1、1专题 6.3 系统机械能守恒【题型概览】在系统机械能守恒中，包括单体机械能守恒的判定、多物体机械能守恒的应用方法；多个物体间可以是通过无弹性轻绳连接、可以是通过轻杆连接还可以是通过接触面发生作用【题型通解】1.只有重力或弹力做功.可以从以下三个方面理解：只受重力与弹簧弹力作用，物体的机械能守恒.受其他力，但其他力不做功，物体的机械能守恒.其他力做功，但做功的代数和为零.例.如图所示，光滑斜面固定在水平面上，斜劈 B 上表面水平且粗糙，物体 A 放在 B 的上表面上，由静止释放后两物体一起下滑，则在物体下滑过程中A.物体 B 对 A 的支持力不做功B.物体 B 对 A 的摩擦力做负功C.下滑过
2、程中物体 A 的机械能守恒D.任一时刻 A 所受支持力与所受摩擦力的瞬时功率之和为零【答案】CD2.判定物体机械能是否守恒的方法 做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析.分析物体或系统的受力情况（包括内力和外力） ，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒. 能量转化分析法：2从能量转化的角度进行分析.若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形式的能（如内能增加） ，则系统的机械能守恒. 增减情况分析法：直接从机械能的各种形式的能量的增减情况进行
3、分析.若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能不变，而势能发生了变化，或系统的势能不变，而动能发生了变化，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒.典型過程对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒.一端固定的非弹性绳突然绷紧时，所连接的物体在沿绳方向上的分速度将瞬间减小为 0.3.机械能守恒表达形式 观点：守恒观点 E1=E2或 Ep1+Ek1=Ep2+Ek2表示系统在初状态的机械能等于末状态的机械能常用于单个物体，应用时需要选参考平面（零势能面） 观点 II：转化观点 E k+E p=
4、0表示系统动能的减少（或增加）等于势能的增加（或减少） 初、末态高度可未知，但高度变化已知.，应用时不需要选参考平面（零势能面） 观点 III:转移观点 E +E B=0表示系统一部分 A 机械能的减少（或增加）等于另一部分 B 机械能的增加（或减少）.适用于系统，应用时不需要选参考平面（零势能面） 例 4.如图所示，质量为 m 的小球与一个不可伸长的、长为 L 的轻绳连接，绳的另一端固定于 O 点，现将小球拉到与水平方向成 300角的上方。 （绳恰伸直） ，然后将小球自由释放，求小球到最低点时受到绳的拉力大小。例 4 图【答案】3.5mg【解析】如图，小球释放后先做自由落体运动，绳子将牌松弛
5、状态。当小球运动到 O 点所在水平线下方且3与 O 点连线与水平方向成 300角时，绳被瞬间拉直。在绳绷直前的瞬间小球的速度方向竖起向下，大小为在绳绷直的瞬间过程中，由于 O 点固定，则小球在沿绳方向上的分速度在瞬时减小到零，小球在垂直于绳方向上的分速度 。此后小球以 v为初速度沿弧线下摆，由机械能守恒有在最低 点由牛顿第二定律有联立以上各式可得 T3.5mg。4.系统机械能守恒（1）对于系统来说，除重力外无其他外力做功只是系统机械能守恒的必要条件之一，另一个重要条件是系统内力不做功或所做的总功为零，特别是系统内无摩擦力时系统的机械能守恒（2）系统内物体的速度不一定是相同的，利用机械能守恒无解
6、系统问题时，通常需找出系统内物体间的速度关系： 绳连接的两个物体，在任一时刻沿绳方向上的速度分量相同 杆连接的两物体，当绕固定点转动时，两物体角 速度相等；当杆自由运动时，两物体沿杆方向上的速度分量相同 接触的两物体在任一时刻沿垂直于接触面方向上的速度分量是相同例 5.如图所示，质量分别为 2m 和 3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端 A、B，直角尺的定点 O 处有光滑的固定转动轴，AO、BO 的长分别为 2L 和 L，开始时直角尺的 AO 部分处于水平位置而 B 在 O 的正下方，让该系统由静止开始自由转动，求例 5 图（1）当 A 达到最低点时，A 小球的速度大小 v；（2）B 球能上
7、升的最大高度 h。 （不计直角尺的质量）例 4 答图4【答案】 （1） 8)2(32132 gLvmvLmg 解 得 （2）32L/25（1）由（2）设 B 球上升到最高时 OA 与竖直方向的夹角为 ，则有则 B 球上升最大高度 h=L（1+sin）=32L/25例 6.如图所示，滑块 A、 B 的质量均为 m， A 套在固定竖直杆上， A、 B 通过转轴用长度为 L 的刚性轻杆连接， B 放在水平面上并靠着竖直杆， A、 B 均静止。由于微小的扰动， B 开始沿水平面向右运动。不计一切摩擦，滑块 A、 B 视为质点。在 A 下滑的过程中，下列说法中正确的是例 6 图A A、 B 组成的系统
