1、1专题 6.4 弹簧【题型概览】在弹簧中，既有弹力与形变量关系的计算，又有在弹簧弹力作用下的变速运动分析，还有涉及弹性势能的机械能守恒过程求解；有弹力作用下的单体运动分析，也有双振子运动情况的分析；【题型通解】1.由胡克定律结合平衡条件或牛顿运动定律定量解决涉及弹簧弹力、弹簧伸长量的问题。（1）轻质弹簧中的各处张力相等，弹簧的弹力可认为是其任一端与所连接物体之间的相互作用力。（2）弹簧可被拉伸，也可被压缩，即弹簧的弹力可以是拉力也可以是推力（当然弹性绳、橡皮条只能产生拉力） 。（3）弹簧称只能被拉伸，对弹簧秤的两端施加(沿轴线方向)大小不同的拉力时，其示数等于称钩一端与物体之间的拉力大小。（4
2、）有时应用 xkf比应用 kxf更便于解题。 物体在同向经过关于平衡位置对称的位置时，其运动学量具有对称时：合力、加速度大小相等方向相反；速率、动能、动量、势能相同。为了快捷分析物体的动态过程，可以采用极限方法而忽略中间突变过程，但要注意“弹簧可拉可压”的 4特点。当物体在变化的弹力作用下而做匀变速运动时，除弹簧的弹力外物体必然至少还受到一个变化的外力， 5以保证物体所受的合力恒定。例 7.如图所示，弹簧左端固定，右端自由伸长到 O 点并系住物体 m，现将弹簧压缩到 A 点，然后释放，物体一直可以运动到 B 点然后返回，如果物体受到的阻力大小恒定，则 例 7 图A 物体从 A 到 O 点先加速
3、后减速B物体运动到 O 点时所受合力为零，速度最大C物体从 A 到 O 做加速运动，从 O 到 B 做减速运动 D物体从 A 到 O 的过程加速度逐渐减小【答案】A2例 8.如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为 m、套在粗糙竖直固定杆 A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从 A 处由静止开始下滑，经过 B 处的速度最大，到达 C 处的速度为零，AC=h。圆环在 C处获得一竖直向上的速度 v，恰好能回到 A；弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为 g，则圆环A下滑过程中，加速度一直减小B下滑过程中，克服摩擦力做功为 214mvC在 C 处，弹簧的弹性势能为D上滑经过 B 的速度大于下滑
4、经过 B 的速度【答案】BD【解析】设弹簧弹力与杆间夹角为 ，则下滑过程中， ，加速度随 x 增大、 减小而增大，到 B 处 a 减小到零、速度达到最大；之后 加速度反向从零增大，到 C 处速度为零、加速度增加到最大，A 错误。由于在上滑与下滑过程中同一位置摩擦力大小相同，故上滑过程克服摩擦力做功 fW与下滑过程克服摩擦力做功 fW相同，而整个过程中重力、弹力势能变化量皆为 0，由能量守恒知摩擦产生的热量等于外界提供的动能： ，得 ，B 正确。对下滑过程由能量守恒知减少的重力势能等于增加的弹性势能与克服摩擦力产生的热量： ，C 错误。设 AB间距离为 h，在下滑中从 A 到 B 经过 B 的过
5、程中，由能量守恒有 ，在上3滑中从 B 到 A 经过 B 的过程中，由能量守恒有 ，故 D 正确。 3.涉及弹簧的弹性势能的定量计算（1）由其他量求解弹性势能时通常需由能量守恒或功能关系，有时需结合动量守恒。例 11.如图，一轻弹簧原长为 2R，其一端固定在倾角为 37的固定直轨道 AC 的底端 A 处，另一端位于直轨道上 B 处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为 56R的光滑圆弧轨道相切于 C 点，AC=7R， A、 B、 C、 D 均在同一竖直平面内。质量为 m 的小物块 P 自 C 点由静止开始下滑，最低到达 E 点（未画出） ，随后 P 沿轨道被弹回，最高点到达 F 点， AF=4R
6、，已知 P 与直轨道间的动摩擦因数 1=4，重力加速度大小为 g。 （取 ）（1）求 P 第一次运动到 B 点时速度的大小。（2）求 P 运动到 点时弹簧的弹性势能。（3）改变物块 P 的质量，将 P 推至 E 点，从静止开始释放。已知 P 自圆弧轨道的最高点 D 处水平飞出后，恰好通过 G 点。 G 点在 C 点左下方，与 C 点水平相距 72R、竖直相距 R，求 P 运动到 D 点时速度的大小和改变后 P 的质量。【答案】 （1） 2BvgR；（2） ；（3） ； 13m4（2）设 BEx.P 到 E 点速度为零，设此时弹簧的弹性势能为 Ep。P 由 B 点运动到 E 点的过程中，由动能定
