轨道上线速度与半径的关系；在无动力飞行过程中飞行器机械能守恒，在阻力作用
5、下运动时机械能减小引起轨道半径减小、引力势能减小，动能反而增大、速率增加例 5.美国宇航局的“信使”号水 星探测器 按计划将在 2015 年 3 月份陨落在水星表面。工程师找到了一种聪明的办法，能够使其寿命再延长一个月。这个办法就是通过向后释放推进系统中的高压氦气来提升轨道。如图所示，设释放氦气前，探测器在贴近水星表面的圆形轨道上做匀速圆周运动，释放氦气后探测器进入椭圆轨道上，忽略探测器在椭圆轨道上所受外界阻力。则下列说法正确的是3AB A探测器在轨道上 A 点运行速率小于在轨道上 B 点速率B探测器在轨道上某点的速率可能等于在轨道上速率C探测器在轨道上远离水星过程中，引力势能和动能都减少D探
6、测器在轨道和轨道上 A 点加速度大小不同【答案】B 例 6.2012 年 6 曰 18 日，神州九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面 343km 的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是A为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C如不加干涉，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用【答案】BC5.向心力表达式中 r 是椭圆轨道上某处的曲率半径，并非该处到地心的距离。由于椭圆的对称性，在椭圆上关于中心、关
7、于长轴或关于短对称点处的曲率半径相同 例 7一人造地球卫星质量为 m，其绕地球运动的轨道为椭圆轨道，它在近地点时到地心的距离为 r1，速4度为 v1，加速度为 a1，在远地点时，到地心的距离为 r2，速度为 v2，加速度为 a2，则下列关系式正确的是 A. 12=r B. 21=rv C. 12=)(a D. 21=)r(a【答案】C【解析】在近地点： ，在远地点 ，式中 是在近地点与远地点处椭圆轨道的曲率半径，故得 12rv、 21)(ra，只有 C 正确。 2.如图所示，在某次卫星发射过程中，卫星由近地圆轨道 l 通过椭圆轨道 2 变轨到远地圆轨道 3。轨道 l与轨道 2 相切于 a 点,
8、轨道 2 与轨道 3 相切于 b 点则下面说法正确的是A在轨道 1 运行的角速度大于轨道 3 上运行的角速度B在轨道 l 上过 a 点时的速度大于轨道 2 上过 a 点时的速度 C在轨道 3 上过 b 点时的加速度大于轨道 2 上过 b 点时的加速度D在轨道 2 上运动时，从 a 点到 b 点机械能守恒【答案】AD3.如图所示，A 为静止于地球赤道上的物体，B 为绕地球作椭圆轨道运行的卫星，C 为绕地球做圆周运动的卫星，P 点是 BC 两卫星轨道的交点。已知 A、B、C 绕地心运动的周期相同。相对于地心，下列说法中不正确的是5A物体 A 和卫星 C 具有相同大小的加速度B卫星 C 的运行速度大
9、于物体 A 的速度C可能出现：在每天的某一时刻卫星 B在 A 的正上方D卫星 B 在 P 点的运行加速度大小与卫星 C 的运行加速度大小相等【答案】A 【解析】由 知 ，A 错误 B 正确；因为它们运行的周期相等，故某时刻 B 在 A 的上方则在每天的同一时刻 B 必然会出现在 A 的上方，C 正确；在 P 点时由 marGM2知 r 相同 a 就相同，与卫星质量 m 无关，D 正确，答案为 A。 8.我国发射的首个目标飞行器“天宫一号”，在高度约 343 km 的近圆轨道上运行，等待与“神舟八号”飞船进行对接。“神舟八号”飞船发射后经变轨调整后到达距“天宫一号”后下方距地高度约为 330km 的近圆稳定轨道。右图为二者对接前在各自稳定圆周轨道运行示意图。二者运行方向相同，视为做匀速圆周运动，下列说法中正确的是天宫一号地球神州八号A.为使“神舟八号”与天宫一号”对接，可在当前轨道位置对“神舟八号”适当加速B.“天宫一号”所在处的重力加速度比“神 舟八号”大C.“天宫一号”在发射入轨后的椭圆轨道运行阶段，近地点的速度大于远地点的速度D.在“天宫一号”内，太空健身器、体重计、温度计都可以正常使用【答案】AC 6