8、机械能守恒B在 A 落地之前轻杆对 B 一直做正功C A 运动到最低点时的速度为 gL2 D当 A 的机械能最小时， B 对水 平面的压力大小为 2mg【答案】AC 【解析】由于系统所受外力中只有重力做功,系统内两物体间无相对位移,即内力做功之和为零,故系统的机械能守恒,A 正确.由于杆的限制,A 的速度只能沿竖直方向;由于水平面的限制,B 物体的速度只能沿水平方向.因两物体由杆连接,沿杆方向上的速度分量相同,则 A 物体 落地时 B 物体的速度只能为零,故对系统应用机械能守恒可知 C 正确.在 A 落地之前只有杆的弹力对 B 做功,而 B 先由静止开始运动,最终速度又为零,5即 B 的速率是
9、先增大后减小的,则动能定理知杆对 B 先做正功后做负功,B 错误.A 的机械能最小时 B 的动能最大,此前 B 的动能增大,杆对 B 的弹力是推力;此后 B 的动能减小,杆对 B 的弹力变为拉力,则 B 的动能最大时是杆对 B 的弹力由推力渐变为拉力的时刻,此瞬时杆对 B 的弹力为零,B 对地面的压力应为 mg,D 错误 6.如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮 O1、 O2和质量 mB=m 的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量 mA=m 的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角 =60，直杆上 C 点与两定滑轮均在同一高度，C 点到定滑轮 O1的距
10、离为 L，重力加速度为 g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰现将小物块从 C 点由静止释放，试求：（1）小球下降到最低点时，小物块的机械能（取 C 点所在的水平面为参考平面） ；（2）小物块能下滑的最大距离；（3）小物块在下滑距离为 L 时的速度大小【答案】 （1） （2） 4(13)msL（3） 205gLv【解析】 （1）设此时小物块的机械能为 E1由机械能守恒定律得（2）设小物块能下滑的最大距离为 sm，由机械能守恒定律有而代入解得 ； （3）设小物块下滑距离为 L 时 的速度大小为 v，此时小球的速度大小为 vB，则cosBv6解 得 7.如图所示,长为 L 的轻绳一端固
11、定于 O 点，另一端拴一质量为 m 的小球，把球拉至竖直面的最高点 A，以20gv的水平速度推出。求小球经过最低点时绳子的拉力。6 图【答案】5mg6 答图由于绳子瞬时拉紧，故 xv立刻减小为零。从绳子瞬时拉紧到小球运动到最低点，对小球应用机械能守恒定律得： 。在最低点，对小球应用牛顿第二定律得： 联立以上各式解得： mgT5。7EB C DA8.长为 6l、质量为 6m 的匀质绳，置于特制的水平桌面上，绳的一端悬垂于桌边外，另一端系有一个可视为质点的质量为 M 的木块，如图所示木块在 AB 段与桌面无摩擦（ E 点位于桌子的边缘） ，在 BE 段与桌面有摩擦，匀质绳与桌面的摩擦可忽略初始时刻
12、用手按住木块使其停在 A 处，绳处于绷紧状态， AB = BC = CD = DE = l，放手后，木块最终停在 C 处桌面距地面高度大于 6l（1）求木块刚滑至 B 点时的速度 v 和木块与 BE 段的动摩擦因数 ；（2）若木块在 BE 段与桌面的动摩擦因数变为 = ， 则木块最终停在何处？21m4M（3）是否存在一个 值，能使木块从 A 处放手后，最终停在 E 处，且不再运动？若能，求出该 值；若不能，简要说明理由【答案】 （1） mMgl65、（2）停在 D 处（3）不存在6mM【解析】 （1）木块从 A 处释放后滑至 B 点的过程中，由机械能守恒得： Ep + Ek = 0即：3 mg
13、（ l）2 mgl = （ M +6m） v2，木 块滑至 B 点时的速度 v = mMgl6532 12木块从 A 处滑至 C 点的过程中，由功能关系得：4 mg（2 l） 2 mgl = Mgl由此得 = 6mM（2）若 = ，设木块能从 B 点向右滑动 x 最终停止，由功能关系得21m4M（ lx3） mg（ 3xl）2 mgl = Mgx将 代入式并整理得 2 x2 9 lx+10l2 = 0，解得 x = 2l （ x = 25 l 不合题意舍去）即木块将从 B 点再滑动 2l 最终停在 D 处（3）不存在符合要求的 值，即不可能使木块从 A 处放手后最终停在 E 处且不再运动8解法一：当 = 时，若木块滑至 E 点，恰好有 f g 6 mg，此时绳全部悬于桌边外，对木块6mM的拉力恰好也为 6mg，而从（2）的结果知，要使木块继续向 E 点滑行，必须再减小 值 ，因而木块尚未滑至 E 点时，木块所受滑动摩擦力已与悬绳拉力相等，此时，再向 E 点滑行时，悬绳对木块拉力将大于木块受到的滑动摩擦力而使合力向右木块又重新获得加速度因此不可能保持静止状态解法二：设满足此条件的动摩擦因数为 ，根据功能关系有6mg3l 2 mgl = Mg（3 l） ，解得 = 16m3M而要使木块能在 E 处静止，还必须满足 Mg6 mg，即 6mM所以满足此条件的动摩擦因数不存在