7、理有 4E、F 之间的距离 l1 为 l1=4R-2R+x 5P 到达 E 点后反弹，从 E 点运动到 F 点的过程中，由动能定理有 6联立 式并由题给条件得 x=R、 mgREp512 4 5 6 8（3）设改变后 P 的质量为 m1。 D 点与 G 点的水平距离 x1和竖直距离 y1分别为 式中，已应用了过 C 点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为 的事实。设 P 在 D 点 的速度为 vD，由 D 点运动到 G 点的时间为 t。由平抛运动公式有21ygtx1=vDt联立 式得12设 P 在 C 点速度的大小为 vC。在 P 由 C 运动到 D 的过程中机械能守恒，有P 由 E 点运动到 C
8、点的过程中，同理，由动能定理有5联立式得13m（2）由弹性势能只做为系统运动过程中所涉及到的一种能量形式时可利用：位置的对称性当系统在初末 状态下弹簧的形变量（伸长量与压缩量）相同，则此过程中弹性势能变化量为零。例 12.如图所示， A、 B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连， A 放在固定的光滑斜面上， B、 C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为 k 的轻质弹簧相连， C 球放在水平地面上。现用手控制住 A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知 A 的质量为 4m， B、 C 的质量均为m，重力加速度为 g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处
9、于静止状态。释放 A 后， A 沿斜面下滑至速度最大时 C 恰好离开地面。下列说法正确的是A斜面倾角 =30 CAB（B A 获得最大 速度为 kmg52C C 刚离开地面时， B 的加速度最大D从释放 A 到 C 刚离开地面的过程中， A、 B 两小球组成的系统机械能守恒【答案】AB【解析】当 C 恰好离开地面 时 C 对地面的压力为 0，此时弹簧被拉伸且伸长量为 mg/k，由于 AB 通过细线连接，速度时刻相等，可知 A 的速度最大时 B 的速度也达到最大，即此时 A、B 的加速度都为 0，则此时整个系统所受合力为 0：4mgsin=2mg，故 =30，A 正确 C 错误。释放 A 之前弹
10、簧处于压缩状态，压缩量也为 mg/k，故从释放 A 到 A 的速度达到最大的过程中 A、B 发生的位移大小皆为 x=2mg/k，且弹簧在此过程中始末状态的弹性势能相同即弹性势能变化量为 0，由系统机械能守恒有,解得 ，B 正确。由于在此过程中弹簧弹性势能先减小后增大，故 A、B 两小球系统的机械能先增大后减小，D 错误。位置变化的相同性 当系统经历两个初末位置相同的过程时，两过程中弹性势能的变化量相同。6例 13.如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在 A 点，自然状态时其右端位于 B 点。水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道 MNP，其形状为半径 R=08m 的圆环剪去了左上角 l35的圆
11、弧，MN 为其竖直直径，P 点到桌面的竖直距离也是 R。用质量 m1=04kg 的小物块将弹簧缓慢压缩到 C 点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在 B 点。用同种材料、质量为 m2=02kg 的小物块将弹簧缓慢 压缩到 C 点释放，物块过 B点后做匀变速运动，由 B 到 D 位移与时间的关系为 x=6t-2t2，物块飞离桌面后恰好由 P 点沿切线进入圆轨道，g=lOms 2，不计空气阻力。求：(1)BD 间的距离；(2)判断小物块 m2能否沿圆轨道到达 M 点(要求写出判断过程)；(3)小物块 m2由 C 点释放运动到 D 过程中克服摩擦力做的功。【答案】(1)2.5m(2)不能 判断见解析(
12、3)5.6J【解析】 （1）由物块过 B 点后其位移与时间的关系 26tx得/s60v 设物块由 D 点以初速 Dv做平抛，落到 P 点时其竖直速度为gRvy2得 m/s4Dv BD 间位移为 (2)若物块能沿轨道到达 M 点，其速度为 Mv得7若物块恰好能沿轨道过 M 点，则 解得 82Mv 即物块不能到达 M 点 弹性势能公式当弹性势能公式 Ep kx2做为题设条件时可直接使用。12例 14.如图所示，已知轻弹簧发生弹性形变时所具有的弹性势能 Ep kx2.其中 k 为弹簧的劲度系数， x 为12其形变量现有质量为 m1的物块与劲度系数为 k 的轻弹簧相连并静止地放在光滑的水平桌面上，弹簧
13、的另一端固定，按住物块 m1，弹簧处于自然长度，在 m1的右端连一细线并绕过光滑的定滑轮接一个挂钩现在将质量为 m2的小物体轻轻的挂在挂钩上设细线不可伸长，细线、挂钩、滑轮的质量及一切摩擦均不计，释放 m1.求：例 14 图(1)m1速度达最大值时弹簧伸长的长度；(2)m1的最大速度值【答案】(1) .(2) .m2gk m2g(m1 m2)k【解析】(1) FT kx m1am2g FT m2a 由得 m2g kx( m1 m2)a，8当 a0 时， m1、 m2速率达最大值，所以 x .m2gk【题型对练】1. 如图 所示，轻弹簧的一端与物块 P 相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置
14、，并使弹簧处于拉伸状态。缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块 P 刚要沿木板向下滑动，在这个过程中，物块P 所受静摩擦力的大小变化情况 是P1 图A 先减小后增大 B 先增大后减小 C 一直增大 D 保持不变【答案】A【解析】由于初始状态下弹簧处于拉伸状态,木板对物块的摩擦力方向向左.当将木板右端抬起时,在物块重力沿板方向上的分力小于弹簧弹力时,随着木板倾角增大摩擦力减小,在物块重力沿木板方向上的分力增大到等于弹簧弹力之后,木板倾角再增大,木板对物块的摩擦力也增大,增大到等于最大静摩擦力时物块开始滑动,故 A 正确.2.如图所示，OA 为一遵从胡克定律的橡皮条，其一端固定于天花板上的
15、O 点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块 A 相连，当绳处在竖直位置时，滑块 A 对地面有压力作用，B 为紧靠绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离 OB 等于弹性橡皮条的自然长度，现用一水平力 F 作用于 A，使之向右做直线运9动，在运动过程中（在弹性限度内）作用于 A 的摩擦力应( ) 2 图A.逐渐增大 B.逐渐减小C.保持不变 D.先增大后减小【答案】C【解析】A 向右运动过程中所受摩擦力为滑动摩擦力,其大小满足 Nf.分析 A 在运动中任一位置处受力,在竖直方向上由平衡条件有 ,而 ABxsin是一常量,可见 A 所受摩擦力也保持不变,C 正确.3.如图 a 所示，一轻质弹
16、簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体（物体与弹簧不连接） ，初始时 物体处于静止状态。现用竖直向上的拉力 F 作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力 F 与物体位移x 的关系如图 b 所示（g=10m/s 2） ，则正确的结论是（ ） 3 图A物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态B弹簧的劲度系数为 7.5N/cmC物体的质量为 3kg D物体的加速度大小为 5m/s2【答案】D【解析】物体向上运动过程 ，初位置 ma10，末位置时物体与弹簧分离 mag30，可知 a=5m/s2,m=2kg，由 mgxk0知 k=5N/cm.故 D 正确，ABC 错误。 4.如右图所示，两木块的质量分别
17、为 m1和 m2 两轻质弹簧的劲度系数分别为 Kl 和 K2,上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧.在此过程中下面木块移动的距离为104 图A. B. C. D.【答案】C5如图所示，两根完全相同的轻质弹簧，下端固定在地面上，质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端但不拴接。现用外力作用在物体上，使两弹簧具有相同的压缩量。撤去外力后，两物体由静止向上运动并离开弹簧，则从撤去外力到物块第一次速度减为零的过程，两物块一定满足（弹簧始终在弹性限度以内，以地面为零势能面）A.两物块达最大速度时的高度相同 B.上升的最大高度不同C.
18、最大加速度相同 D.最大重力势能相同【答案】B 【解析】因弹簧相同、初始压缩量相同，可知两物体初始位置高度相同、弹簧初始状态的弹性势能相同、弹力相等。在初始位置的加速度即最大加速度 ，可见质量大的加速度小，C 错误；物块上升过程中弹簧与物体构成的系统机械能守恒，上升到最高点时弹簧的弹性势能全部转化为重力势能，则两物体重力势能的增量相同，但以地面为重力势能零点，质量大的物体初始重力势能大，最大重力势能也大，11D 错误；当弹簧弹力等于物体重力时物体的速度最大，显然质量 大的物体在速度最大时高度低，A 错误。当两物体上升到最高点时重力势能增量相同，则质量大的物体上升的高度小，最高点位置低，B 正确
19、。6 如图所示， A 物体质量为 m， B 质量为 2m，用一轻绳相连，将 A 用一轻弹簧悬挂于天花板上，系统处于静止状态，此时弹簧的伸长量为 x，弹性势能为 Ep，已知弹簧的弹性势能与形变量的平方成正比，且弹簧始终在弹性限度内。现将悬线剪断，则在以后的运动过程中， A 物体的A最大动能为 98Ep 32mgxB最大动能为 Ep mgx C速度达到最大时，弹簧弹力做功为 91EpD速度达到最大时，弹簧弹力做功为 8Ep【答案】AD【解析】初始状态下 mgkx3,此时弹性势能为 EP.当 A 物体的速度、动能达到最大时,弹簧弹力一定与 A物体重力相平衡,即此时弹簧仍处于拉伸状态且弹力大小为 mg
20、kxf,故此时弹性势能为 PE91.由弹力做功与弹性势能之间的关系有 ,再由动能定理有 ,AD正确.7 如图所示，质量均为 m 的 A、B 两物体分别固定在质量不计的轻弹簧的两端，当 A 静止时弹簧的压缩量为l。现用一竖直向下的恒力 F= 3mg 作用于 A 上，当 A 运动一段距离 x，后撤去 F，结果 B 刚好不离开水平面，则 l：x 的值为A3：2 B3：1C2：l D无法确定【答案】A AB6 图128 如图，质量为 m1的物体 A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 m2的物体 B 相连，弹簧的劲度系数为 k， A、 B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体 A，另
21、一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态， A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为 m3的物体 C 并从静止状态释放，已知它恰好能使 B 离开地面但不继续上升。若将 C 换成另一个质量为（ m1+m3）的物体 D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次 B 刚离地面时 D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为 g。ABm1m2k8 图【答案】【解析】开始时，A、B 静止，设弹簧压缩量为 x1，有 k x1=m1g 挂 C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设 B 刚要离地时弹簧伸长量为 x2，有 k x2=m2g B 不再上升，表示此时 A 和 C 的速度为零，C 已降到其最低点。由机械能守恒与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为E=m 3g(x1+x2)m 1g(x1+x2) C 换成 D 后，当 B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得由式得 13由式得解法二 能量补偿法据题设，弹簧的总形变量即物体 A 上升的距离为h= kgm21 第二次释放 D 与第一次释放 C 相比较，根据能量守恒，可得m1gh= 2(2m1+m3)v2 由得v=g
